2020版高考数学(理)刷题小卷练34Word版含解析

刷题增分练

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抛物线的定义、标准方程及性质刷题增分练○34一、选择题

小题基础练提分快1．[2019·哈尔滨模拟]过点F(0,3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为()A．y2＝12xB．y2＝－12xC．x2＝－12yD．x2＝12y答案：D分析：由抛物线的定义知，过点F(0,3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹是以点F(0,3)为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线，故其方程为x2＝12y.2的准线方程为()2．抛物线＝1x4yA．y＝2B．y＝－111C．x＝－16D．x＝8答案：C111分析：将x＝4y2化为标准形式为y2＝4x，因此2p＝4，p＝8，开1口向右，因此抛物线的准线方程为x＝－16.3．极点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是

(

)A．y2＝－xC．y2＝－8x

或

x2＝－y

B．x2＝－8yD．y2＝－x或

x2＝－8y答案：D分析：设抛物线为y2＝mx，代入点P(－4，－2)，解得m＝－1，则抛物线方程为y2＝－x；设抛物线为x2＝ny，代入点P(－4，－2)，解得n＝－8，则抛物线方程为x2＝－8y.应选D.2＝4y上一点P到焦．·广东广州天河区实验月考]抛物线x4[2019点的距离为3，则点P到y轴的距离为()A．22B．1C．2D．3答案：A分析：依据抛物线方程可求得焦点坐标为(0,1)，准线方程为y＝1.依据抛物线定义，得yP＋1＝3，解得yP＝2，代入抛物线方程求得xP＝±22，∴点P到y轴的距离为22.应选A.5．已知双曲线y2－x2＝1的两条渐近线分别与抛物线y2＝2px(p>0)4的准线交于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为1，则p的值为()A．1B.2C．22D．4答案：By2分析：双曲线4－x2＝1的渐近线y＝±2x与抛物线y2＝2px的准ppp线x＝－2的交点分别为A－2，－p，B－2，p，则|AB|＝2p，△AOB的面积为1×2p×p＝1，p>0，解得p＝2.22已知点及抛物线2＝4x上一动．·山东第三月考]6[2019Q(0,22)y点P(x，y)，则x＋|PQ|的最小值为()A．4B．2C．6D.2答案：B分析：抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，则由抛物线的定义得其准线方程为x＝－1.设d为点P(x，y)到准线的距离．x＋|PQ|＝d－1＋|PQ|＝|PF|＋|PQ|－1≥|FQ|－1，x＋|PQ|的最小值是|QF|－1.∵点Q(0,22)，∴|QF|＝3.x＋|PQ|的最小值是|QF|－1＝3－1＝2.应选B.7．直线x－y＋1＝0与抛物线y2＝2px的对称轴及准线订交于同一点，则该直线与抛物线的交点的横坐标为

(

)A．－1B．1C．2

D．3答案：B分析：由题意可得，直线

x－y＋1＝0

与抛物线

y2＝2px的对称轴及准线交点的坐标为

p－2，0

，代入

px－y＋1＝0，得－2＋1＝0，即

p2，故抛物线的方程为y2＝4x.将y2＝4x与直线方程x－y＋1＝0联立可得交点的坐标为(1,2)．应选B.8．[2019·广东中山一中统测]过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．假如x1＋x2＝6,那么|AB|＝()A．6B．8C．9D．10答案：B分析：由题意知，抛物线y2＝4x的准线方程是∵过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于

x＝－1.A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，∴|AB|＝x1＋x2＋2.又∵x1＋x2＝6，|AB|＝x1＋x2＋2＝8.应选B.二、非选择题9．[2019·广西贺州桂梧高中月考]抛物线x2＝－2py(p>0)的焦点到直线y＝2的距离为5，则p＝________.答案：6p分析：由题意得2＋2＝5，∴p＝6.2210．[2019湖·南益阳、湘潭联考]已知圆C1：x＋(y－2)＝4，抛85物线C2：y2＝2px(p>0)，C1与C2订交于A，B两点．若|AB|＝5，则抛物线C2的方程为________．答案：y2＝325x分析：由题意得圆C1与抛物线C2的此中一个交点B为原点，设A(x，y)，圆C1的圆心为C(0,2)．|AB|85122515∵|AB|＝5，∴sin2∠BCA＝|BC|＝5，cos2∠BCA＝5.1852516185∴y＝|AB|sin2∠BCA＝5×5＝5，x＝|AB|cos·2∠BCA＝558816×5＝5，∴点A的坐标为5，5.81616∵点A在抛物线C2上，∴2p×5＝52，解得p＝5，∴抛物线C2的方程为y2＝32x.．·厦门模拟5的抛物线2＝2px(p>0)上一点]已知焦点为F11[2019yA(m，22)，若以A为圆心，|AF|为半径的圆A被y轴截得的弦长为5，则m＝________.答案：2分析：由于圆A被y轴截得的弦长为25，因此m2＋5＝|AF|p＝m＋2①，又A(m,22)在抛物线上，故8＝2pm②由①与②可得p＝2，m＝2.12．[2019浙·江联考]抛物线y2＝4x的焦点为F，点P(x，y)为该|PF|抛物线上的动点，又点A(－1,0)，则|PA|的最小值是________．2答案：2分析：依据抛物线的定义，可求得|PF|＝x＋1，又|PA|＝x＋12＋y2，因此|PF|＝x＋1①.22|PA|＋1＋yx212由于y＝4x，令x＋1＝t，则①式可化简为－t2＋2t＋1，此中t∈(0,2]，即可求得1的最小值为2，因此|PF|的最小值为－t2＋2t＋12|PA|22.刷题课时增分练34○综合提能力课时练赢高分一、选择题1．若抛物线y2＝2px(p>0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为()A．y2＝4xB．y2＝36xC．y2＝4x或y2＝36xD．y2＝8x或y2＝32x答案：C分析：由于抛物线y2＝2px(p>0)上一点到抛物线的对称轴的距离为，因此若设该点为，则，±．由于P到抛物线的焦点p，06PP(x06)pF2的距离为10，因此由抛物线的定义得x0＋2＝10①.由于P在抛物线上，因此36＝2px0②.由①②解得p＝2，x0＝9或p＝18，x0＝1，则抛物线的方程为y2＝4x或y2＝36x.2．[2019·重庆酉阳月考]已知F是抛物线C：y＝2x2的焦点，点P(x，y)在抛物线C上，且x＝1，则|PF|＝()93A.8B.2175C.8D.2答案：Cy1分析：由y＝2x2，得x2＝2，则p＝4.117得|PF|＝2＋2＝2＋8＝8.应选C.3．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，P是抛物线上一点，若|PF|＝5，则△PKF的面积为()A．4B．5C．8D．10答案：A分析：通解由抛物线y2＝4x，知p2＝1，则焦点F(1,0)．设点22Py0，y0，则由＝，得y0－12＋2＝，解得＝±，因此△4|PF|54y05y04SPKF＝1×p×|y＝1×2×4＝4，应选A.20|2优解由题意知抛物线的准线方程为x＝－1.过点P作PA⊥l于p点A，由抛物线的定义知|PF|＝xp＋2＝xp＋1＝5，因此xp＝4，代入抛物线y2＝4x，得yp＝±4，因此S△PKF＝1×p×|yp＝1×2×4＝4，应选A.2|24．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为()33A．±B．±34C．±1D．±3答案：Dp分析：设M(x，y)，由题意知F2，0，由抛物线的定义，可知xp3p，由y2＝2p×3p3p＋＝2p，故x＝22，知y＝±3p.当M2，3p时，2kMF＝3p－03，3pp＝2－23p－3p－0当M2，－3p时，kMF＝3pp＝－3，故kMF＝±3.应选2－2D.．·全国卷Ⅰ设抛物线：2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)5[2018]Cy2→→＝()且斜率为的直线与C交于M，N两点，则FM·3FNA．5B．6C．7D．8答案：D2分析：由题意知直线MN的方程为y＝3(x＋2)，y＝2x＋2，联立直线与抛物线的方程，得3y2＝4x，x＝1，x＝4，解得或y＝2y＝4.不如设M为(1,2)，N为(4,4)．→→又∵抛物线焦点为F(1,0)，∴FM＝(0,2)，FN＝(3,4)．→→＝0×3＋2×4＝8.∴FM·FN应选D.·辽宁联考抛物线：2＝4x的焦点为F，N为准线上一．6[2019]Cy点，M为y轴上一点，∠MNF为直角，若线段MF的中点E在抛物线C上，则△MNF的面积为()232A.2B.2C.2D．32答案：C分析：如下图，不如设点N在第二象限，连结EN，易知F(1,0)，由于∠MNF为直角，点E为线段MF的中点，因此|EM|＝|EF|＝|EN|，又E在抛物线C上，因此⊥准线＝－，1，2，因此N(－，ENx1E212)，M(0,22)，因此|NF|＝6，|NM|＝3，因此△MNF的面积为322，应选C.7．[2019·河南联考]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，且l过点(－2,3)，M在抛物线C上．若点N(1,2)，则|MN|＋|MF|的最小值为()A．2B．3C．4D．5答案：B分析：由题意得l：x＝－2，抛物线C：y2＝8x.过点M作MM′⊥l，垂足为点M′，过点N作NN′⊥l，垂足为点N′.由抛物线的几何性质，得|MN|＋|MF|＝|MN|＋|MM′|≥|NN′|＝3.∴当点M为直线NN′与抛物线C的交点时，|MN|＋|MF|获得最小值3.应选B.8．[2019·湘潭调研]如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为()1620A．5B．6C.3D.3答案：C分析：解法一如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AF|＝2|MF|＝2p，因此2p＝4，解得p＝2，抛物线的方程为y2＝4x.设A(x1，py1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋2＝x1＋1＝4，因此x1＝3，解得y1＝23，23因此A(3,23)，又F(1,0)，因此直线AF的斜率k＝3－1＝3，因此直线AF的方程为y＝3(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x得，3x2－10x＋3＝0，因此

x＋x＝10，|AB|＝x＋x＋p＝16.应选123123

C.解法二如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AF|＝2|MF|＝2p，因此2p＝4，解得p＝2，抛物线的方程为y2＝4x.设A(x1，pp2y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，因此x1＝3，又x1x2＝4＝2，因此＝1，因此|AB|＝x＋x＋p＝16应选C.1x23123.解法三如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AF|＝2|MF|＝2p，因此2p＝4，解得p＝2，抛物线的方程为y2＝4x.设A(x1，1，2，y2)，由于1＋1＝2，|AF|＝4，因此|BF|＝4，因此|AB|y)B(x|AF||BF|p316|AF|＋|BF|＝4＋3＝3.应选C.二、非选择题9．[2019·宁夏模拟]已知抛物线的极点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为________．答案：±4x2＝－2py(p>0)．由定义分析：由题意可设抛物线的标准方程为p知P到准线的距离为4，故2＋2＝4，即p＝4，因此抛物线的方程为x2＝－8y，代入点P的坐标得m＝±4.10．抛物线＝－2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值yx是________．4答案：3分析：解法一如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线y＝－x2相切的直线为4x＋3y＋b＝0，切线方程与抛物线方程联立得y＝－x2，消去y整理得3x2－4x－b＝0，则＝16＋12b＝0，4x＋3y＋b＝0，442解得b＝－3，因此切线方程为4x＋3y－3＝0，抛物线y＝－x上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是这两条平行线间的距离d＝48－345＝3.由y＝－x2，得y′＝－2x.如图，设与直线4x＋3y－8解法二＝0平行且与抛物线y＝－x2相切的直线与抛物线的切点是T(m，－2，则切线斜率k＝′x＝m＝－2m＝－4，因此m＝2，即切点m)y|33248－4－8433T3，－9，点T到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝16＋9＝3，由4图知抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是3.11．[2019·云南大理州模拟]已知抛物线C的极点在座标原点，焦点F在x轴的正半轴上，过点F的直线l与抛物线C订交于A、B两点，且知足→→＝－3OA·OB4.(1)求抛物线C的标准方程；(2)若点M在抛物线C的准线上运动，其纵坐标的取值范围是[－，且→→的准1,1]·＝9，点N是以线段AB为直径的圆与抛物线CMAMB线的一个公共点，求点N的纵坐标的取值范围．分析：(1)设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，其焦点F的坐标为p，0，直线l的方程为x＝ty＋p，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程22y2＝2px，消去x得：y2－2pty－p2＝0，因此y1＋y2＝2pt，y1y2＝x＝ty＋22y12×y22y1y22p2→→＋y＝－3p