江西省红色七校2023年高一数学第二学期期末质量检测试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若，则下列不等式不成立的是()A． B． C． D．2．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推，记此数列为，则()A．1 B．2 C．4 D．83．圆关于直线对称的圆的方程为（）A． B．C． D．4．已知向量是单位向量，＝(3，4)，且在方向上的投影为，則A．36 B．21 C．9 D．65．已知向量，，若向量与的夹角为，则实数（）A． B． C． D．6．如图是一圆锥的三视图，正视图和侧视图都是顶角为120°的等腰三角形，若过该圆锥顶点S的截面三角形面积的最大值为2，则该圆锥的侧面积为A． B． C． D．47．将函数的图象向左平移个长度单位后，所得到的图象关于（）对称．A．轴 B．原点 C．直线 D．点8．在，内角所对的边分别为，且，则（）A． B． C． D．19．已知两个等差数列，的前项和分别为，，若对任意的正整数，都有，则等于()A．1 B． C． D．10．设是等比数列，有下列四个命题：①是等比数列；②是等比数列；③是等比数列；④是等差数列．其中正确命题的个数是()A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．设当时，函数取得最大值，则______.12．在中，，，点为延长线上一点，，连接，则=______.13．的内角的对边分别为，若，，，则的面积为__________.14．函数，的值域是_____．15．展开式中，各项系数之和为，则展开式中的常数项为__________．16．已知无穷等比数列的首项为，公比为，则其各项的和为__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知分别是的三个内角所对的边．(1)若的面积，求的值；(2)若，且，试判断的形状．18．已知函数，，数列满足，，.（1）求证；（2）求数列的通项公式；（3）若，求中的最大项.19．在中，分别为内角的对边，且（1）求的大小：（2）若，求的面积.20．如图为某区域部分交通线路图，其中直线，直线l与、、都垂直，垂足分别是点A、点B和点C（高速线右侧边缘），直线与、与的距离分别为1米、2千米，点M和点N分别在直线和上，满足，记.（1）若，求AM的长度；（2）记的面积为，求的表达式，并问为何值时，有最小值，并求出最小值；（3）求的取值范围.21．已知所在平面内一点，满足：的中点为，的中点为，的中点为.设，，如图，试用，表示向量.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

由题得a＜b＜0，再利用作差比较法判断每一个选项的正误得解.【详解】由题得a＜b＜0，对于选项A,=，所以选项A错误.对于选项B,显然正确.对于选项C,，所以，所以选项C正确.对于选项D,，所以选项D正确.故答案为A【点睛】(1)本题主要考查不等式的基本性质和实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)比差的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论；比商的一般步骤是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与1比→下结论.如果两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差.2、C【解析】

将数列分组：第1组为，第2组为，第3组为，，根据，进而得到数列的2017项为，数列的第2018项为，数列的第2019项为，即可求解.【详解】将所给的数列分组：第1组为，第2组为，第3组为，，则数列的前n组共有项，又由，所以数列的前63组共有2016项，所以数列的2017项为，数列的第2018项为，数列的第2019项为，所以故选：C.【点睛】本题主要考查了等差数列的前n项和公式的应用，其中解答中根据所给数列合理分组，结合等差数列的前n项和求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.3、B【解析】

设圆心关于直线对称的圆的圆心为，则由，求出的值，可得对称圆的方程.【详解】圆的圆心为，半径，则不妨设圆关于直线对称的圆的圆心为，半径为，则由，解得，故所求圆的方程为.故选：B【点睛】本题考查了圆的标准方程、中点坐标公式，需熟记圆的标准形式，属于基础题.4、D【解析】

根据公式把模转化为数量积，展开后再根据和已知条件计算.【详解】因为在方向上的投影为，所以，.故选D.【点睛】本题主要考查向量模有关的计算，常用公式有，.5、B【解析】

根据坐标运算可求得与，从而得到与；利用向量夹角计算公式可构造方程求得结果.【详解】由题意得：，，，解得：本题正确选项：【点睛】本题考查利用向量数量积、模长和夹角求解参数值的问题，关键是能够通过坐标运算表示出向量和模长，进而利用向量夹角公式构造方程.6、B【解析】

过该圆锥顶点S的截面三角形面积最大是直角三角形，根据面积为2求出圆锥的母线长，再根据正视图求圆锥底面圆的半径，最后根据扇形面积公式求圆锥的侧面积.【详解】过该圆锥顶点S的截面三角形面积最直角三角形，设圆锥的母线长和底面圆的半径分别为，则，即，又，所以圆锥的侧面积；故选B.【点睛】本题考查三视图及圆锥有关计算，此题主要难点在于判断何时截面三角形面积最大，要结合三角形的面积公式，当，即截面是等腰直角三角时面积最大.7、A【解析】

先利用辅助角公式将未变换后的函数解析式化简，再根据图象变换规律得出变换后的函数的解析式为，结合余弦函数的对称性来进行判断。【详解】，函数的图象向左平移个长度单位后得到，函数的图象关于轴对称，故选：A．【点睛】本题考查三角函数的图象变换，以及三角函数的对称性，在考查三角函数的基本性质问题时，应该将三角函数的解析式化为一般形式，并借助三角函数的图象来理解。8、C【解析】

直接利用余弦定理求解.【详解】由余弦定理得.故选C【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.9、B【解析】

利用等差数列的性质将化为同底的，再化简，将分子分母配凑成前n项和的形式，再利用题干条件，计算。【详解】∵等差数列，的前项和分别为，，对任意的正整数，都有，∴．故选B.【点睛】本题考查等差数列的性质的应用，属于中档题。10、C【解析】

设，得到，，，再利用举反例的方式排除③【详解】设，则：，故是首项为，公比为的等比数列，①正确，故是首项为，公比为的等比数列，②正确取，则，不是等比数列，③错误.，故是首项为，公差为的等差数列，④正确故选：C【点睛】本题考查了等差数列，等比数列的判断，找出反例可以快速的排除选项，简化运算，是解题的关键.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、；【解析】f(x)＝sinx－2cosx＝＝sin(x－φ)，其中sinφ＝，cosφ＝，当x－φ＝2kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cosθ＝－sinφ＝－.12、.【解析】

由题意,画出几何图形.由三线合一可求得,根据补角关系可求得.再结合余弦定理即可求得.【详解】在中,,作,如下图所示:由三线合一可知为中点则所以点为延长线上一点,则在中由余弦定理可得所以故答案为:【点睛】本题考查了等腰三角形性质,余弦定理在解三角形中的应用,属于基础题.13、【解析】

由已知及正弦定理可得：，进而利用余弦定理即可求得a的值，进而可求c，利用三角形的面积公式即可求解．【详解】，由正弦定理可得：，，由余弦定理，可得，整理可得：或（舍去），，，故答案为：.【点睛】本题注意考查余弦定理与正弦定理的应用，属于中档题.正弦定理主要有三种应用：求边和角、边角互化、外接圆半径.14、【解析】

首先根据的范围求出的范围，从而求出值域。【详解】当时，，由于反余弦函数是定义域上的减函数，且所以值域为故答案为：．【点睛】本题主要考查了复合函数值域的求法：首先求出内函数的值域再求外函数的值域。属于基础题。15、【解析】令，则，即，因为的展开式的通项为，所以展开式中常数项为，即常数项为.点睛：本题考查二项式定理；求二项展开式的各项系数的和往往利用赋值法（常赋值为）,还要注意整体赋值，且要注意展开式各项系数和二项式系数的区别.16、【解析】

根据无穷等比数列求和公式求出等比数列的各项和.【详解】由题意可知，等比数列的各项和为，故答案为：.【点睛】本题考查等比数列各项和的求解，解题的关键就是利用无穷等比数列求和公式进行计算，考查计算能力，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）等腰直角三角形．【解析】试题分析：（1）解三角形问题，一般利用正余弦定理进行边角转化.首先根据面积公式解出b边，得，再由由余弦定理得：，所以，（2）判断三角形形状，利用边的关系比较直观.因为，所以由余弦定理得：，所以，在中，，所以，所以是等腰直角三角形.解：（1），2分，得3分由余弦定理得：，5分所以6分（2）由余弦定理得：，所以9分在中，，所以11分所以是等腰直角三角形；12分考点：正余弦定理18、（1）见解析；（2）；（3）【解析】

（1）将化简后可得要求证的递推关系.（2）将（1）中的递推关系化简后得到，从而可求的通项公式.（3）结合（2）的结果化简，换元后利用二次函数的性质可求最大值.【详解】（1）证明：由，，，得.又，∴.（2）∵，即，∴是公比为的等比数列.又，∴.（3）由（2）知，因为，所以，所以，令，则，又因为且，所以所以中的最大项为.【点睛】数列最大项、最小项的求法，一般是利用数列的单调性去讨论，但是也可以根据通项的特点，利用函数的单调性来讨论，要注意函数的单调性与数列的单调性的区别与联系.19、（1）（2）【解析】

（1）根据正弦定理将，角化为边得，即，再由余弦定理求解（2）根据，由正弦定理，求边b，又，然后代入公式求解.【详解】（1）因为，由正弦定理得：，即，，又，.（2）因为由正弦定理得，又，所以.【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20、（1）；（2），当时，；（3）.【解析】

（1），，，由即可得解；（2）用含有的式子表示出和，得出，根据的范围得出的最小值；（3