2020届高考数学一轮复习讲练测专题22函数单调性与最值(讲)文(含解析)

专题2.2函数的单一性与最值理解函数的单一性、最大(小)值及其几何意义．会运用基本初等函数的图象剖析函数的性质.知识点一函数的单一性单一函数的定义增函数

减函数一般地，设函数

f(x)的定义域为

I，假如关于定义域

I

内某个区间

D上的随意两个自变量的值x1，x2定义12121212)，当x<x时，都有f(x)<f(x)，当x<x时，都有f(x)>f(x那么就说函数f(x)在区间D上是增那么就说函数f(x)在区间D上是减函数函数图象描绘自左向右看图象是上涨的自左向右看图象是降落的单一区间的定义假如函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间拥有(严格的)单一性，区间D叫做y＝f(x)的单一区间．知识点二函数的最值前提设函数y＝()的定义域为I，假如存在实数知足fxM(1)关于随意的x∈I，都有(3)关于随意的x∈I，都有条件f(x)≤M；f(x)≥M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值【特别提示】11.函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝f（x）的单一性相反.a2.“对勾函数”y＝x＋x(a>0)的单一增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)；单一减区间是[－a，0)，(0，a].考点一判断函数的单一性【典例1】【2019年高考北京文数】以下函数中，在区间（0，+）上单一递加的是（）1A．yx2B．y=2xC．ylog1xD．y1x2【答案】A【分析】易知函数y2x,ylog1x，y1在区间(0,)上单一递减，2x1函数yx2在区间(0,)上单一递加.应选A.【方法技巧】函数不含有参数．解决此类问题时，第一确立定义域，而后利用单一性的定义或借助图象求解即可。【变式

1】（2019·黑龙江大庆实验中学模拟）函数

f(x)＝ln(

x2－2x－8)的单一递加区间是

(

)A．(－∞，－

2)

B．(－∞，

1)C．(1，＋∞)

D．(4，＋∞)【答案】

D【分析】函数y＝x2－2x－8＝(x－1)2－9图象的对称轴为直线x＝1，由x2－2x－8>0，解得x>4或x<－2，因此(4，＋∞)为函数y＝x2－2x－8的一个单一递加区间．依据复合函数的单一性可知，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单一递加区间为(4，＋∞)．考点二确立含参函数的单一性(区间)【典例2】（2019·大连二十四中模拟）议论函数f(x)＝ax(≠0)在(－1,1)上的单一性．x－1a【分析】方法一：(定义法)设－1＜x1＜x2＜1，x－1＋11f(x)＝ax－1＝a1＋x－1，11则f(x1)－f(x2)＝a1＋x1－1－a1＋x2－1a(x2－x1)＝

(x1－1)(

x2－1)

.因为－1＜x1＜x2＜1，因此x2－x1>0，x1－1＜0，x2－1＜0，故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单一递减；当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单一递加。(ax)′(x－1)－(－1)′(x－1)－axa方法二：(导数法)f′(x)＝(x－1)2＝(x－1)2＝－(x－1)2当a>0时，f′(x)＜0，函数f(x)在(－1,1)上单一递减；当a＜0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单一递加。【方法技巧】判断函数单一性常用以下几种方法：定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论．图象法：假如f(x)是以图象形式给出的，或许f(x)的图象易作出，则可由图象的上涨或降落确立单一性．导数法：先求导数，利用导数值的正负确立函数的单一区间．(4)性质法：①关于由基本初等函数的和、差组成的函数，依据各初等函数的增减性及f(x)±g(x)增减性质进行判断；21【变式2】（2019·安徽蚌埠二中模拟）判断并证明函数f(x)＝ax＋x(此中1<a<3)在[1,2]上的单一性．21【分析】函数f(x)＝ax＋x(1<a<3)在[1,2]上单一递加．证明：设1≤x1<x2≤2，则f(x21212121＝(x2－1a(x1＋x2)－1，x)x1x2由1≤x1<x2≤2，得x2－x1>0,2<x1＋x2<4，1<1x11xxx241又因为1<a<3，因此2<a(x1＋x2)<12，1得a(x1＋x2)－x1x2>0，进而f(x)－f(x)>0，即f(x)>f(x)，2121故当a∈(1,3)时，f(x)在[1,2]上单一递加．考点三解函数不等式【典例3】（2019·山东潍坊一中模拟）已知函数f(x)为R上的减函数，则知足f1＜f(1)的实数xx的取值范围是()A．(－1,1)B．(0,1)C．(－1,0)∪(0,1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【答案】C11>1，|x|＜1，【分析】由f(x)为R上的减函数且f＜f(1)，得x因此－1＜x＜0或x即x≠0，x≠0.0＜x＜1.应选C.【方法技巧】求解函数不等式问题，主假如利用函数的单一性将“f”符号脱掉，使其转变为详细的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域以及函数奇偶性质的应用．【变式3】（2019·广东深圳中学模拟）设函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(－3)＝0，则f(x)<0的解集是()A．{x|－3<x<0或x>3}B．{x|x<－3或0<x<3}C．{x|x<－3或x>3}D．{x|－3<x<0或0<x<3}【答案】B【分析】∵f(x)是奇函数，f(－3)＝0，f(－3)＝－f(3)＝0，解得f(3)＝0.∵函数f(x)在(0，＋∞)内是增函数，∴当0<x<3时，f(x)<0；当x>3时，f(x)>0.∵函数f(x)是奇函数，∴当－3<x<0时，f(x)>0；当x<－3时，f(x)<0.则不等式f(x)<0的解集是{x|0<x<3或x<－3}．考点四利用函数的单一性求参数a－x＋4a，x＜1，【典例4】（2019·重庆南开中学模拟）若f(x)＝是定义在R上的减函数，－ax，x≥1则a的取值范围为________．1【答案】8，3【分析】由题意知，13a－1＜0，a＜3，a－＋4≥－，解得1aaa≥8，a>0，a>0，1因此a∈8，3.【方法技巧】依据函数单一性把问题转变为单一区间关系的比较。【变式4】（2019·成都实验外国语学校模拟）设函数－x2＋4x，x≤4，f(x)＝若函数f(x)在区间log2x，x>4.(a，a＋1)上单一递加，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，1]B．[1,4]C．[4，＋∞)D．(－∞，1]∪[4，＋∞)【答案】D【分析】作出函数f(x)的图象如下图，由图象可知，若f(x)在(a，a＋1)上单一递加，需知足a≥4或＋1≤2，即a≤1或a≥4，应选D.a考点五函数的最值【典例5】(2018·全国Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[0，a]上是减函数，则a的最大值是( )ππ3πA.4B.2C.4D．π【答案】C【分析】∵f(x)＝cosx－sinx＝－2sinx－π，4∴当x－πππ，即π3π∈－，x∈－，时，42244πy＝sinx－4单一递加，f(x)＝－π单一递减，2sinx－4∴－π，3π是f(x)在原点邻近的单一减区间，44联合条件得[0，a]?－π，3π，443π3π∴a≤4，即amax＝4.【方法技巧】求函数最值(值域)的常用方法(1)单一性法：先确立函数的单一性，再由单一性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再察看其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对分析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.(4)导数法：先求导，而后求出在给定区间上的极值，最后联合端点值，求出最值.【变式

5】（2019·山东菏泽一中模拟）定义新运算⊕：当

a≥b时，a⊕b＝a；当

a<b时，a