高等代数与几何分析的深度联系

PAGE题目:高等代数与几何分析的深度联系摘要：高等代数所讨论的是从具体到抽象，从特殊到一般，培养的是逻辑思维能力。解析几何是用代数方法解决几何问题。从两门课的内容上看有很多重复的内容，向量空间、向量、向量的线性运算、线性相关性、欧氏空间、内积、向量的坐标、坐标变换、线性变换、特征方程、特征根、正交变换等。高等代数有深刻的几何背景，而解析几何是用代数方法解决几何问题。高等代数中的向量空间是解析几何中三维向量空间的推。解析几何为高等代数提供了一个直观的、实实在在的模型和背景。文中从行列式与向量关系、线性方程组与面面关系、矩阵与二次曲线关系、矩阵与二次曲面关系四个方面对《高等代数》与《解析几何》相通性进行了阐述。关键词：行列式;线性方程组;二次曲线;二次曲面;向量;矩阵引言：从代数与几何的发展来看，高等代数与解析几何从来就是相互联系、相互促进的。它们的关系可以归纳为“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景”。通过对高等代数和解析几何的学习和研究中，我们可以看到解析几何和高等代数中有着紧密的联系。运用解析几何来分析高等代数更加的直观。同时，高等代数也是解析几何的一个发展、拓宽.比如说通过解析几何中的多元一次方程组的解法高等代数提出了行列式，使得行列式有了几何意义，同时使行列式直观化。也使通过行列式多元方程组的解答更便捷、快速。在高等代数中先后提出了线性空间、欧式空间。线性空间将向量做了推广，使向量抽象化.欧式空间在线性空间的基础上提出了内积，使几何空间中的向量的一些度量性质推广化等等.总体来说解析几何就是高等代数的基石，而高等代数是解析几何的推广化并使之抽象化。《解析几何》与《高等代数》是不可分割的，《解析几何》是以《高等代数》的知识为主要研究工具的一门学科，没有《高等代数》这个主要工具，就没有《解析几何》这门学科;代数中讨论的很多对象是以几何为背景，又进一步推广出来的，尽管《高等代数》比较抽象，但是可以利用鲜明的几何背景使其更易于理解。高等代数中的主要研究对象—矩阵，就是几何中的线性变换产生的。例如，高等代数中正交矩阵来自于正交变换，我们如果把它想象成坐标系绕原点的旋转就很容易理解了。相比较而言二次型算是高等代数中比较容易的内容，而在解析几何中二次曲面的研究学生学起来却颇有难度，实际上二次型就是二次曲面的代数表达式，我们对二次曲面化简的过程就是计算二次型的标准型的过程。但是在实际的学习过程中这两部分却无法联系起来，因为这两部分内容分别安排在两个学期。另外，行列式的计算是在学习高等代数时最早掌握的也是最熟练的。判断三个向量是否共面是解析几何中我们必须掌握的内容。我们就是利用三个向量的行列式是否为零来判断的。一、课题背景及相关概念（一）相关概念高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数初步、多项式代数。初等代数从最简单的一元一次方程开始，一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。解析几何包括平面解析几何和立体解析几何两部分。平面解析几何通过平面直角坐标系，建立点与实数对之间的一一对应关系，以及曲线与方程之间的一一对应关系，运用代数方法研究几何问题，或用几何方法研究代数问题。（二）课题背景代数学的历史告诉人们，在研究高次方程的求解问题上，许多数学家走过了一段颇不平坦的路途，付出了艰辛的劳动。人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。关于三次方程，中国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的<缉古算经>就有叙述。到了十三世纪，宋代数学家秦九韶再他所著的<数书九章>这部书的“正负开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那时候以得到了高次方程的一般解法。十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体是沿着抛物线运动的。这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就导致了解析几何的出现。二、行列式与向量关系n级行列式d按行或按列展开得，d=ai1Ai1+…+ainAin或d=a1iA1i+…+aniAni所以当n=3时，它的几何解释为:把行列式的行看作向量在直角坐标系下的坐标，设即3级行列式的值恰好是平行六面体的体积，其中平行六面体的边为行列式的各行所形成的向量。即因为α1，α2，α3共面，所以α1，α2，α3的混合积为0，这与上面3级行列式为0是一致的。同理有α3·(α2×α3)=0。类似的，把行列式的列看作向量在直角坐标系下的坐标，也可得到类似的结论。三、线性方程组与面面关系（一）齐次线性方程组与面面关系设齐次线性方程组为令当n=3时，它就有了明显的几何意义，下面对此做具体说明。当R(A)=3时方程组只有零解．从几何角度看，在空间直角坐标系下，方程组的解表示s个通过原点的平面只交于原点。事实上，齐次线性方程组的s个方程可看成空间直角坐标系下的s个平面方程。设平面π1:a11x1+a12x2+a13x3=0，平面π2:a21x1+a22x2+a23x3=0，……平面πs:as1x1+as2x2+as3x3=0，则它们对应的法向量分别是n1=(a11，a12，a13)，n2=(a21，a22，a23)，…，ns=(as1，as2，as3)，因为R(A)=3，所以其中三个法向量线性无关，不妨设n1，n2，n3线性无关，所以平面π1与平面π2相交于过原点的直线l，设l的方向向量为v，则n1⊥v，n2⊥v，所以v垂直于n1，n2所在的平面．因为n1，n2，n3线性无关，所以v不垂直于n3，即直线l不在平面π3上，所以平面π1，π2，π3的交点只有原点，因为π1，π2，…，πs都过原点，因此平面π1，π2，…，πs的交点只有原点。当R(A)=2＜3时，方程组的基础解系中解向量个数为1，设为η，方程组的全部解为kη，k为任意常数。从几何上看，因为R(A)=2，所以其中二个法向量线性无关，不妨设n1，n2线性无关，而对任何法向量ni，i=1，…，s，向量组n1，n2，ni都线性相关，所以原方程组与方程组同解，因为法向量n1，n2线性无关，所以平面π1，π2相交于一条过原点的直线，则平面π1，π2，…，πs相交于一条过原点的直线．这与方程组全部解为kη，k为任意常数是一致的．当R(A)=1＜3时，方程组的基础解系中解向量的个数为2，设为η1，η2方程组全部解为k1η1+k2η2，k1，k2为任意常数．从几何上看，因为R(A)=1，所以原方程组的所有方程都表示同一个平面，因而方程组的解向量都在平面π1:a11x1+a12x2+a13x3=0上，这与方程组的全部解为k1η1+k2η2，k1，k2为任意常数是一致的，即所有解在η1，η2所确定的过原点的平面上。（二）非齐次线性方程组与面面关系设非齐次线性方程组为当n=3时，它就有了明显的几何意义，下面对此做具体说明．在文献［2］中作者已经阐述的很全面了，下面从另一个角度阐述。事实上，非齐次线性方程组的s个方程可看成空间直角坐标系下的s个平面方程。当R(A)=R(A)=3时，从几何上看，这s个平面只有一个交点γ0。当R(A)=R(A)=2时，方程组的全部解为η0+kη，k为任意常数，其中η0为非齐次线性方程组的一个特解，η为它的导出组的一个基础解系。从几何上看，这s个平面相交于一条直线，我们知道它的导出组的解是一条过原点的直线，而这两条直线是互相平行的．即平面π1，π2，…πs的交线是过原点的直线l，而直线l沿着η0平移就得到平面ψ1，ψ2，…，ψs的交线。当R(A)=R(A)=1时，方程组的全部解为η0+k1η1+k2η2，k1，k2为任意常数，其中η0为非齐次线性方程组的一个特解，η1，η2为它的导出组的一个基础解系．从几何上看，这s个平面相交于一个平面，它的导出组的解是一个过原点的平面，而这两个平面是平行的．即平面π1，π2，…，πs相交于过原点的平面π，而平面π沿着η0平移就得到平面ψ1，ψ2，…，ψs的交点轨迹。当R(A)≠R(A)时，方程组无解．从几何上看，易知，至少有两个平面是平行的，所以这s个平面无交点。四、矩阵与二次曲线和曲面的关系（一）矩阵与二次曲线关系在平面直角坐标系下，任何一个二元二次方程a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0都与一个二次曲线相对应，而为了刻画二次曲线图形，常常把二次曲线方程用矩阵来表示．即这种二次曲线的矩阵表示它的意义是重大的，我们可以通过对二次曲线的矩阵做变换而得到二次曲线方程的标准形，从而来刻画二次曲线图形，且可以依据标准形对二次曲线进行分类。（二）矩阵与二次曲面关系在空间直角坐标系下，任何一个三元二次方程都与一个二次曲面相对应，而为了刻画二次曲面图形，常常把二次曲面方程用矩阵来表示．即类似于二次曲线，这种二次曲面的矩阵表示也是非常重要的．本文仅从行列式与向量关系、线性方程组与面面关系、矩阵与二次曲线关系、矩阵与二次曲面关系这四个方面阐述《高等代数》与《解析几何》的相通性，其实《高等代数》与《解析几何》的相通性还有其它方面，有待继续探讨。五、结论由本文所研究的内容足以看出高等代数与解析几何是相互联系，相互促进的。一方面某些代数问题可转化成几何问题来求解。但由于一个代数问题能用几何方法来解的前提是它具有几何意义，因此分析和寻找一个代数问题的几何意义，就成了能否将其转化为几何问题来解的关键.那如何分析和寻找一个代数问题的几何意义呢，这就要求我们首先要具有从几何上观察、分析与思考问题的意识，这一点很重要，因为否则你根本不会往几何方面去想，其次要熟悉各种常见曲线的方程及各种常见的几何量和几何关系的代数表示式。另一方面，高等代数知识特别是是行列式和矩阵.在解析几何中的应用非常广泛，在很多情况下解析几何中的问题借助行列式和矩阵将问题大大简化。与此同时还能培养我们思考问题的思维习惯，增强思维的灵活性，开拓解题思路，提高解题能力。总体来说高等代数与解析几何是相互联系相互促进的。致谢本论文是在老师的悉心指导下完成的。论文的完成至始至终渗透着老师的大量的心血。在我完成学业的时间里，老师无论在生活上，还是在学习中都给予了无微不至的关怀和帮助。老师的治学严谨、追求真理、献身科学、诲人不倦的崇高品质使我在课题的研究中受益匪浅。感谢同学对我毕业论文上的帮助和支持，有了这些帮助和关心才使得我的毕业论文能够顺利的进行下去。感谢我的父母在生活中给予我大量的关心和精神上的支持。最后，感谢参加本人论文评阅和答辩的各位专家老师！参考文献：［1］王萼芳，石生明．高等代数［M］．北京:高等教育出版社，2003．[2］姜景莲．浅谈高等代数教学中的几何解释［J］．南平师专学报，1998，17(4):29－32．［3］吕林根，许子道．解析几何［M］．北京:高等教育出版社，2006．［4］薛娜，马轶轩．高等代数与解析几何合并教学的几点体会［J］．科技咨讯，2007(19):108．[5]吕林根许子道.解析几何[M].北京:高等教育出版社.[6]王仁发.高等代数与解析几何[M].北京:高等教育出版社.[7]陈志杰.高等代数与解析几何[M].北京:高等教育出版社.[8]张敏.《高等代数》与《解析几何》合并设课的教学改革[J].吉林师范大学学报2003.[