锐角三角函数全章教案

锐角三角函数全章教案

．1锐角三角函数初三备课组

教学目标1．知识与技能

了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦函数值，并会一个特殊角的三角函数值说出这个角；能够正确地使用计算器，已知锐角求出它的三角函数值，已知三角函数值求出相应的锐角．2．过程与方法

通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．3．情感、态度与价值观

引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．重点与难点

1．重点：正弦三角函数概念及其应用．

2．难点：使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值也是固定的这一事实．用含有几个字母的符号组sinA表示正弦，正弦概念．

教学过程情境引入

比萨斜塔1350年落成时就已倾斜，其塔顶中心点偏离垂直中心线m．至今，这座高m的斜塔仍巍然屹立．

你能用“塔身中心线与垂直中心线所成的角θ”来描述比萨斜塔的倾斜程度吗？问题1为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，需要准备多长的水管？这个问题可以归结为:

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m，求AB．

在上面的问题中，如果出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？思考：这些结果，你能得到什么结论？

结论：在直角三角形中，如果一个锐角的度数是30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜

边的比值是一个固定值，为．

问题2：如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°，计算∠A的对边与斜边的比．

B

A的对边BC2斜边AB2

如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=60°，计算∠A的对边与斜边的比

A的对边BC3斜边AB2

在直角三角形中，如果一个锐角的度数是45°，那么不管三角形的大小如何，这个角

2的对边与斜边的比是一个固定值，为2．450角的对边BC2斜边AB2

在直角三角形中，如果一个锐角的度数是60°，那么不管三角形的大小如何，这个角

3的对边与斜边的比是一个固定值，为2．600角的对边BC3斜边AB2

在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，它的对边与斜边的比是一个固定值．

问题3任意画Rt△ABC和Rt△ABC，使得∠C=∠C＇=90°．∠A=∠A＇，那么

'''B'C'BCAB与A'B'有什么关系．你能解释一下吗？

解：∵∠C=∠C＇=90°，∠A=∠A＇．∴Rt△ABC∽Rt△ABC

BCBCAB∴ABBCAB∴BCAB

在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即

A的对边a斜边cEMBEDsinA=

B

1sin30°=2，sin45°=

232，sin60°=2

例如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．练习提高，提升能力

练习1如下三幅图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值

练习2判断下列结论是否正确，并说明理．

在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大100倍，sinA的值也扩大100

AC10倍；62BC如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinB==4．反思与小结1．本节课我们学习了哪些知识？

2．研究锐角正弦的思路是如何构建的？课后作业

1．教科书第64页练习．

2．课外探究：在直角三角形中，锐角A的邻边与斜边的比是否也是一个固定值．教学反思

．2锐角三角函数

B4

32CC

6AA

C

教学目标

1．知识与技能

了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、tanA表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦函数值，并会一个特殊角的三角函数值说出这个角；

能够正确地使用计算器，已知锐角求出它的三角函数值，已知三角函数值求出相应的锐角．2．过程与方法

通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．

3．情感、态度与价值观

引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．重点与难点

1．重点：正弦、正切三角函数概念及其应用．

2．难点：使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边、对边与邻边的比值也是固定的这一事实．用含有几个字母的符号组sinA表示正弦、正切，正弦和正切概念．教学过程

类比推理，提出概念

请同学们回顾一下，我们是如何得到锐角正弦的概念的？

在Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A确定时，∠A的对边与斜边比随之确定．此时，其他边之间的比是否也随之确定呢？证明推理，引出概念

如图：在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠C=∠F

ACDFBCEF=90°，AB与DE相等吗？AC与DF呢？

证明推理，得到概念

在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A的邻边与斜边的比、对边与邻边的比都是一个固定值．

在直角三角形中，锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦，记作cosA．在直角三角形中，锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切，记作tanA．证明推理，得到概念

∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数．巩固概念

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sinA，cosA，tanA的值.小结反思

1．通过本节课的学习，我们一共学习了哪几种锐角三角函数，它们是如何定义的？2．在本节课的学习中，我们用到了哪些数学思想方法？课后作业

教科书第68页习题第1题．教学反思

．4锐角三角函数

课型：习题课教学目标：

1.主进一步认识锐角三角函数

2.准确把握锐角的正弦、余弦和正切间的联系与区别，进而灵活运用锐角三角函数的概念解决问题．学习目标:

1．进一步认识锐角正弦、余弦和正切；

2．能根据锐角三角函数的定义解决与直角三角形有关的简单计算．学习重点：

根据锐角三角函数的定义解决与直角三角形有关的简单计算．知识梳理

问题1锐角三角函数是如何定义的？总结锐角三角函数的定义过程，并写出如图所示的直角三角形中两个锐角的三角函数．

问题2借助两块三角尺说明30°，45°，60°角的三角函数值．典型例题

例1已知，如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC=30°，延长CA至D点，使

AD=AB．求∠D，tanD．例2已知，如图，⊙O的半径OA=4，弦AB=43，求劣弧AB的长．

1例3已知，如图，钝角△ABC中，AC=12cm，AB=16cm，sinA=3．求tanB．

小结与反思

回顾上述三个例题的解题思路，思考：

在解题过程中，求一个锐角的三角函数的实质是求什么？已知一个锐角的三角函数值可以转化为怎样的条件？在这一过程中应该注意什么？布置作业

1．如图，在平面直角坐标系中，直径为10的⊙A经过点C和点O，与x轴交于另一点D，点B是优弧ODC上一点，求∠OBC的余弦值．

32．已知：如图，⊙O的半径OA=16cm，OC⊥AB于C点，sin∠AOC=4，求AB

及OC的长．

13．已知：如图△ABC中，D为BC中点，且∠BAD=90°，tanB=3，求∠CAD三

角函数值．

教学反思

yAOBAAODCBxBC

．1解直角三角形及其应用

课型：新授课教学目标

1.结合已学过的勾股定理和三角形内角和定理，研究解直角三角形的方法．2．了解解直角三角形的意义和条件；

3．能根据已知的两个条件，解直角三角形．教学重点、难点：

解直角三角形的依据和方法．教学过程

实例引入，初步体验

问题1设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A，过点B向垂直中心线引垂线，垂足为点C．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=m，AB=m，求∠A的度数．概念

一般地，在直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．三边之间的关系

a2+b2=c2；两锐角之间的关系

∠A+∠B=90°；边角之间的关系

abasinA=c，cosA=c，tanA=bbabsinB=c，cosB=c，tanB=a．

问题3从问题1的解答过程看，在直角三角形中，知道斜边和一条直角边，可以求其余的三个元素．那么，“知道五个元素中的两个元素，可以求其余元素”，还有哪几种情况呢？例题示范，方法探究

例1在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=6，解这个直角三角形．例2如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，b=20，解这个直角三角形．应用迁移，巩固提高

练习：编写一道解直角三角形的题并解答．

归纳：在直角三角形中，知道五个元素中的两个元素，我们就可以解

这个直角三角形．一般有两种情况：已知两条边；

已知一条边和一个锐角．归纳交流，总结反思

1．什么叫解直角三角形？直角三角形中，除直角外，五个元素之间有怎样的关系？2．两个直角三角形全等要具备什么条件？为什么在直角三角形中，已知一条边和一个锐角，或两边，就能解这个直角三角形？3．你能根据不同的已知条件，归纳相应的解直角三角形的方法吗？课后作业

教科书第74页练习；

教科书习题第1题．教学反思

．2解直角三角形及其应用

课型：习题课教学目标

1.利用解直角三角形进行几何图形的简单计算．2.熟练掌握解直角三角形的方法；

3.能灵活运用解直角三角形解决与直角三角形有关的图形计算问题．教学重难点

灵活运用解直角三角形解决与直角三角形有关的图形计算问题．知识梳理

问题1什么叫解直角三角形？为什么在直角三角形中已知一条边和一个锐角，或已知两边，能够解这个直角三角形？

问题2根据不同的已知条件，归纳相应的解直角三角形的方法，完成下表填空.

斜边c和一条边锐角∠A和一个直角边a锐角和锐角∠A两条直角边a和b两条边直角边a和斜边c∠B=，a=，b=______∠B=______，b=______，c=______c=______，______求∠A=______，∠B=______b=______，______求∠A=_____，∠B=______典型例题

例1在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形：a=

3，c=6；

∠B=60°，b=4；

∠A=60°，△ABC的面积S=123．

例2在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的角平分线，与BC相交于点D，且AB=4，求AD的长．

例3在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=4，求AB和BC．布置作业

1．已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若∠B=30°，CD=6，求AB的长．

2．AD⊥CD，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°，求AD，CD的长．教学反思

．3解直角三角形及其应用

教学目标

1.能利用直角三角形中的这些关系解直角三角形．

2.使学生把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决，进一步提高数学建模能力

3.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．教学重点

将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识解决实际问题．教学过程

复习引入，知识储备

问题1如图，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点B，⊙O的半径为1cm，PB=cm，则∠AOB=，弧AB=．

问题2平时观察物体时，我们的视线相对于水平线来说可有几种情况？三种：重叠、向上和向下．在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫仰角，视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫俯角．A

应用知识，解决问题

问题320XX年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接．“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形

轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远

的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少？

铅垂线视点视线PBO仰俯

水平线视线

从组合体中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？

从组合体中能直接看到的地球表面最远点，应是视线与地球相切时的切点．

在平面图形中，用什么图形可表示地球，用什么图形表示观测点，请根据题中的相关条件画出示意图．

如图，用⊙O表示地球，点F是组合体的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从组合体观测地球时的最远点．

问题中求最远点与P点的距离实际上是要求什么？需先求哪个量？怎样求？

弧PQ的长就是地面上P、Q两点间的距离，为计算弧PQ的长需先求出∠POQ．

应用知识，解决问题

问题4热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120m，这栋楼有多高？从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°→α=30°从热气球看一栋楼底部的俯角为60°→β=60°

热气球与高楼的水平距离为120m→AD=120m，AD⊥BC．这个问题可归纳为什么问题解决？怎样解决？

在直角三角形中，已知一锐角和与这个锐角相邻的直角边，可以利用解直角三角形的知

识求这个锐角所对的直角边，再利用两线段之和求解．

归纳总结

应用解直角三角形的方法解决实际问题的一般步骤：

将实际问题抽象为数学问题；根据条件，适当选用锐角三角函数解直角三角形；得到数学问题的答案；得到实际问题的答案．

如果问题不能归结为一个直角三角形，则应当对所求的量进行分解，将其中的一部分量归结为直角三角形中的量．布置作业

教科书习题第2，3，4题教学反思

．4解直角三角形及其应用

教学目标

1.“在航海中确定轮船距离灯塔有多远”的实际问题理解解直角三角形的理论在实际中的应用，进一步领悟解直角三角形的知识也是解决实际问题的有效数学工具。2．了解方位角、坡角、坡度；

3．会运用解直角三角形的知识解决有关实际问题；4．体会数形结合和数学模型思想．教学重点：

把实际问题转化为解直角三角形的问题．教学过程问题1

一艘轮船在大海上航行，当航行到A处时，观测到小岛B的方向是北偏西35°，那么同时从B处观测到轮船在什么方向？若轮船从A处继续往正西方向航行到C处，此时，C处位于小岛B的南偏西40°方向，你能确定C的位置吗？试画图说明．从B处观测到A处的轮船是________方向．问题2一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，B处距距离灯塔P有多远？探究根据题意，你能画出示意图吗？

结合题目的条件，你能确定图中哪些线段和角？求什么？怎样求？

你能写出解题过程吗？

想一想，求解本题的关键是什么？

B40°C35°A

问题3

海中有一个小岛A，它周围8nmile内有暗礁，渔船跟踪鱼群西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12nmile到达D点，这时测得小岛A在北偏东

30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？思考

1．渔船B向东航行，到什么位置离海岛A最近？2．最近的距离怎样求？

3．如何判断渔船有没有触礁？

问题4

如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i=1比是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比，斜面坡度i=1比3是指DE与CE的比，根据图中数据，求：

坡角α和β的度数；

斜坡AB的长．

反思归纳

回顾利用直角三角形的知识解决实际问题的过程，你认为一般步骤是什么？关键是什么？

有的同学说，类似于方程、函数、不等式，解直角三角形的知识也是解决实际问题的有效数学工具，对此你有什么看法？

利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：

将实际问题抽象为数学问题；根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；得到数学问题的解；得到实际问题的解．布置作业

教科书习题第5，9题教学反思

锐角三角函数章末整合教学目标

1.对本章内容进行梳理总结，建立知识体系，综合应用本章知识解决问题．

2.熟练掌握直角三角形的解法，并用相关知识解决一些简单的实际问题，进一步加深对锐角三角函数的认识．教学重点：

梳理本章的知识结构体系，并灵活运用锐角三角函数和解直角三角形的知识解决问题．

教学过程知识梳理

问题1请同学们解答下列问题：

锐角三角函数是如何定义的？总结锐角三角函数的定义过程，并写出如图所示的直角三角形中两个锐角的三角函数.

两个直角三角形全等要具备什么条件？为什么在直角三角形中已知一条边和一个锐角，或已知两边，能够解这个直角三角形？

你能根据不同的已知条件，归纳相应的解直角三角形的方法吗？

锐角三角函数在实践中有广泛的应用，你能举例说明这种应用吗？体系建构

问题2整理一下本章所学的主要知识，你能发现它们之间的联系吗？你能画出一个本章的知识结构图吗？典型例题直角三角形中的边角关锐角解直实际3角三5例1在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，cosB=，求sinB，tanA的值．三角函若去掉“AB=10”这一条件，你还能完成此题的解答吗？

例2一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，试求CD的

长．

例3城市规划期间，欲拆除一电线杆AB，已知距电线杆AB水平距离14m的D处

有一大坝，背水坡CD的坡度i=2∶1，坝高CF为2m，在坝顶C处测得杆顶A的仰角为30°，D，E之间是宽为2m的人行道．试问：在拆除电线杆AB时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上？

课堂小结

通过对本章的学习，你认为本章的核心知识是什么？在学习过程中，还有哪些需要注意的地方？教学反思

A

GB

30°CEDF人行道

．1锐角三角函数初三备课组

教学目标1．知识与技能

了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦函数值，并会一个特殊角的三角函数值说出这个角；能够正确地使用计算器，已知锐角求出它的三角函数值，已知三角函数值求出相应的锐角．2．过程与方法

通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．3．情感、态度与价值观

引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．重点与难点

1．重点：正弦三角函数概念及其应用．

2．难点：使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值也是固定的这一事实．用含有几个字母的符号组sinA表示正弦，正弦概念．

教学过程情境引入

比萨斜塔1350年落成时就已倾斜，其塔顶中心点偏离垂直中心线m．至今，这座高m的斜塔仍巍然屹立．

你能用“塔身中心线与垂直中心线所成的角θ”来描述比萨斜塔的倾斜程度吗？问题1为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，需要准备多长的水管？这个问题可以归结为:

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m，求AB．

在上面的问题中，如果出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？思考：这些结果，你能得到什么结论？

结论：在直角三角形中，如果一个锐角的度数是30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜

边的比值是一个固定值，为．

问题2：如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°，计算∠A的对边与斜边的比．

B

A的对边BC2斜边AB2

如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=60°，计算∠A的对边与斜边的比

A的对边BC3斜边AB2

在直角三角形中，如果一个锐角的度数是45°，那么不管三角形的大小如何，这个角

2的对边与斜边的比是一个固定值，为2．450角的对边BC2斜边AB2

在直角三角形中，如果一个锐角的度数是60°，那么不管三角形的大小如何，这个角

3的对边与斜边的比是一个固定值，为2．600角的对边BC3斜边AB2

在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，它的对边与斜边的比是一个固定值．

问题3任意画Rt△ABC和Rt△ABC，使得∠C=∠C＇=90°．∠A=∠A＇，那么

'''B'C'BCAB与A'B'有什么关系．你能解释一下吗？

解：∵∠C=∠C＇=90°，∠A=∠A＇．∴Rt△ABC∽Rt△ABC

BCBCAB∴ABBCAB∴BCAB

在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即

A的对边a斜边cEMBEDsinA=

B

1sin30°=2，sin45°=

232，sin60°=2

例如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．练习提高，提升能力

练习1如下三幅图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值

练习2判断下列结论是否正确，并说明理．

在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大100倍，sinA的值也扩大100

AC10倍；62BC如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinB==4．反思与小结1．本节课我们学习了哪些知识？

2．研究锐角正弦的思路是如何构建的？课后作业

1．教科书第64页练习．

2．课外探究：在直角三角形中，锐角A的邻边与斜边的比是否也是一个固定值．教学反思

．2锐角三角函数

B4

32CC

6AA

C

教学目标

1．知识与技能

了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、tanA表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦函数值，并会一个特殊角的三角函数值说出这个角；

能够正确地使用计算器，已知锐角求出它的三角函数值，已知三角函数值求出相应的锐角．2．过程与方法

通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．

3．情感、态度与价值观

引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．重点与难点

1．重点：正弦、正切三角函数概念及其应用．

2．难点：使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边、对边与邻边的比值也是固定的这一事实．用含有几个字母的符号组sinA表示正弦、正切，正弦和正切概念．教学过程

类比推理，提出概念

请同学们回顾一下，我们是如何得到锐角正弦的概念的？

在Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A确定时，∠A的对边与斜边比随之确定．此时，其他边之间的比是否也随之确定呢？证明推理，引出概念

如图：在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠C=∠F

ACDFBCEF