高考数学大一轮复习第三章三角函数解三角形课下层级训练23应用举例含解析文新人教A

课基层级训练(二十三)应用举例[A级基础加强训练]1.如图，两座灯塔A和B与河岸察看站C的距离相等，灯塔A在察看站南偏西40°，灯塔B在察看站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东80°D．南偏西80°[由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，所以灯塔A在灯塔B南偏西80°.]2．(2019·湖北十堰调研)已知A，B两地间的距离为10km，B，C两地间的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为()A．10kmB．103kmC．105kmD．107kmD[如下图，由余弦定理可得，2°＝700，∴AC＝AC＝100＋400－2×10×20×cos120107.]3.(2019·河南郑州月考)如下图，丈量河对岸的塔高AB时能够选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于( )A．56B．153C．52D．156D[在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得BCsin30°＝CDsin135°，所以BC＝152.在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝152×3＝156.]14．一艘海轮从A处出发，以每小时40nmile的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后抵达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处察看灯塔，其方向是南偏东70°，在B处察看灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )A．102nmileB．103nmileC．203nmileD．202nmile[画出表示图如下图，易知，在△中，＝20nmile，∠＝30°，∠＝45°，依据正弦定理得BCABCABCABACBsin30°ABsin45°，解得BC＝102nmile.]如图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m,50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A．30°B．45°C．60°D．75°B[依题意可得＝2010，＝305，ADAC又＝50，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠AC2＋AD2－CD2＝＝CDCAD2AC·AD5＋10－502＝6000＝2，又0°<∠<180°，所以∠＝45°，2×305×2010600022CADCAD所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.]6．轮船A和轮船B在正午12时同时走开海港，两船航行方向的夹角为120°，两船C的航行速度分别为25nmile/h,15nmile/h，则下午2时两船之间的距离是__________nmile.70[设两船之间的距离为d，则d2＝502＋302－2×50×30×cos120°＝4900，∴d＝70，即两船相距70nmile.]27．一船以每小时15km的速度向正东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为__________km.302[如下图，依题意有：AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，在△AMB中，由正弦定理得60BMsin45°＝sin30°，解得BM＝302(km)．]8．(2018·福建福州质检)如图，小明同学在山顶A处观察到，一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100m，汽车从B点到C点历时14s，则这辆汽车的速度为__________m/s(精准到0.1)．参照数据：2≈1.414，5≈2.236.22．6[由题意可得AB＝200，AC＝1002，在△ABC中，由余弦定理可得22BC＝AB＋2510≈141.4×2.236，又历时14s，所以速度为AC－2AB·AC·cos∠BAC＝10，则BC＝100BC14≈22.6m/s.]9．(2019·山西监测)如图，点A，B，C在同一水平面上，AC＝4，CB＝6.现要在点C处搭建一个观察站，点D在顶端．CD(1)原计划CD为铅垂线方向，α＝45°，求CD的长；2(2)搭建达成后，发现CD与铅垂线方向有误差，并测得β＝30°，α＝53°，求CD.(结3果精准到1)(此题参照数据：sin97°≈1，cos53°≈0.6)解(1)∵CD为铅垂线方向，点D在顶端，∴CD⊥AB．又∵α＝45°，∴CD＝AC＝4.在△ABD中，α＋β＝53°＋30°＝83°，AB＝AC＋CB＝4＋6＝10，∴∠ADB＝180°83°＝97°，∴由AD＝ABsinβ得sin∠ADB＝ABsinβ＝10sin30°＝5≈5.ADsin∠ADBsin97°sin97°222在△ACD中，CD＝AD＋AC－2AD·ACcosα52＋42－2×5×4×cos53°≈17.已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一个发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM＝100m和BN＝200m，一丈量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°，该丈量车向北偏西60°方向行驶了1003m后抵达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经丈量tanθ＝2，求两发射塔顶A，B之间的距离．解在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，∴PM＝1003，在△PQM中，∠QPM＝60°，又PQ＝1003，∴△PQM为等边三角形，∴QM＝1003.222在Rt△AMQ中，由AQ＝AM＋QM，得AQ＝200.在Rt△中，tanθ＝2，＝200，∴＝1005，cosθ＝5.BNQBNBQ5222θ在△BQA中，BA＝BQ＋AQ－2BQ·AQcos＝(1005)2，∴＝1005.BA即两发射塔顶A，B之间的距离是1005m.4[B级能力提高训练]11．(2019·广东广州调研)如下图长为3.5m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4m的地面上，另一端B在离堤足C处2.8m的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tanα等于( )2315A．B．51623111C．16D．5[由题意，可得在△ABC中，AB＝3.5m，AC＝1.4m，BC＝2.8m，且∠α＋∠ACB＝2222＝1.422.82π.由余弦定理，可得AB＝AC＋BC－2×AC×BC×cos∠ACB，即3.5＋－2×1.4×2.8×cos(π－α)，解得cosα＝5α＝231sinα，所以sin，所以tanα＝cosα16162315.]12.(2019·湖北武昌调研)如图，据气象部门预告，在距离某码头南偏东45°方向600km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向正北方向挪动，距风暴中心450km之内的地域都将遇到影响，则该码头将遇到热带风暴影响的时间为( )A．14hB．15hC．16hD．17hB[记此刻热带风暴中心的地点为点A，t小时后热带风暴中心抵达B点地点，在△OAB2222中，OA＝600，AB＝20t，∠OAB＝45°，依据余弦定理得OB＝600＋400t－2×20t×600×2，22，即4t22＋1575≤0，解得302－15t302＋15令≤450－120≤≤，所以该码头将OBt22遇到热带风暴影响的时间为302＋15302－152－2＝15(h)．]13.(2018·福建泉州模拟)如图，某住所小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个进出口，且小区里有一条平行于AO的小道CD．已知某人从O沿OD走到D5用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟．若这人步行的速度为每分钟50m，则该扇形的半径为__________m.7[如图，连结OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°.由余弦定理得22＋1502°＝17500，OC＝100－2×100×150×cos60解得OC＝507.]14．如图，航空丈量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞翔高度为10000m，速度为50m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为__________m.(取2＝1.4，3＝1.7)2650[如图，作CD垂直于AB的延伸线于点D，由题意知∠A＝15°，∠DBC＝45°，∴∠ACB＝30°，AB＝50×420＝21000(m)．BCAB又在△ABC中，sinA＝sin∠ACB，21000BC12CD⊥AD，∴CD＝BC·sin∠DBC2＝10500(6－2)×2＝10500(3－1)＝7350.6故山顶的海拔高度h＝10000－7350＝2650(m)．]如下图，在一条海防戒备线上的点A，B，C处各有一个水声监测点，B，C两点到点A的距离分别为20km和50km.某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8s后A，C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的流传速度是1.5km/s.设A到P的距离为xkm，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；求静止目标P到海防戒备线AC的距离．解(1)依题意，有PA＝PC＝x，PB＝x－1.5×8＝x－12.在△中，＝20，cos∠＝PA2＋AB2－PB2x2＋202－x－1223x＋32＝＝.PABABPAB2PA·AB2x·205x同理，在△PAC中，AC＝50，PA2＋AC2－PC2x2＋502－x225cos∠PAC＝＝＝.2PA·AC2x·50x由于cos∠PAB＝cos∠PAC，3x＋3225所以5x＝x，解得x＝31.25作PD⊥AC于点D，在△ADP中，由cos∠PAD＝31，21得sin∠PAD＝1－cos2∠PAD＝31，421所以PD＝PAsin∠PAD＝31×31＝421(km)．故静止目标P到海防戒备线AC的距离为421km.16．某高速公路旁边B处有一栋楼房，某人在距地面100m的32楼露台A处，用望远镜观察路上的车辆，上午11时测得一客车位于楼房北偏东15°方向上，且俯角为30°的C处，10s后测得该客车位于楼房北偏西75°方向上，且俯角为45°的D处．(假定客车匀速行驶)7假如此高速路段限速80km/h，试问该客车能否超速？又经过一段时间后，客车抵达楼房的正西方向E处，问此时客车距离楼房多远？解(1)在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝10