人教版初中数学锐角三角函数的技巧及练习题含答案

人教版初中数学锐角三角函数的技巧及练习题含答案一、选择题1.如图，在矩形A5c。中，AB=4.DE±AC,垂足为上，设NAOE=a,且【答案】C【解析】【分析】根据同角的余角相等求出NADE=NACD,再根据两直线平行，内错角相等可得NBAC=NACD,然后求出AC.【详解】解：・.・DEJ_AC,:.ZADE+ZCAD=90°,•/ZACD+ZCAD=90%:.NACD二NADE=a,•・•矩形ABCD的对■边AB〃CD,AZBAC=ZACD,.. 3 .A33•cosa=—,.. =-,5AC55）20.\AC=-x4=——.3 3故选：c.【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，同角的余角相等的性质，熟记各性质并求出BC是解题的关键.2.在R3ABC中，ZC=90°,如果AC=2,cosA=-,那么AB的长是（ ）A.3 B.- C.y/5 D.713【答案】A【解析】AC2根据锐角三角函数的性质，可知COSA7=7,然后根据AC=2,解方程可求得AB=3.AB3故选A.点睛：此题主要考查了解直角三角形，解题关键是明确直角三角形中，余弦值c°sA=,,然后带入数值即可求解.斜边3.一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆,根据图中所示数据，可求这个物体的表面枳为( )—A.4 B.2% C.34 D.(y/3+l)7r【答案】c【解析】【分析】由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为的正三角形.可计算边长为2,据此即可得出表面枳.【详解】解：由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为的正三角形.•・正三角形的边长=工一=2.sin60。•・圆锥的底面圆半径是1,母线长是2,••底面周长为2%工侧面积为77、2万乂2=2万，2底面积为%产=%,2••全面枳是34.故选：C.【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.4.如图，在矩形48CD中，BC=2,AELBD,垂足为E,NBAE=30°,则tan/DEC的值是()

A.1 B.-2C.叵A.1 B.-2C.叵2D.叵3【答案】C【解析】【分析】先根据题意过点C作CFJ_8D与点F可求得“EBg△CFD(A4S),得到4E=CF=1,EF=6(=",即可求出答案【详解】过点C作CF_L8D与点F.VZB/AF=30°,：.ZDBC=30q9VBC=2,:・CF=1,BF=yfj,易证△AEBgZXCFD(AAS)，ae=cf=i,♦；NBAE=NDBC=30°,.BE-cAE-w3 3在RtACFf中，1tanZDEC=CF_2y/i_召,EF3 2此题考查了含30。的直角三角形，三角形全等的性质，解题关键是证明所进行的全等5.如图，在"80^,4CJ_8C,N4BC=30。，点。是CB延长线上的一点，且A8=8D,则

tanD的值为（)tanD的值为（)A【答案】D【解析】【分析】设AC=m,解直角三角形求出AB,BC,BD即可解决问题.【详解】设AC=m,在R5ABC中，VZC=90°,ZABC=30°,/•AB=2AC=2m,BC=y/3AC=5/3m,/•BD=AB=2m,DC=2m+5yJm,/AC团 「.etanZADC= = 产一=2- .CD2m+故选：D.【点睛】本题考查解直角三角形，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.()B.3个6.如图，在矩形A5C0中E是CO的中点，EA平分/BED,PE±AE交BC于前P,连接PA,以下四个结论：①“平分4EC；②PA上BE；③AD=与()B.3个C.2个D.1C.2个D.1个【答案】A【解析】

【分析】根据矩形的性质结合全等三角形的判定与性质得出AADEgZXBCE(SAS),进而求出AABE是等边三角形，再求出AAEPgaABP(SSS),进而得出NEAP=NPAB=30。，再分别得出AD与AB,PB与PC的数量关系即可.【详解】解：•・•在矩形ABCD中，点E是CD的中点，ADE=CE,又・.・AD=BC,ZD=ZC,AAADE^ABCE(SAS),AAE=BE,NDEA=NCEB,VEA平分NBED,AZAED=ZAEB,AZAED=ZAEB=ZCEB=60°,故：①EB平分NAEC,正确；/.△ABE是等边三角形，AZDAE=ZEBC=30°,AE=AB,VPE±AE,AZDEA+ZCEP=90%则NCEP=30。，故NPEB=NEBP=30。，则EP=BP,又・.・AE=AB,AP=AP,AAAEP^AABP(SSS),AZEAP=ZPAB=30°,・・・AP_LBE,故②正确;"DAE=30°,DE=tan300=正

3，ad=JIde,bpad=AtanZDAE=—=tan300=正

3，ad=JIde,bpad=7AB=CD,.,.③ =正确;VZCEP=30\1ACP=-EP,2VEP=BP,1ACP=-BP,2•••④PB=2PC正确.

综上所述：正确的共有4个.故选:A.【点睛】此题主要考查了四边形综合，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形性质以及三角函数等知识，证明AABE是等边三角形是解题关键..某游乐场新推出了一个"极速飞车”的项目.项目有两条斜坡轨道以满足不同的难度需求，游客可以乘坐垂直升降电梯48自由上下选择项目难度.其中斜坡轨道8c的坡度（或坡比）为，=1：2,BC=12、后米，CD=8米，ZD=36°,（其中点48、C、。均在同一平面内）则垂直升降电梯48的高度约为（ ）米.（精确到0.1米，参考数据：tan36°=0.73,cos360=0.81,sin36°=0.59）A.5.6 B.6.9 C.11.4 D.13.9【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理，可得CE,8E的长，根据正切函数，可得4E的长，再根据线段的和差，可得答案.【详解】解:如图，延长DC、AB交于点E,由斜坡轨道BC的坡度（或坡比）为i=l：2,得BE：CE=1：2.设BE=xm,CE=2xm.在RSBCE中，由勾股定理，得BE2+CE2=BC2,即x2+（2x）2=（12、后）2,解得x=12,BE=12m,CE=24m,DE=DC+CE=8+24=32m,由tan36%0.73,得ABDE——=0.73,DE解得A8=0,73x32=23.36m.由线段的和差，得AB=AE-8E=23.36-12=1136=11.4m,故选：C.【点睛】本题考查解直角三角形的应用，利用勾股定理得出CE，BE的长是解题关键，又利用了正切函数，线段的和差..如图，某建筑物的顶部有一块标识牌CD,小明在斜坡上8处测得标识牌顶部C的仰角为45。，沿斜坡走下来在地面4处测得标识牌底部。的仰角为60。，已知斜坡48的坡角为30%AB=4E=10米.则标识牌CD的高度是（）米.A.15-5途B.20-1073C.10-573D.5正一5【答案】A【解析】【分析】过点B作BM_LEA的延长线于点M,过点B作BN_LCE于点N,通过解直角三角形可求出BM,AM,CN,DE的长，再结合CD=CN+EN—DE即可求出结论.【详解】解：过点B作BMJ_EA的延长线于点M,过点B作BN_LCE于点N,如图所示.□□□□□□□□□□□□在RSABE中，AB=10米,ZBAM=30°,AAM=AB>cos300=573（米），BM=AB>sin300=5（米）.在R3ACD中，AE=10（米），ZDAE=60°,ADE=AE*tan600=10J3（米）.在RSBCN中，BN=AE+AM=10+5/（米），ZCBN=45°,.•.CN=BN・tan45o=10+57T（米），.*.cd=cn+en-de=io+573+5-1073=15-573（米）.故选:A.【点睛】本题考查了解直角三角形-仰角俯角问题及解直角三角形-坡度坡脚问题，通过解直角三角形求出BM,AM,CN,DE的长是解题的关键.9.如图，A6是。。的弦，直径CD交AB于点E，若AE=EB=3,ZC=15°»则。石的长为（）A.6 B.4 C.6 D.【答案】D【解析】【分析】连接。4.证明AOAB是等边三角形即可解决问题.【详解】如图，连接04.:AE=EB，；・8工AB,••AD=BD，••ZBOD=ZAOD=2ZACD=30'，••ZAOB=6Q\：OA=OB,:.A4O8是等边三角形，・,AE=3,，OE=AE-tail60=35/3>故选D.【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.210.如图,“BC的外接圆是的O,半径A0=5,sinB二=，则线段AC的长为（）【答案】C【解析】【分析】首先连接C0并延长交。O于点D,连接AD,由CD是。。的直径，可得NCAD=90。，又由2。0的半径是5,sinB=-,即可求得答案.5【详解】解：连接C0并延长交。0尸点D,连接AD,B由CD是。0的直径，可得NCAD=90。,VZB和ND所对的弧都为弧AC,2AZB=ZD,即sinB=sinD=1,•・•半径A0=5,ACD=10,30=生=四二CD10 5•••AC=4,故选：C.【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，以及三角函数的内容，注意到直径所对的圆周角是直角是解题的关键..如图，已知。o上三点A,B,C,半径OC=1,ZABC=3O°,切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（）【答案】B【解析】【分析】连接OA,由圆周角定理可求出NAOC=60。，再根据NAOC的正切即可求出PA的值.【详解】连接OA.VZABC=30°,:.ZAOC=60°,TPA是圆的切线，AZPAO=90°,PAVtanZAOC=——,OA/•PA=tan60°xl=0.故选B.【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质及锐角三角函数的知识，根据圆周角定理可求出/AOC=60。是解答本题的关键.3.如图，在放△ABC中，ZACB=90Q,tan5=—,CO为A5边上的中线，CE平4AF分加5,则布的值（）4【答案】D【解析】【分析】3根据角平分线定理可得AE：BE=AC：BC=3:4,进而求得AE=-AB,再由点D为AB中点7AF得AD=-AB,进而可求得L的值.AD【详解】解：・・・CE平分44C8,:.点E到ZACB的两边距离相等，设点E到ZACB的两边距离位h,则S△ACE=—AC・h,SaBCE=—BGh,2 2**•S△ace：S"ce=—AGh：—BC-h=AC：BC,2 2又SaACE：SaBCE=AE：BE,AAE：BE=AC：BC,3•••在中，ZACB=90。,tan5=—,4AAC：BC=3:4,AAE：BE=3:43，AE=-AB,7•••CO为46边上的中线，1AAD=-AB,2,%>6..布一二T于2故选：D.【点睛】本题主要考查了角平分线定理的应用及三角函数的应用，通过面积比证得AE：BE=AC：BC

是解决本题的关键.13.〃奔跑吧，兄弟！〃节目组，预设计一个新的游戏：“奔跑〃路线需经A、B、C、D四地.如图，其中A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东30。方向、在C地北偏西45。方向.C地在A地北偏东75。方向.且BD=BC=30m.从A地到D地的距离是（ ）DD北A.3073m B.2075m C.30vlm D.1576m【答案】D【解析】分析：过点。作OH垂直于4C,垂足为H,求出ND4C的度数，判断出△BCD是等边三角形，再利用三角函数求出48的长，从而得到4B+8C+C0的长.详解：过点。作。H垂直于AC,垂足为H,由题意可知ND4C=75。-30。=45。.〈△8CD是等边三角形,AZD8C=60%BD=BC=CD=30m,：.DH=等边三角形,AZD8C=60%BD=BC=CD=30m,：.DH=AD=y/2DH=15y/6m.故从八地到。地的距离是15#m.故选D.点睛：本题考查了解直角三角形的应用--方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想.14.南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动.如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为a,大桥主架的顶端D的仰角为B，已知测量点与大桥主架的水平距离AB=a,则此时大桥主架顶端离水面的高CD为（）

DA.asina+asinBB.acosa+acosBC.atana+atanBD. -Dtanatanp【答案】c【解析】【分析】在RtAABD和RSABC中,由三角函数得出BC=atana,BD=atanp,得出CD=BC+BD=atana+atanB即可.【详解】, r । BC八BD在Rtz\ABD和Rtz\ABC中，AB=a,tana= ,tanP= ,ABAB/•BC=atana,BD=atan。，/•CD=BC+BD=atana+atanP，故选c.【点睛】本题考查了解直角三角形-仰角俯角问题；由三角函数得出BC和BD是解题的关键.15.片,2y/3cmD.4cm如图，有一个边长为2a15.片,2y/3cmD.4cm【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图形，再根据正多边形圆心角的求法求出NAOB的度数，最后根据等腰三角形及直角三角形的性质解答即可.【详解】解：如图所示，正六边形的边长为2cm,OG±BC,•・•六边形ABCDEF是正六边形，/•ZBOC=360°^6=60°,

VOB=OC,OG±BC,1AZBOG=ZCOG=-ZBOC=30%2VOG±BC,OB=OC,BC=2cm,TOC\o"1-5"\h\z/•BG=—BC=—x2=lcm,2 2BG

:.OB= =2cm,sin30・•・og=J*_8G2 =5・•・圆形纸片的半径为J?cm,故选：A.【点睛】本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用直角三角形的性质及正六边形的性质解答是解答此题的关键.16.如图，在平面直角坐标系中，AAO8的顶点8在第一象限，点A在丁轴的正半轴上,AO=AB=2,NQA6=120,将NA绕点。逆时针旋转90',点8的对应点夕的坐标是()C.(-3,2-A.(_2—卓向B.(_2—半,2一今C.(-3,2-D.(-3,我【答案】D【解析】【分析】过点夕作X轴的垂线，垂足为M,通过条件求出方加，MO的长即可得到夕的坐标.【详解】解：过点5,作x轴的垂线，垂足为M,VAO=AB=2,ZOAB=120°,・,.4O=A®=2,NOA0二120。，•••44M=60。，在直角△46'M中，sE/B'A'M=^-=^-=立，TOC\o"1-5"\h\zBfAf2 2ArMArM1cosN5AM= =±BfAr2 2:.B'M=W，A'M=1，AOM=2+1=3,，为的坐标为（一3,JJ）.故选：D.【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.17.如图，等边△AbC边长为。，点。是△ABC的内心，ZF（9G=120°,绕点。旋转ZFOG,分别交线段A6、BC于D、E两点，连接。E，给出下列四个结论：①aODE形状不变；②QDE的面积最小不会小于四边形ODBE的面积的四分之一；③四边形O08E的面积始终不变：④J。石周长的最小值为1.5a.上述结论中正确的个数是（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】A【解析】【分析】连接OB、0C,利用SAS证出△ODB04OEC,从而得出AODE是顶角为120。的等腰三角形，即可判断①；过点。作OH_LDE,则DH=EH,利用锐角三角函数可得OH=g0E和DE=JJOE,然后三角形的面枳公式可得Sa°de=曰0E2,从而得出0E最小时，Saode最小，根据垂线段最短即可求出S.ode的最小值，然后证出Spmbodbe=Saobc=3/即可判断12②和③；求出aBD石的周长拓+DE,求出DE的最小值即可判断④.【详解】解：连接OB、0C•••△A8C是等边三角形，点。是△A6C的内心，AZABC=ZACB=60°,BO=CO,BO、CO平分NABC和NACB:.ZOBA=ZOBC=-ZABC=30°,ZOCA=ZOCB=-ZACB=30°2 2:.ZOBA=ZOCB,ZBOC=1800-ZOBC-ZOCB=120°•・・ZF0G=12O。:.ZFOG=ZBOC，ZFOG-ZBOE=ZBOC-ZBOEAZBOD=ZCOE在^ODBfflAOEC中/BOD=ZCOEBO=CONOBD=ZOCE/.△ODB^AOEC.・.OD=OE•••△ODE是顶角为120。的等腰三角形，石形状不变，故①正确；过点。作OH_LDE,贝IJDH=EHVAODE是顶角为120。的等腰三角形AZODE=ZOED=-(180°-120°)=30°2AOH=OE-sinZOED=ioE,EH=OE-cosZOED=^OE2 2.,.DE=2EH=7JoE.*.SaOde=-DE-OH=^OE22 4，OE最小时,Saode最小,过点o作OE，J_BC于r,根据垂线段最短，or即为OE的最小值TOC\o"1-5"\h\z1 1，BE'=-BC=-42 2在R30BE'中OE，=BE，tanNOBE，」。x巫=立a2 3 6**•SaODE的最小值为正OE』42- 4 48VAODB^AOEC；・S四边%odbe=Saodb+Saobe=Saoec+Sa,obe=Saobc=_BC・OE'=^^。-2 12噜吟合•1••SaODE6—S囚边形ODBE4即△OD石的面积最小不会小于四边形OO6E的面积的四分之一，故②正确;•、四边形ODBE二cr12・•.四边形005石的面积始终不变，故③正确：VAODB^AOECADB=EC:.△皮石的周长=DB+BE+DE=EC+BE+DE=BC+DE=a+DEADE最小时△6。石的周长最小VDE=730E，0E最小时，DE最小而0E的最小值为0E=1q6・・・DE的最小值为JJx正。6 2:•△6。石的周长的最小值为。+ ，故④正确:综上：4个结论都正确,故选A.【点睛】此题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面积公式和垂线段最短的应用，掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面积公式和垂线段最短是解决此题的关键.18.如图，在aASC中，DE//BC,AF±BC,ZADE=30°,2DE=BC、BF=35则。尸的长为()A.4 B,273C.3/ D.3【答案】D【解析】【分析】先利用相似三角形的相似比证明点D是AB的中点，再解直角三角形求得AB,最后利用直角三角形斜边中线性质求出DF.【详解】解：•：DE//BC,aADE〜ziABC，■:2DE=BC,・••点D是AB的中点，VAF±BC,ZADE=30°,BF=3退,AZB=30%・・・AB= =6,cos30°，DF=3,故选：D.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质、解直角三角形和直角三角形斜边中线性质，熟练掌握性质的运用是解题关键.19.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点0,AB：BC=2：1,且BE〃AC,CE〃DB,连接DE,贝lJtanNEDC=()

310

a310

a【答案】B【解析】【分析】过点E作EF_L