统计之图表问题和独立性检验（典型例题+跟踪训练）备战高考数学（新高考通用）解析版

备战高考数学解答题典型例题+跟踪训练（新高考通用）专题统计之图表问题和独立性检验目录一览一、典型例题讲解二、梳理必备知识三、基础知识过关四、解题技巧实战五、跟踪训练达标（1）其他统计图表（2）频率分布直方图（3）独立性检验六、高考真题衔接二、梳理必备知识二、梳理必备知识1.分层抽样一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样。分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的。注：①求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．②已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算．③分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比＝eq\f(样本容量,总体容量)＝eq\f(各层样本数量,各层个体数量)”2.频率分布直方图（1）频率、频数、样本容量的计算方法①eq\f(频率,组距)×组距＝频率．②eq\f(频数,样本容量)＝频率，eq\f(频数,频率)＝样本容量，样本容量×频率＝频数．③频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于.3.频率分布直方图中数字特征的计算（1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．（2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．设中位数为，利用左（右）侧矩形面积之和等于，即可求出．（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和，即有，其中为每个小长方形底边的中点，为每个小长方形的面积．4.百分位数（1）一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值．（2）计算一组个数据的的第百分位数的步骤①按从小到大排列原始数据．②计算．③若不是整数而大于的比邻整数，则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数．（3）四分位数我们之前学过的中位数，相当于是第百分位数．在实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第百分位数，第百分位数．这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．5.样本的数字特征（1）众数、中位数、平均数①众数：一组数据中出现次数最多的数叫众数，众数反应一组数据的多数水平．②中位数：将一组数据按大小顺序依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数，中位数反应一组数据的中间水平．③平均数：个样本数据的平均数为，反应一组数据的平均水平，公式变形：．6.标准差和方差①标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用表示．假设样本数据是，表示这组数据的平均数，则标准差．②方差：方差就是标准差的平方，即．显然，在刻画样本数据的分散程度上，方差与标准差是一样的．在解决实际问题时，多采用标准差．注：平均数、方差的性质如果数据的平均数为，方差为，那么①一组新数据的平均数为，方差是．②一组新数据的平均数为，方差是．③一组新数据的平均数为，方差是．7.独立性检验（1）定义：利用独立性假设、随机变量来确定是否有一定把握认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验．（2）公式：，其中为样本容量．（3）独立性检验的具体步骤如下：①计算随机变量的观测值，查下表确定临界值：0.50.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828②如果，就推断“与有关系”，这种推断犯错误的概率不超过；否则，就认为在犯错误的概率不超过的前提下不能推断“与有关系”．三、基础知识过关三、基础知识过关一、单选题1．近年来国产品牌汽车发展迅速，特别是借助新能源汽车发展的东风，国产品牌汽车销量得到了较大的提升．如图是2021年1－7月和2022年1－7月我国汽车销量占比饼状图，已知2022年1－7月我国汽车总销量为1254万辆，比2021年增加了99万辆，则2022年1－7月我国汽车销量与2021年1－7月相比，下列说法正确的是（

）A．日系汽车销量占比变化最大 B．国产汽车销量占比变大了C．德系汽车销量占比下降最大 D．美系汽车销量变少了【答案】B【分析】由饼状图分析即可【详解】由饼状图可得日系汽车销量占比下降2.2%，德系汽车销量占比下降1.6%，美系与其他下降不足1%，而国产汽车销量占比增加5%>2.2%，故B选项正确，A、C选项错误；美系汽车销量由变化为增加了，D选项错误.故选：B2．空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为、、、、和六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”六个等级．如图是某市2月1日至14日连续14天的空气质量指数趋势图，则下面说法中正确的是（

）．A．这14天中有5天空气质量为“中度污染”B．从2日到5日空气质量越来越好C．这14天中空气质量指数的中位数是214D．连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日【答案】B【分析】根据折线图直接分析各选项.【详解】A选项：这14天中空气质量为“中度污染”有4日，6日，9日，10日，共4天，A选项错误；B选项：从2日到5日空气质量指数逐渐降低，空气质量越来越好，B选项正确；C选项：这14天中空气质量指数的中位数是，C选项错误；D选项：方差表示波动情况，根据折线图可知连续三天中波动最小的是9日到11日，所以方程最小的是9日到11日，D选项错误；故选：B.3．电动工具已成为人们生产和生活中常备的作业工具､数据显示，全球电动工具零部件市场规模由2016年的58亿美元增长至2020年的72亿美元，复合年均增长率达5.55%，2022年全球电动工具零部件市场规模达到80亿美元.根据此图，下列说法中正确的是（

）A．2016-2022年全球电动工具零部件市场规模逐步减少B．2016-2022年全球电动工具零部件市场规模增长速度逐年增长C．2021年全球电动工具零部件市场规模大于2020年全球电动工具零部件市场规模D．2018-2019年全球电动工具零部件市场规模增速的差值最大【答案】C【分析】根据条形图和折线图可得出结果【详解】由条形图可以看出全球电动工具零部件市场规模逐步增加，所以选项A错误；由折线图可以看出2016-2022年全球电动工具零部件市场规模增长速度有增有减，所以选项B错误；由条形图可以看出选项正确；由折线图可以看出2017-2018年全球电动工具零部件市场规模增速的差值最大，所以选项D错误；故选：C4．2月国家统计局发布中华人民共和国2022年国民经济和社会发展统计公报．下图1是2018-2022年国内生产总值及其增长速度，图2是2018-2022年三次产业增加值占国内生产总值比重（三次产业包括第一产业，第二产业，第三产业）．根据图1，图2，以下描述不正确的是（

）A．2018-2022年国内生产总值呈逐年增长的趋势B．2020年与2022年国内生产总值的增长速度较上一年有明显回落C．2018-2022年第三产业增加值占国内生产总值比重的极差为1.7%D．2020年第二产业增加值较2019年有所减少【答案】D【分析】根据给出的图形逐一分析判断即可.【详解】依题意，对于A：由图1可以看出直方图逐年增高，所以2018-2022年国内生产总值呈逐年增长的趋势，故A正确；对于B：由图1可以看出折线在2020年与2022年时与上一年连线的斜率小于0，故B正确；对于C：由图2可以得出2018-2022年第三产业增加值占国内生产总值比重最大值为：54.5%，最小值为：52.8%，所以极差，故C正确；对于D：结合图1图2可知，2019年第二产业的增加值为：亿元；2020年第二产业的增加值为：亿元.因为，所以2020年第二产业增加值较2019年有所增加，故D错误.故选：D.5．为提升学校教职工的身体素质，某校工会组织学校600名教职工积极参加“全民健身运动会”，该运动会设有跳绳、仰卧起坐、俯卧撑、开合跳、健步走五个项目，教职工根据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个，参加各项目的人数比例的饼状图如图所示，其中参加俯卧撑项目的教职工有75名，参加跳绳项目的教职工有125名，则该校（）A．参加该运动会的教职工的总人数为450B．参加该运动会的教职工的总人数占该校教职工人数的80%C．参加开合跳项目的教职工的人数占参加该运动会的教职工的总人数的12%D．从参加该运动会的教职工中任选一名，其参加跳绳或健步走项目的概率为0.6【答案】D【分析】根据饼状图结合频数与频率的关系判断A，B，C，根据古典概型概率公式判断D.【详解】参加该运动会的教职工的总人数为，故选项A错误，参加该运动会的教职工的总人数与该校教职工人数的比值为，选项B错误；由已知参加跳绳项目的教职工的人数占比，所以参加开合跳项目的教职工的人数占比，故选项C错误.参加参加跳绳或健步走项目的教职工的人数为，所以任选一名，其参加跳绳或健步走项目的概率，故选项D正确；故选：D.6．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了解居民节约用水的意识，随机调查了100户居民某年的月均用水量数据（单位：立方米），制成如图所示的频率分布直方图．下列说法正确的是（

）A．该组样本数据的极差是4立方米B．可估计全市居民用户月均用水量的中位数的估计值是2.25立方米C．可估计全市居民用户月均用水量的众数的估计值是2立方米D．可估计全市居民用户中月均用水量超过3立方米的约占15%【答案】D【分析】根据题意，由频率分布直方图对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A选项，由频率分布直方图无法得到这组数据的最大值和最小值，故无法准确判断这组数据的极差，故A错误．对于B选项，因为，，设中位数为，由得，故B错误．对于C选项，众数为：，故C错误．对于D选项，月均用水量超过3立方米的频率为，故D正确．故选:D．7．某省普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为五个等级.某高中2022年参加“选择考”总人数是2020年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平，统计了该校2020年和2022年“选择考”成绩等级结果，得到如下统计图.针对该校“选择考”情况，2022年与2020年比较，下列说法正确的是（

）A．获得A等级的人数减少了 B．获得B等级的人数增加了1.5倍C．获得D等级的人数减少了一半 D．获得E等级的人数相同【答案】B【分析】设2020年参加选择考的总人数为a，根据统计图计算出这两年的每个等级的人数，进行比较，可得答案.【详解】由题可知：设2020年参加选择考的总人数为a，则2022年参加选择考的总人数为2a人；2020年评定为五个等级的人数为：；2022年评定为五个等级的人数为∶；由此可知获得A等级的人数增加了，A错误；由于，即获得B等级的人数增加了1.5倍，B正确；获得D等级的人数增加了，C错误；获得E等级的人数增加了1倍，D错误；故选∶B．8．某校排球社团的同学为训练动作组织了垫球比赛，如图所示是为排球社团40位同学的一次垫球数所绘制的频率分布直方图，所有同学一次垫球数都在个之间，估计一次垫球数的样本数据的分位数是（

）A．27 B．28 C．29 D．30【答案】C【分析】根据频率分布直方图结合百分位数公式计算即可.【详解】垫球个数在的频率为，垫球个数在的频率为，所以分位数位于之间，设百分位数为x，则，解得︰.故选∶C．9．某市质量检测部门从辖区内甲、乙两个地区的食品生产企业中分别随机抽取9家企业，根据食品安全管理考核指标对抽到的企业进行考核，并将各企业考核得分整理成如下的茎叶图．由茎叶图所给信息，可判断以下结论中正确是（

）A．若，则甲地区考核得分的极差大于乙地区考核得分的极差B．若，则甲地区考核得分的平均数小于乙地区考核得分的平均数C．若，则甲地区考核得分的方差小于乙地区考核得分的方差D．若，则甲地区考核得分的中位数小于乙地区考核得分的中位数【答案】C【分析】根据极差、平均数、中位数的计算方法判断ABD；由波动程度判断C.【详解】对于A：甲地区考核得分的极差为，乙地区考核得分的极差为，即甲地区考核得分的极差小于乙地区考核得分的极差，故A错误；对于B：甲地区考核得分的平均数为乙地区考核得分的平均数为，即甲地区考核得分的平均数大于乙地区考核得分的平均数，故B错误；对于C：甲地区考核得分从小到大排列为：75，78，81，84，85，88，92，93，94乙地区考核得分从小到大排列为：74，77，80，83，84，87，91，95，99由以上数据可知，乙地区考核得分的波动程度比甲地区考核得分的波动程度大，即甲地区考核得分的方差小于乙地区考核得分的方差，故C正确；对于D：由茎叶图可知，甲地区考核得分的中位数为，乙地区考核得分的中位数为，则甲地区考核得分的中位数大于乙地区考核得分的中位数，故D错误；故选：C10．青少年是国家的未来和民族的希望，青少年身体素质事关个人成长､家庭幸福，民族未来，促进青少年健康是建设体育强国､健康中国的重要内容.党中央历来高度重视青少年体质与健康管理工作，亲切关怀青少年和儿童的健康成长，不断出台相关政策法规，引导广大青少年积极参与体育健身，强健体魄､砥砺意志，凝聚和焕发青春力量.近年来，随着政策措施牵引带动，学生体质与健康水平不断迈上新台阶.某学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生体重情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（

）A．样本的众数为67.5 B．样本的80%分位数为72.5C．样本的平均值为66 D．该校男生中低于60公斤的学生大约为300人【答案】C【分析】由频率分布直方图的众数、百分位数、平均数以及频数的计算公式对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A，样本的众数为67.5，故A正确；对于B，设样本的80%分位数为，因为则，解得：，故B正确；对于C，设样本的平均值为，,故C不正确；对于D，该校男生中低于60公斤的学生所占的频率为：，该校男生中低于60公斤的学生大约为人，故D正确.故选：C.11．若数据，，…，的平均数为2，方差为3，则下列说法错误的是（

）A．数据，，…，的平均数为9 B．C．数据，，…，的方差为 D．【答案】C【分析】根据期望、方差的性质判断A、C的正误；利用期望、方差公式分析B、D的正误.【详解】A：由原数据期望，则新数据期望，正确；B：，正确；C：由原数据方差，则新数据期望，错误；D：由，所以，正确.故选：C12．随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分，某地旅游部门从2022年到该地旅游的游客中随机抽取10000位游客进行调查，得到各年龄段游客的人数和旅游方式，如图所示，则下列说法不正确的是（

）A．估计2022年到该地旅游的游客中中年人和青年人占游客总人数的80%B．估计2022年到该地旅游的游客中选择自助游的游客占游客总人数的26.25%C．估计2022年到该地旅游且选择自助游的游客中青年人超过一半D．估计2022年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人比到该地旅游的老年人还要多【答案】D【分析】设2022年到该地旅游的游客总人数为,则有老年人、中年人、青年人的人数分别为，，，选择自助游的老年人、中年人、青年人的人数分别为，，，再分别判断每一选项即可.【详解】解：设2022年到该地旅游的游客总人数为，由题意可知游客中老年人、中年人、青年人的人数分别为，，，其中选择自助游的老年人、中年人、青年人的人数分别为，，，所以2022年到该地旅游的游客中中年人和青年人的人数为，所以A正确；因为2022年到该地旅游的游客选择自助游的人数为，所以B正确；因为2022年到该地旅游且选择自助游的游客的人数为，其中青年人的人数为，所以C正确；因为2022年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人的人数为，而到该地旅游的老年人的人数为，所以D错误.故选：D.四、解题技巧实战四、解题技巧实战1．足球号称世界第一大体育运动，卡塔尔世界杯刚刚落下帷幕．主办方为了调查球迷对本次世界杯的满意度，从来自本地（地区）和外地（地区）的球迷中，分别随机调查了名球迷，得到他们对本届世界杯的满意度评分，如茎叶图所示：(1)设表示地区名球迷满意度的方差，表示地区名球迷满意度的方差，则_____；（用“”或“”填空，不要求写出计算过程）；(2)计算地区的分位数；(3)根据满意度评分，将满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于分分到分不低于分满意度等级级（不满意）级（满意）级（非常满意）从地区和地区分别随机抽取名球迷，记事件：“地区球迷的满意度等级高于地区球迷的满意度等级”，根据所给数据，用调查样本的频率估计地区总体概率，求的概率.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据样本数据的集中程度可得出、的大小关系；（2）利用百分位数的定义可计算出地区分位数；（3）设事件分别表示抽取地区名球迷的满意度为级，则、、两两互斥，设事件分别表示抽取地区名球迷的满意度为级，则、、两两互斥，可得，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得的值.【详解】（1）解：因为地区的数据更集中，则地区的方差越小，则.（2）解：设地区的个数据由小到大依次为、、、，由，得分位数等于．（3）解：设事件分别表示抽取地区名球迷的满意度为级，则、、两两互斥，设事件分别表示抽取地区名球迷的满意度为级，则、、两两互斥，且有与相互独立，由题意得，，，，，，又有，且、、互斥，故．2．从某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组频数62638228(1)根据上表补全所示的频率分布直方图；(2)估计这种产品质量指标值的平均数、方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）及中位数（保留一位小数）；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？【答案】(1)答案见解析；(2)平均数为，方差为，中位数为99.7；(3)答案见解析﹒【分析】（1）由图表绘制直方图即可；（2）根据直方图，结合平均数、中位数的概念求值；（3）根据质量指标值不低于95的产品所占比例说明即可.【详解】（1）质量指标值分组频数62638228频率/组距0.0060.0260.0380.0220.008则频率分布直方图如下图所示：（2）质量指标值的样本平均数为：，质量指标值的样本方差为：，∴这种产品质量指标值的平均数约为100，方差约为104．第一组频率为：0.06，第二组频率为：0.26，第三组频率为：0.38，∵0.06+0.26<0.5，0.06+0.26+0.38>0.5，∴中位数落在第三组内，设中位数为x，则，解得，因此，中位数为99.7；（3）质量指标值不低于95的产品所占比例约为，由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定．3．自2015年上海启动《上海绿道专项规划（2035）》至今上海已建成绿道总长度近1600公里．根据《上海市气态空间专项规划（2021—2035）》，到2035年，上海绿道总长度将超过2000公里．届时，绿道会像城市的毛细血管一样，延伸到市民生活的各个角落，绿荫卜的绿道（步道、骑行道）给市民提供了散步休憩、跑步骑行运动的生态空间．某一线品牌自行车制造商在布局线下自行车体验与销售店时随机调研了1000位市民，调研数据如表1所示．166位有意愿购买万元级运动自行车的受访者的年龄（单位：岁），在各区间内的频数记录如表2所示．表1有意愿购买万元级运动自行车没有意愿购买万元级运动自行车总计距家2千米内有骑行绿道118270距家2千米内无骑行绿道总计1661000表2年龄分组区间频数16243530211511653(1)试估计有意愿购买万元级运动自行车人群的平均年龄（结果精确到0.1岁）．(2)将表1的2×2列联表中的数据补充完整，并判断是否有95%的把握认为“离家附近（2千米内）有骑行绿道与万元级运动自行车消费有关”？附：，其中．0.100.050.010.005k2.7063.8416.6357.879【答案】(1)(2)列联表见解析，有95%的把握【分析】（1）将年龄分组区间取中间值乘以频数，全部相加后除以总人数可得平均值；（2）利用公式求出，然后里利用表中数据比较大小后得出结论.【详解】（1）有意愿购买万元级运动自行车人群的平均年龄，即有意愿购买万元级运动自行车人群的平均年龄约岁；（2）列联表如下表：有意愿购买万元级运动自行车没有意愿购买万元级运动自行车总计距家2千米内有骑行绿道118270388距家2千米内无骑行绿道48564612总计1668341000由表得，所以有95%的把握认为“离家附近（2千米内）有骑行绿道与万元级运动自行车消费有关”.五、跟踪训练达标五、跟踪训练达标其他统计图表1．（沪教版（2020）必修第三册经典导学课后作业第13章13.4第2课时茎叶图和散点图）某省采用的“3+1+2”模式新高考方案中，对化学、生物、地理和政治等四门选考科目，制定了计算转换分（即记入高考总分的分数）的“等级转换赋分规则”（详见附1和附2），具体的转换步骤为：①原始分等级转换；②原始分等级内等比例转换赋分．某校的一次年级统考中，政治、化学两选考科目的原始分分布如表：等级比例约15%约35%约35%约13%约2%政治学科各等级对应的原始分区间化学学科各等级对应的原始分区间现从政治、化学两学科中分别随机抽取了20个原始分成绩数据如下：政治：64

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70并根据上述数据制作了如下的茎叶图：(1)茎叶图中各序号位置应填写的数字分别是：①应填______，②应填______，③应填_____，④应填______，⑤应填______，⑥应填______．(2)该校的甲同学选考政治学科，其原始分为82分，乙同学选考化学学科，其原始分为91分．基于高考实测的转换赋分模拟，试分别探究这两位同学的转换分，并从公平性的角度谈谈你对新高考这种“等级转换赋分法”的看法．附1：等级转换的等级人数占比与各等级的转换分赋分区间．等级原始分从高到低排序的等级人数占比约15%约35%约35%约13%约2%转换分的赋分区间附2：计算转换分的等比例转换赋分公式：（其中：，分别表示原始分对应等级的原始分区间的下限和上限；，分别表示原始分对应等级的转换分赋分区间的下限和上限．的计算结果按四舍五入取整）【答案】(1)6，7，8，9，8，9(2)甲、乙两位同学的转换分都为87分，看法见解析【分析】（1）根据茎叶图以及原始数据即可求解，（2）根据等比例转换赋分公式即可求解，【详解】（1）根据原始数据可知数据的范围为60-99之间，故茎的位置分别为6，7，8，9，结合原始数据可知⑤⑥为8，9（2）甲同学选考政治学科的等级为，根据等比例转换赋分公式：，得．乙同学选考化学学科的等级为，根据等比例转换赋分公式：，得．故甲、乙两位同学的转换分都为87分．从公平性的角度对新高考这种“等级转换赋分法”的看法：一、从茎叶图可得甲、乙同学原始分都排第三，转换后都是87分，因此高考这种“等级转换赋分法”具有公平性与合理性．二、甲同学与乙同学原始分差9分，但转换后都是87分，高考这种“等级转换赋分法”对尖子生不利．2．（2022届高三普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷（一））根据中国造纸协会统计数据显示，2014年以来，我国纸及纸板生产量整体呈现震荡上行趋势，增速保持在低位运行.如图是2014~2020年中国纸及纸板生产量统计图.(1)试计算2014~2020年中国纸及纸板生产量的平均值、中位数与极差（平均值结果保留两位小数）；(2)2018年，行业景气度下滑，中国纸及纸板生产量小幅下滑，试计算2014~2017年、2018~2020年两个时间段中国纸及纸板生产量的平均值的大小，并比较这两个时间段中国纸及纸板生产量的方差的大小.【答案】(1)平均值为（万吨），中位数为10765万吨，极差为（万吨）(2)2014~2020年生产量的平均值为（万吨），2018~2020年生产量的平均值为（万吨）；2018~2020年中国纸及纸板生产量的方差比2014~2017年中国纸及纸板生产量的方差大【分析】（1）利用平均数的公式直接求解，对这7个数排列后，第4个数为中位数，最大的数与最小的数的差为极差，（2）利用平均数的公式分别求解比较，根据数据的分散程度判断方差即可(1)2014~2020年中国纸及纸板生产量的平均值为（万吨），因为这7个数从小到大依次为10435，10470，10710，10765，10855，11130，11260，所以中位数为10765万吨，极差为（万吨）.(2)2014~2017年中国纸及纸板生产量的平均值为（万吨），2018~2020年中国纸及纸板生产量的平均值为（万吨），因为，所以2018~2020年中国纸及纸板生产量的平均值比2014~2017年中国纸及纸板生产量的平均值大.由图知，2018~2020年中国纸及纸板生产量的数据比2014~2017年中国纸及纸板生产量的数据的分散程度大，所以2018~2020年中国纸及纸板生产量的方差比2014~2017年中国纸及纸板生产量的方差大.3．（2023版北师大版（2019）必修第一册突围者第七章专项拓展训练概率与统计的综合应用）某校高一年级为了提高教学质量，对老师命制的试卷提出要求，难度系数须控制在[0.65，0.7]（难度系数是指学生得分的平均数与试卷总分的比值，例如：满分为100分的试卷平均分为68分，则难度系数为）．某次数学考试（满分100分），王老师根据所带班级100名学生的等级来估计高一年级1800人的数学成绩情况，已知学生的成绩分为A，B，C，D，E五个等级，统计数据如图所示．根据图中的数据，回答下列问题：(1)试估算该校高一年级学生的数学成绩等级为B的人数．(2)若等级A，B，C，D，E分别对应90分、80分、70分、60分、50分，请问按王老师的估计，本次数学考试试卷的命制是否符合要求？(3)王老师决定从数学成绩等级为A，B的学生中按分层随机抽样选出6人分享学习经验，再从这6人中任选2人，求恰好抽到1名数学成绩等级为A的学生的概率．【答案】(1)(2)符合要求(3)【分析】（1）用样本估计总体即可；（2）运用难度系数的计算公式计算即可；（3）根据分层抽样的规则确定所抽取A、B等级的学生人数，然后用古典概型的概率公式计算即可.【详解】（1）高一年级学生的数学成绩等级为B的人数约为.（2）王老师所带班级数学成绩的平均分为：，所以估计难度系数为，符合要求．（3）按分层随机抽样，抽到的6人中数学成绩等级为A的有（人），编号分别为a，b，数学成绩等级为B的有（人），编号分别为1，2，3，4．从6人中任选2人，其样本空间为{ab，a1，a2，a3，a4，b1，b2，b3，b4，12，13，14，23，24，34}，共15个样本点；选到的2人中恰有1名数学成绩等级为A，其样本空间为：{a1，a2，a3，a4，b1，b2，b3，b4}，共8个样本点，所以恰好抽到1名数学成绩等级为A的概率为．4．（云南省昭通一中等三校2022届高三下学期高考备考实用性联考（四）数学（文）试题）昭通苹果因其“成熟早、甜度好、香味浓、口感脆、富含硒”等特点，被众多消费者所认可，畅销全国各地.现昭通各合作农场的果园进入盛果期，苹果单果直径不同单价不同，某苹果收购商为比较甲、乙两个农场苹果的直径，现从两个农场的苹果树上各随机摘下了20个苹果测量其直径，经统计，其单果直径分布在区间内（单位：mm），统计的茎叶图如图所示：(1)根据茎叶图判断哪个农场产出的苹果直径更大？并说明理由；(2)以此茎叶图中单果直径出现的频率代表概率，若甲农场的果园有20万个苹果约5万千克待出售，该收购商提出两种收购方案：方案A：所有苹果均以5.5元/千克收购；方案B：按苹果单果直径大小分3类装箱收购，每箱装25个苹果，定价收购方式为：单果直径在内按35元/箱收购，在内按45元/箱收购，在内按55元/箱收购.包装箱与分拣装箱费用为5元/箱（该费用由合作农场承担）.请你通过计算为甲农场推荐收益最好的方案.【答案】(1)甲农场，理由见解析；(2)方案B.【分析】（1）可以利用茎叶图的数字特征众数，例如：中位数，平均数，任意一个进行说明；（2）分别算出方案一与方案二的收益，即可得到答案【详解】（1）甲农场的苹果直径较大其理由如下：（i）由茎叶图可知：甲农场有的苹果直径至少为，乙农场有75%的苹果直径至多79mm.因此甲农场的苹果直径较大.（ii）由茎叶图可知：甲农场苹果直径的中位数为，乙农场苹果直径的中位数为.因此甲农场的苹果直径较大.（iii）由茎叶图可知：甲农场苹果直径的平均数高于；乙农场苹果直径的平均数低于，因此甲农场的苹果直径较大.（iv）由茎叶图可知：甲农场苹果直径分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；乙农场苹果直径分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又因苹果直径分布的区间相同，故可以认为甲农场的苹果直径较大.以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.（2）按方案A：甲农场收益为：（万元）

按方案B：依题意可知甲农场的果园共万箱，即8000箱苹果，则该合作农场收益为：元，

即为32万元因为，所以甲农场推荐收益最好的方案是B.5．（2022年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（白卷）试题）针对长江经济带河湖保护中存在的突出问题，水利部门出台了一系列指导和保护措施，取得了积极成效.为了解当地居民对长江及沿岸生态环境的保护意识，分别从长江沿岸的两地居民中各随机抽取了20位居民进行问卷调查，并将调查问卷的成绩进行统计，得到如下数据：甲地得分：79，60，80，96，89，54，74，72，65，52，61，85，61，81，79，74，53，68，68，53.乙地得分：80，86，73，60，52，96，77，93，75，99，81，67，55，77，74，97，85，77，99，78.(1)根据表中数据绘制茎叶图并大致判断甲､乙两地哪个地区居民的环保意识相对较高，并说明理由；(2)现从90分以上的调查问卷中随机抽取2份进行分析，求这2份问卷中至少有1份来自甲地的概率.【答案】(1)乙地居民的环保意识相对较高，理由见解析(2)【分析】（1）根据表中数据绘制茎叶图可通过数据的分布，平均数或中位数判断；（2）利用古典概型的概率求解.（1）解：根据表中数据绘制得到如图所示的茎叶图：由茎叶图中的数据分布情况可知，乙地所收集的调查问卷得分情况较高，则乙地居民的环保意识相对较高理由1：乙地调查问卷得分大多在70分以上，甲地调查问卷得分70分以下的明显更多，所以乙地居民的环保意识相对较高；理由2：甲地调查问卷得分的平均分为70.2，乙地调查问卷得分的平均分为79.05，所以乙地居民的环保意识相对较高；理由3：甲地调查问卷得分的中位数为，乙地调查问卷得分的中位数为，所以乙地居民的环保意识相对较高.（以上三点写出其中一点即可）（2）由题中的数据可知，90分以上的调查问卷来自甲地的只有1份，记为A，来自乙地有5份，分别记为B，C，D，E，F，随机抽取2份的可能结果有，，，，，，，，，，，，，，，共15种，其中这2份问卷中至少有1份来自甲地的可能结果有，，，，，共5种，故所求概率为.6．（河南省郑州市2021届高三三模文科数学试题）年月日是第个“世界家庭医生日”．某地区自年开始全面推行家庭医生签约服务．已知该地区人口为万，从岁到岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图所示．为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了名年满周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图所示：（1）国际上通常衡量人口老龄化的标准有以下四种：①岁以上人口占比达到以上；②少年人口（岁以下）占比以下；③老少比以上；④人口年龄中位数在岁以上．请任选两个角度分析该地区人口分布现状；（2）估计该地区年龄在岁且已签约家庭医生的居民人数；（3）据统计，该地区被访者的签约率约为，为把该地区年满岁居民的签约率提高到以上，应着重提高图中哪个年龄段的签约率？并结合数据对你的结论作出解释．【答案】（1）答案见解析；（2）万人；（3）应着重提高年龄段岁的签约率，答案见解析．【分析】（1）根据频率分布直方图可得出结论；（2）根据折线统计图可得出岁且已签约家庭医生的频率，乘以万可得结果；（3）根据频率分布直方图、折线统计图计算出每个年龄段的签约率，由此可得出结论.【详解】解：（1）①岁以上人口比例是：；②少年（岁以下）人口比例小于；③老少比大于；④由于岁人口比例，所以年龄中位数在岁范围内.所以由以上四条中任意两条均可分析出该地区人口已经老龄化；（2）由折线统计图可知，该地区年龄在岁且已签约家庭医生的居民人数（万人）；（3）由图、可知该地区年龄段岁的人口为万之间，签约率为；年龄段岁的人口数为万，签约率为；年龄段岁的人口数为万，签约率为；年龄段岁的人口数为万，签约率为；年龄段岁的人口数为万，签约率为；年龄段岁以上的人口数为万，签约率为．由以上数据可知，这个地区在岁这个年龄段人数为万，基数较其他地区是最大的，且签约率仅为，比较低，所以应着重提高此年龄段的签约率.【点睛】方法点睛：从频率分布直方图中得出相关数据的方法（1）频率：频率分布直方图中横轴表示样本数据，纵轴表示，，即每个小长方形的面积表示相应各组的频率．（2）众数：频率分布直方图中最高的小长方形底边中点对应的横坐标．（3）中位数：平分频率分布直方图中小长方形的面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标．（4）平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积与对应小长方形底边中点的横坐标的乘积之和．7．（北师大版（2019）必修第一册名校名师卷第十一单元用样本估计总体分布、用样本估计总体的数字特征B卷）为响应“绿色出行”号召，某市先后推出了“共享单车”和“新能源分时租赁汽车”，并计划在甲､乙两个工厂选择一个工厂生产汽车轮胎，现分别从甲､乙两厂各随机选取10个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：mm）记录下来并绘制出如下的折线图：(1)分别计算甲､乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均数；(2)轮胎的宽度在内，则称这个轮胎是标准轮胎.试比较甲､乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个工厂会被选择.【答案】(1)甲厂平均数195，乙厂平均数194(2)乙厂的轮胎会被选择【分析】(1)根据提供的数据甲､乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均数即可；(2)先找出是甲､乙两厂标准轮胎的数据，分别计算出他们的平均数和方差，选择方差较小的厂即可.（1）甲厂提供的10个轮胎宽度的平均数.乙厂提供的10个轮胎宽度的平均数.（2）甲厂提供的10个轮胎的宽度在[194,196]内的数据为195，194，196，194，196，195，共6个，标准轮胎宽度的平均数为，方差为乙厂提供的10个轮胎的宽度在[194，196]内的数据为195，196，195，194，195，195，共6个，标准轮胎宽度的平均数为.方差为由于甲､乙两厂标准轮胎宽度的平均数相等，但乙的方差更小，所以乙厂的轮胎会被选择.8．（湖南省衡阳市第六中学2022-2023学年高一上学期入学考试数学试题）某商场为调查商场内某品牌家电的受欢迎程度，对商场内的顾客进行了问卷调查，并对问卷调查的结果分为“非常喜欢”､“比较喜欢”､“感觉一般”､“不太喜欢”四个等级，分别记作A､B､C､D.根据调查结果绘制出如图所示的扇形统计图和条形统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：(1)将条形统计图补充完整，并标明数据；(2)若选择“不太喜欢”的人中有一位女士，三位男士，从这四个人中挑选两个人体验使用最新型的家电产品，请用画树状图或列表法，求该女士被选中的概率；(3)已知选择A､B等级的人数需要达到，商场才评定该品牌家电为“优质品牌”.若有四人体验了该品牌在商场展示的最新型的家电产品后，又提交了4份等级为的调查问卷，与之前的调查结果合并在一起，问该品牌家电在此次调查中是否获得商场“优质品牌”评定？【答案】(1)答案见解析；(2)；(3)该品牌家电在此次调查中不能获得商场“优质品牌”评定.【分析】（1）补全图形即得解；（2）列表，再利用古典概型的概率计算得解；（3）计算<80%即得解.【详解】（1）解：补全图形如下所示.（2）解：列表如下：女男1男2男3女（女，男1）（女，男2）（女，男3）男1（女，男1）（男1，男2）（男1，男3）男2（女，男2）（男1，男2）(男2，男3）男3（女，男3）（男1，男3）（男2，男3）由表可知，共有12种等可能的结果，其中挑选的人中包含了女士的有6种结果，∴.（3）解：由于<80%，所以该品牌家电在此次调查中不能获得商场“优质品牌”评定.频率分布直方图9．（2023·河北·统考模拟预测）某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，准备举办读书活动，并购买一定数量的书籍丰富小区图书站.由于不同年龄段的人看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了40名读书者进行调查，将他们的年龄（单位：岁）分成6段：,,后得到如图所示的频率分布直方图.(1)求在这40名读书者中年龄分布在的人数；(2)求这40名读书者的年龄的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）.【答案】(1)30；(2)平均数54，中位数55.【分析】（1）由图计算得年龄在的频率为，乘以人数即可；（2）直接利用平均数公式即可计算出平均数，设中位数为，得到关于的方程，解出即可.【详解】（1）由频率分布直方图知，年龄在的频率为故这40名读书者中年龄分布在的人数为.（2）这40名读书者年龄的平均数为设中位数为，则，解得，故这40名读书者年龄的中位数为55.10．（2023·安徽合肥·校考一模）某校高三年级的名学生参加了一次数学测试，已知这名学生的成绩全部介于分到分之间，为统计学生的这次考试情况，从这名学生中随机抽取名学生的考试成绩作为样本进行统计．将这名学生的测试成绩的统计结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，第三组，，第八组如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．(1)求第七组的频率，并完成频率分布直方图；(2)估计该校高三年级的这名学生的这次考试成绩的中位数；(3)若从样本成绩属于第一组和第六组的所有学生中随机抽取名，记这名学生的分数差的绝对值大于分的概率．【答案】(1)第七组的频率为，作图见解析(2)(3)【分析】（1）由频率分布直方图能求出第七组的频率，并完成频率分布直方图；（2）频率分布直方图得的频率为：；频率为的频率为：；由此能估计该校高三年级的这名学生的这次考试成绩的中位数.（3）使用列举法，古典概型，可求解从样本成绩属于第一组和第六组的所有学生中随机抽取名，记这名学生的分数差的绝对值大于分的概率．【详解】（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：，频率分布直方图如右图．.（2）由频率分布直方图得的频率为：，频率为的频率为：，估计该校高三年级的这名学生的这次考试成绩的中位数为：．（3）样本中第一组有学生：人，设这人为，；第六组有学生：人，设这人为，，；从样本成绩属于第一组和第六组的所有学生中随机抽取名的情况有，共种，这名学生的分数差的绝对值大于分包含的情况有，共种，这名学生的分数差的绝对值大于分的概率．11．（2023·广西南宁·统考一模）随着新课程新高考改革的推进，越来越多的普通高中认识到了生涯规划教育对学生发展的重要性，生涯规划知识大赛可以鼓励学生树立正确的学习观､生活观．某校高一年级1200名学生参加生涯规划知识大赛初赛，学校将初赛成绩分成6组：加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，成绩大于等于80分评为“优秀”等级．(1)求a的值，并估计该年级生涯规划大赛初赛被评为“优秀”等级的学生人数；(2)在评为“优秀”等级的学生中采用分层抽样抽取6人，再从6人中随机抽取3人进行下一步的能力测试，求这3人中恰有1人成绩在的概率．【答案】(1)；人(2)【分析】（1）根据频率之和等于1得出；再由成绩在的频率估计被评为“优秀”等级的学生人数；（2）由分层抽样结合列举法得出这3人中恰有1人成绩在的概率．【详解】（1）依题意，成绩在的频率为，成绩在的频率为，成绩在的频率为，成绩在的频率为，成绩在的频率为，成绩在的频率为，故，该年级生涯规划大赛初赛成绩“优秀”等级的频率为该年级生涯规划大赛初赛成绩优秀”等级的学生人数为人；（2）在评为“优秀”等级的学生中采用分层抽样抽取6人，其中成绩在应抽5人，成绩在应抽1人，分别设为，和，从6人中随机抽取3人的基本事件为：，，，，共20种，其中恰有1人成绩在的基本事件为：，，共10种，故所求频率为．12．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）某市为了解新高三学生的数学学习情况，以便为即将展开的一轮复习提供准确的数据，在开学初该市教体局组织高三学生进行了一次摸底考试，现从参加考试的学生中随机抽取名，根据统计结果，将他们的数学成绩（满分分）分为，，，，，，，共组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)若表示事件“从参加考试的学生中随机抽取一名学生，该学生的成绩不低于分”，估计事件发生的概率；(2)利用所给数据估计本次数学考试的平均分及方差（各组数据以其中点数据代表）．参考数据：，，，，，，，，其中为第组的中点值．【答案】(1)；(2)，．【分析】（1）由频率和为，计算出，进而根据频率分布直方图可得事件发生的概率；（2）分别根据平均数和方差的计算公式代入求解即可．【详解】（1）从参加考试的学生中随机抽取一名学生，该学生的成绩不低于分的概率为.（2）本次数学考试的平均分为本次数学考试的方差为.13．（2023·四川达州·四川省开江中学校考模拟预测）为了庆祝党的二十大的胜利召开，我校举办“学党史”知识测试活动，现根据测试成绩得到如图所示频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图求出的值;(2)根据频率分布直方图估算本次测试的平均成绩;(3)将（2）所得到的平均成绩四舍五入保留为整数，并根据频率分布直方图估算本次考试成绩的方差.【答案】(1)；(2)；(3)74；111.【分析】（1）由各个小矩形的面积为1，得到方程解方程即得解；（2）直接利用频率分布直方图的平均数计算公式求解；（3）由题得，再利用频率分布直方图的方差公式求解.【详解】（1）由各个小矩形的面积为1，所以，所以.（2）由题意知，本次测试的平均成绩为，，所以本次测试的平均成绩为.（3）将保留整数，则，由题意知:所以本次测试的成绩的方差为111.14．（2022·北京·统考模拟预测）某校高三共有500名学生，为了了解学生的体能情况，采用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生进行体能测试，整理他们的成绩得到如下频率分布直方图：(1)估算：若进行高三学生全员测试，测试成绩低于50的人数；(2)已知从样本中的男同学中随机抽取1人，该同学成绩不低于70的概率为；从样本中成绩不低于70的学生中随机抽取1人，该学生为男生的概率也为．试估计该校高三学生中男同学和女同学人数的比例．【答案】(1)50人(2)【分析】（1）从频率分布直方图中可求成绩不低于50的频率0.9，进而可求成绩低于50的频率0.1，再用即可求解；（2）先求样本中成绩不低于70的人数，再求样本中成绩不低于70的男同学人数，进而可求样本中男同学人数，易得女同学的人数，即可得出比例.【详解】（1）依题意，样本中成绩不低于50的频率为，所以成绩低于50的频率为0.1，所以估计总体中成绩低于50的人数为（人）．（2）样本中成绩不低于70的频率为，所以样本中成绩不低于70的人数为（人）．因为从样本中成绩不低于70的学生中随机抽取1人，该学生为男生的概率为，所以样本中成绩不低于70的男同学有30人，又因为从样本中的男同学中随机抽取1人，该同学成绩不低于70的概率为，所以样本中有男同学60人，进而有女同学40人，所以估计总体中男同学和女同学人数的比例为．15．（2023春·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）深入实施科教兴国战略是中华人民伟大复兴的必由之路．2020年第七次全国人口普查对6岁及以上人口的受教育程度进行统计（未包括中国香港、澳门特别行政区和台湾省的人口数据），我国31个省级行政区具有初中及以上文化程度人口比例情况经统计得到如下的频率分布直方图．(1)求具有初中及以上文化程度人口比例在区间内的省级行政区有几个？(2)已知上海具有初中及以上文化程度人口比例是这组数据的第41百分位数，求该比例落在哪个区间内？【答案】(1)6个(2)【分析】（1）先求出的值，再根据频率与频数的关系即可求得答案；（2）利用百分位数的定义求解即可．【详解】（1）由题意知，，则具有初中及以上文化程度人口比例在区间内的省级行政区的个数为．（2）由题意知，∵，则该比例落在区间内．16．（2023·湖南张家界·统考二模）2022年底，新冠病毒肆虐全国，很多高三同学也都加入羊羊行列．某校参加某次大型考试时采用了线上考试和线下考试两种形式．现随机抽取200名同学的数学成绩做分析，其中线上人数占40%，线下人数占60%，通过分别统计他们的数学成绩得到了如下两个频率分部直方图：其中称为合格，称为中等，称为良好，称为优秀，称为优异．(1)根据频率分布直方图，求这200名学生的数学平均分（同一组数据可取该组区间的中点值代替）；(2)现从这200名学生中随机抽取一名同学的数学成绩为良好，试分析他是来自线上考试的可能性大，还是来自线下考试的可能性大．(3)现从样本中线下考试的学生中随机抽取10名同学，且抽到k个学生的数学成绩为中等的可能性最大，试求k的值．【答案】(1)分；(2)来自线下考试的可能性大，理由见解析；(3).【分析】（1）由直方图求线上、线下同学的平均分，进而求所有同学的平均分；（2）根据直方图求出线上、线下成绩良好的人数，进而比较所占比例，即可得结论；（3）由题意得抽到k个学生的成绩为中等的概率，且，结合即可求参数值.【详解】（1）线上同学平均分分；线下同学平均分分；又200名同学，线上人数占40%，线下人数占60%，所以所有200名同学的平均分分.（2）线上同学成绩良好人数为人，线下同学成绩良好人数为人，所以抽取数学成绩为良好，且，故线下的可能性大.（3）由线下成绩中等同学人数为人，其它同学人，所以从线下学生中随机抽取10名同学，抽到k个学生的成绩为中等的概率，且，要使最大，则，即，所以，则，故.独立性检验17．（2023·青海西宁·统考一模）年月日时分，长征四号丙运载火箭在酒泉卫星发射中心点火起飞，随后将遥感三十四号星送入预定轨道发射，大量观众通过某网络直播平台观看了发射全过程．为了解大家是否关注航空航天技术，该平台随机抽取了名用户进行调查，相关数据如下表．关注不关注合计男性用户女性用户合计(1)补充表格数据并根据表中数据分别估计男、女性用户关注航空航天技术的概率；(2)能否有的把握认为是否关注航空航天技术与性别有关？附：，．【答案】(1)表格见解析，男性关注的概率为；女性关注的概率为(2)没有的把握认为是否关注航空航天技术与性别有关【分析】（1）根据已知数据可直接补充表格，由频率估计概率即可得到所求概率；（2）由表格数据可求得，对比临界值表可得结论.【详解】（1）由已知数据可补充表格如下：关注不关注合计男性用户女性用户合计估计男性用户关注航空航天技术的概率；女性用户关注航空航天技术的概率.（2），没有的把握认为是否关注航空航天技术与性别有关．18．（2023·河南·统考模拟预测）2019年12月武汉出现的不明原因的病毒性肺炎，后发现这种肺炎传染性极强，春节到来时中央发出了武汉封城，全国停工停产，学校停课的决定.到2022年底，各地疫情不断，因学校是人员密集场所，所以会根据疫情情况不定时的停课.停课不停学，师生们开始了在家网课教与学的常态化状态.某网站为疫情在家学习的学生们提供了“学习强国”APP的学习平台.某校为了调研学生在该APP学习情况，研究人员随机抽取了2000名学生进行调查，将他们在该APP上学习的时间转化为分数，最长的学习时间赋为100分，最短的学习时间为0分，某两天的分数统计如下表所示：分数人数5001000200300(1)现用分层抽样的方法从80分及以上的学员中随机抽取5人，再从抽取的5人中随机选取2人作为学习小组长，求所选取的两位小组长的分数都在上的概率；(2)为了调查学生的学习情况是否受到家庭的影响，研究人员随机抽取了500名学生作出调查，得到的数据如下表所示：有人陪伴在身边学习独自学习分数超过80220110分数不超过808090判断是否有的把握认为“学习强国”APP得分情况受是否有人陪伴的影响．附：，其中．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】(1)；(2)有的把握认为“学习强国”APP得分情况受是否有人陪伴的影响.【分析】（1）求出抽取的5人中分数在、内的人数，再利用列举法求出概率作答.（2）根据给定的列联表，求出的观测值，再与临界值表比对作答.【详解】（1）依题意，分数在内的应抽人数为，记这两人为，分数在内的应抽人数为，记这三人为，随机选取2人作为学习小组长的试验包含的基本事件有：，共10个，其中选取的两位小组长的分数都在内的事件含有的基本事件有：，共3个，所以所选取的两位小组长的分数都在内的概率.（2）列联表为：有人陪伴在身边学习独自学习合计分数超过80220110330分数不超过808090170合计300200500则的观测值：，所以有的把握认为“学习强国”APP得分情况受是否有人陪伴的影响．19．（2023·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考模拟预测）某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人.为了调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间(单位：小时)的样本数据.(1)应收集多少位女生的样本数据?(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图)，其中样本数据的分组区间为，估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率;(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请给出每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.附：0.1000.0500.0100.0052.7063.8416.6357.879参考公式：，其中.【答案】(1)90位(2)0.75(3)表格见解析，有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.【分析】（1）利用分层抽样的定义即可求解；（2）利用频率分布直方图中，所有小长方形的面积之和等于及频率等于（频率/组距）乘以组距即可求解；（3）根据已知条件求出列联表，然后计算的观测值，进一步由独立性检验的方法即可求解.【详解】（1）由分层抽样，得，所以应收集90位女生的样本数据.（2）由频率分布直方图可得，学生每周平均体育运动时间超过4小时的频率为，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.（3）由（2）可知，300位学生中有3(人)的每周平均体育运动时间超过4小时，则有(人)的每周平均体育运动时间不超过4小时.又样本数据中有90份是关于女生的，210份是关于男生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下:男生女生总计每周平均体育运动时间不超过4小时453075每周平均体育运动时间超过4小时16560225总计21090300结合列联表可算得，的观测值，所以有9的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.20．（2023·辽宁抚顺·统考模拟预测）学校为提升高一年级学生自主体育锻炼的意识，拟称每周自主进行体育锻炼的时间不低于6小时的同学称为“体育迷”并予以奖励，为了确定奖励方案，先对学生自主体育锻炼的情况进行抽样调查，学校从高一年级随机抽取100名学生，将他们分为男生组、女姓组，对每周自主体育锻炼的时间分段进行统计（单位：小时）第一段，第二段，第三段，第四段，第五段．将男生在各段的频率及女生在各段的频数用折线图表示如下：(1)求折线图中m的值，并估计该校高一年级学生中“体育迷”所占的比例；(2)填写下列列联表，并判断是否有95%的把握认为是否为“体育迷”与学生的性别有关？体育迷非体育迷合计男女合计附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828(3)若中学生每周自主体育锻炼的时间不低于5小时，才能保持身体的良好健康发展，试估计该校高一年级学生的周平均锻炼时间是否达到保持身体良好健康发展的水平？（同一段中的数据用该组区间的中点值代表）【答案】(1)，(2)列联表见解析，没有(3)达到了【分析】（1）由折线图的性质可求，由频数统计图求女生人数，再求男生人数，和男生和女生中的体育迷的人数，由此可求该校高一年级学生中“体育迷”所占的比例；（2）由已知数据填写列联表，由公式求的值，与临界值比较大小，确定结论；（3）由已知数据求该校高一年级学生的周平均锻炼时间的估计值，由此确定结论.【详解】（1）由频率折线图可得由频数折线图可知女生共有人，其中“体育迷”有人，故男生共有人，其中“体育迷”有人．因此估计该校高一学生中“体育迷”所占比例约为．（2）体育迷非体育迷合计男304575女151025合计4555100因为，而，故没有95%的把握认为是否为“体育迷”与性别有关．（3）由频率折线图可知男生的锻炼时间在每组的频数分别为，，，，；故这100名学生每周的锻炼时间在每组的频率分别为，，，，．所以估计该校高一年级学生的周平均锻炼时间为：．因为，所以估计该校高一年级学生的周平均锻炼时间达到了保持身体良好健康发展的水平．21．（2023·全国·模拟预测）冰雪运动是深受学生喜爱的一项户外运动，为了研究性别与学生是否喜爱冰雪运动之间的关系，从某高校男、女生中各随机抽取100名进行问卷调查，得到如下列联表．喜爱不喜爱男生女生(1)当时，从样本中不喜爱冰雪运动的学生中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人调研不喜爱的原因，记这3人中女生的人数为，求的分布列与数学期望．(2)定义，其中为列联表中第行第列的实际数据，为列联表中第行与第列的总频率之积再乘以列联表的总额数得到的理论频数，如，．基于小概率值的检验规则：首先提出零假设（变量X，Y相互独立），然后计算的值，当时，我们推断不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过；否则，我们没有充分证据推断不成立，可以认为X和Y独立．根据的计算公式，求解下面问题：①当时，依据小概率值的独立性检验，分析性别与是否喜爱冰雪运动有关？②当时，依据小概率值的独立性检验，若认为性别与是否喜爱冰雪运动有关，则至少有多少名男生喜爱冰雪运动？附：0.10.0250.0052.7065.0247.879【答案】(1)分布列见解析；期望为2(2)①答案见解析；②76名【分析】（1）用分层抽样的方法抽取的不喜爱冰雪运动的6人中，男生有2人，女生有4人，由题意可知的可能取值为1，2，3，求出对应的概率，得到的分布列，进而求出；（2）①根据题中数据及所给公式计算，与参考数据比较即可得出结论；②根据基于小概率值的检验规则及的计算公式得到关于m的不等式，再根据m的取值范围以及实际意义即可得解．【详解】（1）当时，用分层抽样的方法抽取的不喜爱冰雪运动的6人中，男生有2人，女生有4人，由题意可知，的可能取值为1，2，3．，，，的分布列为123P．（2）①零假设为：性别与是否喜爱冰雪运动独立，即性别与是否喜爱冰雪运动无关联．当时，，，，，，，，，．∵，∴根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为性别与是否喜爱冰雪运动有关联，此推断犯错误的概率不超过0.005．②，由题意可知，，整理得．又，，∴，的最大值为4．又，∴至少有76名男生喜爱冰雪运动．22．（2023·内蒙古包头·一模）新型冠状病毒疫情已经严重影响了我们正常的学习、工作和生活．某市为了遏制病毒的传播，利用各种宣传工具向市民宣传防治病毒传播的科学知识．某校为了解学生对新型冠状病毒的防护认识，对该校学生开展防疫知识有奖竞赛活动，并从女生和男生中各随机抽取30人，统计答题成绩分别制成如下频数分布表和频率分布直方图．规定：成绩在80分及以上的同学成为“防疫标兵”．30名女生成绩频数分布表：成绩频数101064(1)根据以上数据，完成以下列联表，并判断是否有95%的把握认为“防疫标兵”与性别有关；男生女生合计防疫标兵非防疫标兵合计(2)设男生和女生样本平均数分别为和，样本的中位数分别为和，求（精确到0.01）．附：0.1000.0500.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)列联表见解析，有95%的把握认为“防疫标兵”与性别有关；(2)，，，.【分析】（1）利用频率分布直方图及频数分布表完善列联表，再计算的观测值并与临界值表比对作答.（2）利用频率分布直方图、频数分布表求出平均数、中位数作答.【详解】（1）由频率分布直方图，可得30名男生中成绩大于等于80分的频率为，因此30名男生中“防疫标兵”人数为人，“非防疫标兵”人数为12人，由频数分布表，可得30名女生中“防疫标兵”人数为10人，“非防疫标兵”人数为20人，于是列联表为：男生女生合计防疫标兵181028非防疫标兵122032合计303060则的观测值为，所以有95%的把握认为“防疫标兵”与性别有关．（2）由频率分布直方图知，，由频数分布表知，，由频率分布直方图知，成绩在的频率为，成绩在的频率为，因此，则由，解得，由频数分布表知，成绩在的频率为，成绩在的频率为，因此，则由，解得，所以，，，.23．（2023·湖北·校联考模拟预测）某国在实弹演习中分析现有导弹技术发展方案的差异，有以下两种方案：方案1：发展一弹多头主动制导技术，即一枚一弹多头导弹的弹体含有3个弹头，每个弹头独立命中的概率均为0.415，一枚弹体至少有一个弹头命中即认为该枚导弹命中，演习中发射该导弹10枚；方案2：发展一弹一头导弹的机动性和隐蔽性，即一枚一弹一头导弹的弹体只含一个弹头，演习中发射该导弹30枚，其中22枚命中．(1)求一枚一弹多头导弹命中的概率（精确到0.001），并据此计算本次实战演习中一弹多头导弹的命中枚数（取，结果四舍五入取整数）；(2)结合（1）的数据，根据小概率值的独立性检验，判断本次实战演习中两种方案的导弹命中率是否存在明显差异．附，其中．0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)一枚一弹多头导弹的命中率为0.800，一弹多头导弹的命中枚数为8(2)本次实战演习中不同研发方案命中率不存在明显差异【分析】（1）根据对立事件的概率计算公式可求得一枚一弹多头导弹的命中率，继而求得命中枚数；（2）列出不同研发方案的列联表，计算，根据独立性检验的原理，可作出结论.【详解】（1）（1）由题意可知，一枚一弹多头导弹的命中率为，所以，发射10枚一弹多头导弹，命中枚数为．故一枚一弹多头导弹的命中率为0.800，一弹多头导弹的命中枚数为8．（2）不同研发方案的列联表如下：一弹多头一弹一头合计命中82230未命中2810合计103040假设：本次实战演习中不同研发方案命中率存在明显差异，故，根据小概率值的独立性检验，零假设不成立，故本次实战演习中不同研发方案命中率不存在明显差异．24．（2023·四川成都·统考二模）某中学为了丰富学生的课余生活,欲利用每周一下午的自主活动时间,面向本校高二学生开设“厨艺探秘”“盆景栽培”“家庭摄影”“名画鉴赏”四门选修课,由学生自主申报,每人只能报一门,也可以不报．该校高二有两种班型－文科班和理科班（各有2个班）,据调查这4个班中有100人报名参加了此次选修课,报名情况统计如下:厨艺探秘盆景栽培家庭摄影名画鉴赏文科1班115146文科2班127114理科1班3193理科2班5162(1)若把“厨艺探秘”“盆景栽培”统称为“劳育课程”,把“家庭摄影”“名画鉴赏”统称为“美育课程”．请根据所给数据,完成下面的2×2列联表:报名班型课程合计“劳育课程”“美育课程”文科班理科班合计(2)根据（1）列联表中所填数据,判断是否有99%的把握认为课程的选择与班型有关．附:．0.500.400.250.150.100.050.0250.01000.0050.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.63577.879【答案】(1)列联表见解析(2)没有99%的把握认为“劳育课程”“美育课程”的选择与文理科有关．【分析】补全列联表,再算出的值与6.635进行比较即可得出结论.【详解】（1）由题意,列联表如下:报名班型课程合计“劳育课程”“美育课程”文科班353570理科班102030合计4555100（2）假设:“劳育课程”“美育课程”的选择与文理科无关.∵,∴根据小概率值的独立性检验,可以推断不成立,即没有99%的把握认为“劳育课程”“美育课程”的选择与文理科有关．六、高考真题衔接六、高考真题衔接1．（2022·全国·统考高考真题）甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数未准点班次数A24020B21030(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：，0.1000.0500.0102.7063.8416.635【答案】(1)A，B两家公司长途客车准点的概率分别为，(2)有【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；（2）根据表格中数据及公式计算，再利用临界值表比较即可得结论.【详解】（1）根据表中数据，A共有班次260次，准点班次有240次，设A家公司长途客车准点事件为M，则；B共有班次240次，准点班次有210次，设B家公司长途客车准点事件为N，则.A家公司长途客车准点的概率为；B家公司长途客车准点的概率为.（2）列联表准点班次数未准点班次数合计A24020260B21030240合计45050500=，根据临界值表可知，有的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.2．（2021·全国·统考高考真题）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．（1）求，，，；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．【答案】（1）；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.【分析】（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.（2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断.【详解】（1），，，.（2）依题意，，，，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.3．（2021·全国·高考真题）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）75%；60%；（2）能.【分析】根据给出公式计算即可【详解】（1）甲机