(完整版)随机变量及其分布列经典例题

(完整版)随机变量及其分布列经典例题

随机变量及其分布列典型例题

【知识梳理】

一．离散型随机变量的定义

1定义:在随机试验中，确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系

下，数字随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．

①随机变量是一种对应关系；②实验结果必须与数字对应；③数字会随着实验结果的变化而变化.

2.表示：随机变量常用字母X，Y，，，表示．

3。所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量(discreterandomvariable)。

二．离散型随机变量的分布列

1。一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2，，xi,，xn,X取每一个值xi（i=1,2，，n）

的概率P（X=xi)=pi，则称表：

X x1 x2 xi xn

P p1 p2 pi pn

为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列．用等式可表示为P（X=xi）=pi,i=1，2，,n，也

可以用图象来表示X的分布列．

2。离散型随机变量的分布列的性质

①pi0，i=1，2，，n；②pi1．n

i1

三．两个特殊分布

1。两点分布X~B(1,P)

X 0 1

P 1-p p

若随机变量X的分布列具有上表形式，则称X服从两点分布，并称p=P（X=1)为成功概率．

2.超几何分布X~H(N,M,n)

一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X=k)=CMCnnkM，k=0，1，k

N

CN

2,，m,其中m=minM,n，且nN，MN，n，M，NN＊。

X 0 1 m

P

C0Cn0MMN

Cn

N

C1Cn1MMN

Cn

N

CMCnmm

NM

Cn

N

如果随机变量X的分布列具有上表形式,则称随机变量X服从超几何分布．

三．二项分布

一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p,则

P(X=k）=Cknpk（1－p)n－k,k=0,1,2，，n。此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n,p）,并称p为成功

概率．易得二项分布的分布列如下;

X 0 1 k n

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P

C0p0(1p)n

n

C1np(1p)n1

Ckpk(1p)nk

n

pn

【典型例题】

题型一、随机变量分布列的性质

【例1】设随机变量X的分布列为P(Xi)a(2)i,i1,2,3,，则a的值为____.

3

【例2】随机变量的分布列如下

P

-1

a

0

b

1

c

其中a、b、c成等差数列,则P（｜|=1)=___，公差d的取值范围是_____。

题型二、随机变量的分布列

【例3】口袋中有6个同样大小的黑球,编号为1，2，3,4,5，6，现从中随机取出

3个球，用X表示取出的最大号码，求X的分布列．

【例4】安排5个大学生到A,B，C三所学校支教，设每个大学生去任何一所学校是

等可能的．

（1）求5个大学生中恰有2个人去A校支教的概率；

(2）设有大学生去支教的学校的个数为，求的分布列．

【例5】一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球,从中有放回地摸球，每次

摸出一个，若有3次摸到红球即停止．

(1）求恰好摸4次停止的概率；

(2）记4次之内（含4次）摸到红球的次数为X,求随机变量X的分布列．

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【例6】从6名男生和4名女生中任选4人参加比赛，设被选中女生的人数为随机

变量，

求:（1）的分布列；(2）所选女生不少于2人的概率．

【例7】甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中,甲答对其中每道题的

概率都是,乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3

道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15

分才能入选．

（Ⅰ)求乙得分的分布列；

（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．

【例8】某仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为：若初检不合格，则需要进

行调试，经调试后再次对其进行检验；若仍不合格，作为废品处理，再检合格率为

．每台仪器各项费用如表：

项目 生产成本检验费/次调试费 出厂价

金额（元）1000 100 200 3000

（Ⅰ）求每台仪器能出厂的概率；

(Ⅱ）假设每台仪器是否合格相互独立，记X为生产两台仪器所获得的利润，求X

的分布列和数学期望．

【例9】某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客,将获得

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一次摸奖机会,规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球,1

个白球和1个黑球。顾客不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停