人教A版高中数学必修二第三章直线与方程单元测试卷(二)

第三章单元测试题(二)eq\o(\s\up7(时限：120分钟满分：150分),\s\do5())一、选择题(每小题5分，共60分)1．直线x＝－1的倾斜角和斜率分别是()A．45°，1 B．135°，－1C．90°，不存在 D．180°，不存在2．直线l1：y＝kx＋b和直线l2：eq\f(x,k)＋eq\f(y,b)＝1(k≠0，b≠0)在同一坐标系中，两直线的图形应为()3．已知直线ax＋by＋1＝0与直线4x＋3y＋5＝0平行，且在y轴上的截距为eq\f(1,3)，则a＋b的值为()A．7 B．－1C．1 D．－74．过点A(4，a)和B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平行，则|AB|的值为()A．6 B.eq\r(2)C．2 D．不能确定5．从P点发出的光线l经过直线x－y－2＝0反射，若反射光线恰好通过点Q(5,1)，且点P的坐标为(3，－2)，则光线l所在的直线方程是()A．x＝3 B．y＝1C．x－2y－7＝0 D．x＋2y＋1＝06．若A(－6,0)、B(0,8)，点P在AB上，且AP∶AB＝3∶5，则点P到直线15x＋20y－16＝0的距离为()A.eq\f(49,100) B.eq\f(44,25)C.eq\f(6,25) D.eq\f(12,25)7．已知点P(a，b)是第二象限内的点，那么它到x－y＝0的距离是()A.eq\f(\r(2),2)(a－b) B．b－aC.eq\f(\r(2),2)(b－a) D.eq\r(a2＋b2)8．直线ax＋y＋m＝0与直线x＋by＋2＝0平行，则()A．ab＝1，bm≠2B．a＝0，b＝0，m≠2C．a＝1，b＝－1，m≠2D．a＝1，b＝1，m≠29．已知集合A＝{(x，y)|x＋a2y＋6＝0}，集合B＝{(x，y)|(a－2)x＋3ay＋2a＝0}，若A∩B＝Ø，则a的值是()A．3 B．0C．－1 D．0或－110．已知点P(a，b)与点Q(b＋1，a－1)关于直线l对称，则直线l的方程是()A．y＝x－2 B．y＝x＋2C．y＝x＋3 D．y＝x－111．已知直线l1：x＋2y－6＝0，l2：x－y－3＝0则l1、l2、x轴、y轴围成的四边形的面积为()A．8 B．6C.eq\f(15,2) D．312．如图1，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A．2eq\r(10) B．6C．3eq\r(3) D．2eq\r(5)二、填空题(每小题5分，共20分)13．直线y＝－x＋b与5x＋3y－31＝0的交点在第一象限，则b的取值范围是________．14．直线l过两点A(0,2)和B(eq\r(3)，3m2＋12m＋15)(m∈R)，则直线l倾斜角α的范围是________．15．已知直线l1和l2的斜率是方程3x2－2x－1＝0的两根，若直线l过点(2,3)，斜率为两根之一，且不过第四象限，则直线l的方程为________________．16．给出下列五个命题：①过点(－1,2)的直线方程一定可以表示为y－2＝k(x＋1)的形式(k∈R)；②过点(－1,2)且在x轴、y轴截距相等的直线方程是x＋y－1＝0；③过点M(－1,2)且与直线l：Ax＋By＋C＝0(AB≠0)垂直的直线方程是B(x＋1)＋A(y－2)＝0；④设点M(－1,2)不在直线l：Ax＋By＋C＝0(AB≠0)上，则过点M且与l平行的直线方程是A(x＋1)＋B(y－2)＝0；⑤点P(－1,2)到直线ax＋y＋a2＋a＝0的距离不小于2.以上命题中，正确的序号是________．三、解答题(共70分)17．(本小题10分)已知直线l的斜率为6且被两坐标轴所截得的线段长为eq\r(37)，求直线l的方程．18．(本小题12分)将直线l绕它上面一点P按逆时针方向旋转角α(0°<α<90°)后，所得直线方程是6x＋y－60＝0.若再向同方向旋转90°－α后，所得直线方程是x＋y＝0，求l的方程．19．(本小题12分)求经过点A(－1，－2)且到原点距离为1的直线方程．20．(本小题12分)已知直线l1：2x＋ay＋4＝0与直线l2平行，且l2过点(2，－2)，并与坐标轴围成的三角形面积为eq\f(1,a)，求a的值．21．(本小题12分)甲、乙两人要对C处进行考察，甲在A处，乙在B处，基地在O处，此时∠AOB＝90°，测得|AC|＝5km，|BC|＝eq\r(13)km，|AO|＝|BO|＝2km，如图2所示，试问甲、乙两人应以什么方向走，才能使两人的行程之和最小？图3．22．(本小题12分)四边形OABC的四个顶点坐标分别为O(0,0)、A(6,2)、B(4,6)、C(2,6)，直线y＝kx(eq\f(1,3)<k<3)分四边形OABC为两部分，S表示靠近x轴一侧的那一部分的面积．(1)求S＝f(k)的函数表达式；(2)当k为何值时，直线y＝kx将四边形OABC分为面积相等的两部分？参考答案：1.答案：C2.解析：此题应从l1的位置判断k、b的正负，从而判定l2的位置．答案：D3.解析：由题意可知b≠0，方程可化为y＝－eq\f(a,b)x－eq\f(1,b).则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(a,b)＝－\f(4,3)，,－\f(1,b)＝\f(1,3).))解得b＝－3，a＝－4，所以a＋b＝－7.答案：D4.答案：B5.答案：A6.答案：B7.解析：∵点P(a，b)是第二象限内的点，∴a<0，b>0.∴a－b<0.点P到直线x－y＝0的距离为d＝eq\f(|a－b|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)(b－a)．答案：C8.答案：A9.解析：A∩B＝Ø，即直线l1：x＋a2y＋6＝0与l2：(a－2)x＋3ay＋2a＝0平行，令1×3a＝a2(a－2)，解得a＝0或a＝－1或a＝3.a＝0时，l1：x＋6＝0，l2：x＝0，l1∥l2.a＝－1时，l1：x＋y＋6＝0，l2：－3x－3y－2＝0.l1∥l2.a＝3时，l1：x＋9y＋6＝0，l2：x＋9y＋6＝0，l1与l2重合，不合题意．∴a＝0或a＝－1.答案：D10.解析：任取a、b进行赋值，如a＝1，b＝3，则点Q坐标为(4,0)，求出其中点坐标为(eq\f(5,2)，eq\f(3,2))，它应该在直线l上．对各选项逐个检验可排除选项ABC.或得出点P、Q中点为(eq\f(a＋b＋1,2)，eq\f(a＋b－1,2))，它应该是直线l上的点．故其满足方程y＝x－1.答案：D11.答案：C图112.解析：直线AB的方程为x＋y－4＝0，点P关于直线AB的对称点P1坐标为(4,2)，点P关于y轴的对称点P2(－2,0)，则|P1P2|＝eq\r(4＋22＋22)＝2eq\r(10)，即为光线所经过的路程．答案：A13.解析：解直线的方程组成的方程组，求出交点坐标，然后根据交点在第一象限列出不等式即可．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋b,5x＋3y－31＝0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(31－3b,2),y＝\f(5b－31,2))).∵交点在第一象限，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0,y>0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(31－3b,2)>0,\f(5b－31,2)>0))⇒eq\f(31,5)<b<eq\f(31,3).答案：eq\f(31,5)<b<eq\f(31,3)14.解析：由A，B的横坐标不等知α≠90°，则tanα＝kAB＝eq\f(3m2＋12m＋15－2,\r(3)－0)＝eq\r(3)(m＋2)2＋eq\f(\r(3),3)，∵m∈R，∴eq\r(3)(m＋2)2＋eq\f(\r(3),3)≥eq\f(\r(3),3)，即tanα≥eq\f(\r(3),3)，所以30°≤α<90°.答案：30°≤α<90°15.答案：x－y＋1＝016.答案：④⑤17.解：设直线方程为y＝6x＋b，令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝－eq\f(b,6).∴直线与x轴、y轴的交点分别为(－eq\f(b,6)，0)、(0，b)，这两点间距离为eq\r(－\f(b,6)－02＋0－b2)＝eq\r(\f(37,36)b2)＝eq\f(\r(37),6)|b|.由题意，得eq\f(\r(37),6)|b|＝eq\r(37)，∴b＝±6.∴所求直线方程为y＝6x±6，即6x－y±6＝0.18.解：由题意，得直线l与直线x＋y＝0垂直，且P点既在6x＋y－60＝0上，又在x＋y＝0上，所以P(12，－12)，故其方程为y＋12＝x－12，即x－y－24＝0.19.解：(1)当过点A的直线斜率不存在即垂直于x轴时，它到原点的距离为1，所以满足题设条件，其方程为x＝－1.(2)当过点A的直线不与x轴垂直时，设所求的直线方程为y＋2＝k(x＋1)，即kx－y＋k－2＝0.因为原点到此直线的距离等于1，所以eq\f(|k－2|,\r(k2＋1))＝1，解之，得k＝eq\f(3,4).故所求的直线方程为y＋2＝eq\f(3,4)(x＋1)，即3x－4y－5＝0.故所求的直线方程为x＝－1或3x－4y－5＝0.20.解：由l2与l1：2x＋ay＋4＝0平行，可设l2的方程为2x＋ay＋k＝0(k≠4)．令x＝0，得y＝－eq\f(k,a)；令y＝0，得x＝－eq\f(k,2).由eq\f(1,2)·|－eq\f(k,a)|·|－eq\f(k,2)|＝eq\f(1,a)，得k2＝4，所以k＝±2且a>0.又2x＋ay＋k＝0过点(2，－2)，所以有4－2a＋k＝0，从而a＝1或a＝3.图221.解：以O为原点，OB为x轴，建立直角坐标系(如图3所示)，设C(x，y)，则有A(0,2)，B(2,0)，由|AC|＝5，有eq\r(x2＋y－22)＝5，①|BC|＝eq\r(13)，有eq\r(x－22＋y2)＝eq\r(13).②由①②解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝2.))由x、y的实际意义知x>0，y>0，∴C(5,2)．而A(0,2)，∴AC∥x轴，即AC∥OB.由B(2,0)、C(5,2)，知kBC＝eq\f(2－0,5－2)＝eq\f(2,3).故甲应以与OB平行的方向行走，乙应沿斜率为eq\f(2,3)的直线向上方行走，才能使他们的行程和最小22.解：(1)因为kOB＝eq\f(3,2)，所以需分两种情况：①eq\f(1,3)<k<eq\f(3,2)时，直线y＝kx与直线AB：2x＋y＝14相交．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx,2x＋y＝14))得交点P1(eq\f(14,k＋2)，eq\f(14k,k＋2))，又点P1到直线OA：x－3y＝0的距离为d＝eq\f(143k－1,\r(10)k＋2)，∴S＝eq\f(1,2)|OA|·d＝eq\f(143k－1,k＋2).②当eq\f(3,2)≤k<3时，直线y＝kx与直线BC：y＝6交于P2(eq\f(6,k)，6)．∴S△OP2C＝eq\f(1,2