20182019学年高中数学模块综合检测(含解析)新人教A版必修4

模块综合检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中只有一项为哪一项切合题目要求的)1．已知角α的终边经过点P(－3,4)，则sinα的值等于( )3A．－5B.

35445D．－5分析：选Csinα＝42＋42＝4.－5π3π2．已知cos2＋φ＝－2且|φ|＜2，则tanφ＝( )3A．－3B.3C．－3D.3π33ππ分析：选D由cos2＋φ＝－2得sinφ＝2，又|φ|＜2，因此φ＝3，因此tanφ＝3.3．已知M是△ABC的BC边上的中点，若AB＝a，AC＝b，则AM＝()1－)B.1)A.((＋2ab2ab11C．－2(a－b)D．－2(a＋b)分析：选BAM＝AB＋BM＝AB＋1112BC＝AB＋(AC－AB)＝(a＋b)．2235ππ＋απ－α－π＋α4．设角α＝－6，则1＋sin2α＋π－α－cos2π＋α的值为( )3A.B.22C.2D.3分析：选D由于α＝－35π＝π－6π，66因此π＋απ－α－π＋α1＋sin2α＋π－α－cos2π＋α2sinαcosα＋cosα2sinαcosα＋cosαcosα＝1＋sin2α＋sinα－cos2α＝2sin2α＋sinα＝sinα113.应选D.＝tan－35π＝π＝6tan65．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，k)，且a与b的夹角为锐角，则k的取值范围是( )11A．(－2，＋∞)B.－2，2∪2，＋∞C．(－∞，－2)D．(－2,2)1分析：选B当a，b共线时，2k－1＝0，k＝2，此时a，b方向同样夹角为0°，因此要使a与b的夹角为锐角，则有a·b＞0且a，b不共线．由a·b＝2＋k＞0得k＞－2，且1－2，11k≠2，即实数k的取值范围是2∪，＋∞.26．向量a，b知足|a＋b|＝7，|a－b|＝3，则a·b的值为()A．1B．2C．3D．4分析：选A向量a，b知足|a＋b|＝7，|a－b|＝3，可得a2＋2a·b＋b2＝7，a2－2a·b＋b2＝3，两式相减可得4a·b＝4.解得a·b＝1，应选A.函数y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，且ω＞0,0≤φ＜2π)的部分图象如图所示，则( )ππA．ω＝2，φ＝4ππB．ω＝3，φ＝6C．ω＝π4，φ＝π4D．ω＝π，φ＝5π44π分析：选C∵T＝4×2＝8，∴ω＝4.πππ又∵4×1＋φ＝2，∴φ＝4.π，π，且sin4π28．若α∈2α＝5，则sinα＋4－2cos(π－α)等于( )222A.5B．－522C.5D．－5π2分析：选Bsinα＋4－2cos(π－α)2222＝2sinα＋2cosα＋2cosα＝2sinα＋2cosα.∵sinα＝4π，π，5，α∈23cosα＝－5.224322sinα＋2cosα＝2×5－2×5＝－5.9．△ABC的外接圆圆心为

O，半径为

2，OA＋

AB＋

AC＝0，且|

OA|

＝|

AB|，

CA在CB方向上的投影为

(

)A．－3B．－

3C.3D．3分析：选C如图，由OA＋AB＋AC＝0得OB＝－AC＝CA，因此四边形OBAC是平行四边形．又|OA|＝|AB|，因此三角形OAB为正三角形，由于外接圆的半径为2，因此四边形是边长为2的菱形．因此∠＝π，因此CA在CB上的投影为|CA|cosπOBACACB6632×2＝3，选C.10．已知在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝23，点P为边BC所在直线上的一个动点，则对于APAB)·(＋AC)的值，正确的选项是(A．为定值2B．最大值为4C．最小值为1D．与P的地点相关分析：选

A

如图，取

BC中点

D，由题意知|

AD|

＝1.AP

·(

AB

＋

AC

)

＝

AP

·(2

AD

)

＝2|

AD|·|AP|·cos

∠DAP＝2|

AD|2＝2.11．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)ω>0，|φ|<π的最小正周期为π，且2f(－x)＝f(x)，则()A．f(x)在0，π单一递减2π3πB．f(x)在4，4单一递减πC．f(x)在0，2单一递加π3πD．f(x)在4，4单一递加π分析：选Ay＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝2sinωx＋φ＋4，由最小正周期为π得ω＝2，又由f(－x)＝f(x)可知f(x)为偶函数，|φ|<ππ2可得φ＝4，因此y＝π单一递减．2cos2x，在0，212．在△ABC所在的平面上有一点PPA＋PB＋PC＝AB，则△PBC与△ABC，知足面积之比为()1A.B.2233D.4分析：选C由于PA＋PB＋PC＝AB，因此PA＋PB＋PC－AB＝0，即2PA＋PC＝0，因此2PA＝CP，即点P是CA边上的凑近点A的一个三平分点，△PBCPC2故＝＝.△ABCAC3S二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分)2a－313．已知cosx＝4－a，x是第二、三象限的角，则a的取值范围为________．2a－32a－34－a＜0，分析：－1＜cosx＜0，－1＜4－a＜0，2a－34－a＞－1.3∴－1＜a＜2.3答案：－1，214．已知e、e是夹角为的两个单位向量，a＝e－2e，b＝ke＋e.若a·b＝0，则122π12123实数k的值为________．分析：由题意知：a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0，22即ke1＋e1e2－2ke1e2－2e2＝0，2π2π5即k＋cos3－2kcos3－2＝0，化简可求得k＝4.5答案：415．y＝3－2cos3x＋π的定义域为________．6分析：∵2cos3x＋π≥0，6πππ∴2kπ－2≤3x＋6≤2kπ＋2，∴2π－2π≤≤2π＋π(k∈Z)，3k9x3k9函数的定义域为x|2π－2π≤x≤2π＋π，∈Z.3k93k9k22π2π答案：x|3kπ－9≤x≤3kπ＋9，k∈Z16．对于函数f(x)＝cos2x－ππ，给出以下命题：3＋cos2x＋6①f(x)的最大值为2；②f(x)的最小正周期是π；π，13π③f(x)在区间2424上是减函数；④将函数y＝2cos2x的图象向右平移πy＝f(x)的图象重合．24个单位长度后，与函数此中正确命题的序号是____________．分析：f(x)＝cos2x－π＋cos2x＋π＝cos2x－π＋sinπ－2x＋π＝36326cos2x－π－sin2x－π＝22π－22x－π＝2cos2x－π＋π＝2332cos2x－32sin334πcos2x－12，∴函数f(x)的最大值为2，最小正周期为π，故①②正确；π13πππ13π又当x∈24，24时，2x－12∈[0，π]，∴函数f(x)在24，24上是减函数，故③正确；ππ由④得y＝2cos2x－24＝2cos2x－12，故④正确．答案：①②③④三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)π17.(10分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)ω>0，A>0，φ∈0，2的部分图象以下图，此中点P是图象上的一个最高点．求函数f(x)的分析式；π

5

α(2)若α∈

2，π，且

sin

α＝13，求

f

2

.解：(1)由函数最大值为2，得A＝2.由图象可得函数周期为π－－π＝π，T＝4×126∴ω＝2，ππ0，ππ2π又ω·12＋φ＝2kπ＋2，k∈Z，且φ∈2，得φ＝3，∴f(x)＝2sinx＋3.π5212(2)由α∈2，π，且sinα＝13，得cosα＝－1－sinα＝－13，ααπ∴f2＝2sin2·2＋3ππ5－123＝2sinαcos3＋cosαsin3＝13.318．(12分)已知角α的终边过点P5，－5.求sinα的值；sinπ－αα－π(2)求式子sin2(α＋π)·π－α的值．解：(1)∵|OP|＝42325＋－5＝1，∴点P在单位圆上，由正弦函数定义得3sinα＝－5.cosαtanαsinα1(2)原式＝－sinα·－cosα＝sinα·cosα＝cosα.3由(1)得sinα＝－5，P在单位圆上，∴由已知得cosα＝4，55∴原式＝4.19．(12分)已知函数f(x)＝sin2＋π＋sin2x－π2x.x66＋2cos求f(x)的最小值及最小正周期；求使f(x)＝3的x的取值会合．解：(1)∵f(x)＝sin2＋π＋sin2x－π＋2cos2x＝sin2xcosπ＋cos2xsinπ＋sinx6666ππ2xcos6－cos2x·sin6＋cos2x＋1＝3sin2x＋cos22＋π＋1，x＋1＝2sinx6∴f(x)min＝2×(－1)＋1＝－1，2π2π最小正周期T＝|ω|＝2＝π.(2)∵f(x)＝3，∴2sin2x＋π＋＝，613π∴sin2x＋6＝1，ππ∴2x＋6＝2kπ＋2，k∈Z，π∴x＝kπ＋6，k∈Z，∴使f(x)＝3的x的取值会合为x|x＝kπ＋π，k∈Z.620．(12分)已知四边形ABCD，AB＝(6,1)，BC＝(x，y)，CD＝(－2，－3)．若BC∥DA，求y＝f(x)的分析式；(2)在(1)

的条件下，若

AC⊥

BD，求

x，y的值以及四边形

ABCD的面积．解：(1)

DA＝－(

AB＋

BC

＋CD)＝(－x－4,2－y)，BC∥DA，∴x(2－y)－(－x－4)y＝0，整理得x＋2y＝0.1y＝－2x.∵AC＝AB＋BC＝(x＋6，y＋1)，BD＝BC＋CD＝(x－2，y－3)，又∵AC⊥BD，∴AC·BD＝0，即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0，由(1)知x＝－2y，将其代入上式，整理得y2－2y－3＝0.解得y1＝3，y2＝－1.当y＝3时，x＝－6，于是BC＝(－6,3)，AC＝(0,4)，BD＝(－8,0)，|AC|＝4，|BD|＝8，∴S四边形1AC||1＝|BD|＝×4×8＝16.ABCD22当y＝－1时，x＝2，于是BC＝(2，－1)，AC＝(8,0)，BD＝(0，－4)，|AC|＝，＝，8|BD|4∴S1AC||BD|四边形＝|ABCD2＝1×8×4＝16.221．(12分)已知函数f(x)＝2sin2πx＋π36.请用“五点法”画出函数f(x)在一个周期上的图象(先列表，再绘图)；求函数f(x)的单一递加区间；3求函数f(x)在区间－2，4上的值域．解：(1)按五个重点点列表以下：2πππ3π3x＋602π22πx115211－4244f(x)020－20描点绘图，以下图．π2πππ1(2)由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得3k－1≤x≤3k＋(k∈Z)，236221因此函数f(x)的单一递加区间为3k－1，3k＋2(k∈Z)．132πππ2π2ππ1(3)由于x∈－2，4，因此3x＋6∈－6，3，因此sin3x＋6∈－2，1，因此2sin2πx＋π∈[－1,2]，即函数f(x)在区间13上的值域是[－1,2]．36－，2422.(12分)已知定义在区间－π，2π上的函数y＝( )的图3fx象对于直线x＝－π对称，当x∈－π2π＝Asin(ωx6，时，函数f(x)63ππ＋φ)A>0，ω>0，－2<φ<2的图象以下图．(1)求函数f(x)在区间－π，2π上的分析式；32求方程f(x)＝2的解．解：(1)当x∈－π，2π时，由题中图象可知，T2ππ，∴T＝2π，∴ω36A＝1，4＝3－61.2π，02π又f(x)的图象过点3，∴3＋φ＝kπ(k∈Z)，ππ又－2<φ<2，π，∴f(x)＝sinx＋π∴φ＝33.πππ2π当－π≤x<－6时，－6<－x－3≤3，f－x－π－x－ππ3＝sin3＋3.π又函数y＝f