高考数学刷题首秧第八章概率与统计考点测试57坐标系与参数方程文含解析

考点测试57坐标系与参数方程高考概览本考点是高考必考知识点，题型为解答题，分值10分，中等难度考纲研读1．认识坐标系的作用，认识在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化状况2．认识极坐标的基本观点，会在极坐标系顶用极坐标刻画点的地点，能进行极坐标和直角坐标的互化3．能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程4．认识参数方程，认识参数的意义5．能选择适合的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程一、基础小题x＝3t2＋2，1．参数方程为(0≤t≤5)的曲线为( )y＝t2－1A．线段B．双曲线的一支C．圆弧D．射线答案A分析化为一般方程为x＝3(y＋1)＋2，即x－3y－5＝0，因为x＝3t2＋2∈[2，77]，故曲线为线段．应选A．x＝－2＋tcos30°，2．直线(t为参数)的倾斜角为( )y＝3－tsin60°A．30°B．60°C．90°D．135°1答案D分析将直线参数方程化为一般方程为x＋y－1＝0，其斜率k＝－1，故倾斜角为135°．应选D．π3．在极坐标系中，过点22，4作圆ρ＝4sinθ的切线，则切线的极坐标方程是( )A．ρsinθ＝2B．ρcosθ＝2ππC．ρsinθ－3＝2D．ρcosθ－3＝2答案B分析ρ＝4sinθ的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，而点π2，4化为直角坐标是(2，2)，过(2，2)作圆的切线，其方程为x＝2，即ρcosθ＝2．应选B．4．在极坐标系中，过圆ρ＝6cosθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________．答案ρcosθ＝3分析把ρ＝6cosθ两边同乘ρ，得ρ2＝6ρcosθ，所以圆的一般方程为2＋y2－6xx＝0，即(－3)2＋2＝9，圆心为(3，0)，故所求直线的极坐标方程为ρcosθ＝3．xy5．在极坐标系中，直线ρsinπ＝2被圆ρ＝4所截得的弦长为________．θ＋4答案43分析分别将直线与圆的极坐标方程化成直角坐标方程为x＋y－22＝0，x2＋y2＝16，则圆心O到直线x＋y－2|－22|16－4＝23，所以弦长2＝0的距离d＝＝2，半弦长为2为43．6．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴成立极坐标系．曲2线C的极坐标方程为ρ(cosθ＋sinx＝t2，θ)＝－2，曲线C的参数方程为(t为参12y＝22t数)，则C1与C2交点的直角坐标为________．答案(2，－4)分析曲线C1的直角坐标方程为x＋y＝－2，曲线C2的一般方程为y2＝8x，由x＋y＝－2，x＝2，(2，－4)．得所以1与2交点的直角坐标为y2＝8xy＝－4，CC二、高考小题7．(2018·北京高考)在极坐标系中，直线ρcosθ＋ρsinθ＝a(a>0)与圆ρ＝2cosθ相切，则a＝________．答案1＋2cosθ＝x，分析由ρsinθ＝y，可将直线ρcosθ＋ρsinθ＝a化为x＋y－a＝0，将ρ2＝x2＋y2，＝2cosθ，即ρ2＝2ρcosθ化为x2＋y2＝2x，整理成标准方程为(x－1)2＋y2＝1．又∵直线与圆相切，∴圆心(1，0)到直线x＋－＝0的距离＝|1－a|＝1，解得a＝1±2，∵2>0，∴a＝1＋2．a2x＝－1＋2t，(t8．(2018·天津高考)已知圆x2＋y2－2x＝0的圆心为C，直线2y＝3－2t为参数)与该圆订交于A，B两点，则△ABC的面积为________．答案12分析由题意可得圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，直线的直角坐标方程为x＋y－2＝0，|1＋0－2|22则圆心到直线的距离d＝2＝2，由弦长公式可得|AB|＝2×1－22＝2，则121△ABC＝×2×＝．S22239．(2017·北京高考)在极坐标系中，点A在圆ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0上，点P的坐标为(1，0)，则|AP|的最小值为________．答案1分析由ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得x2＋y2－2x－4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝1，圆心坐标为C(1，2)，半径长为1．∵点P的坐标为(1，0)，∴点P在圆C外．又∵点A在圆C上，∴|AP|min＝|PC|－1＝2－1＝1．10．(2017·天津高考)在极坐标系中，直线4ρcosπ＋1＝0与圆ρ＝2sinθ的θ－6公共点的个数为________．答案2π分析由4ρcosθ－6＋1＝0得23ρcosθ＋2ρsinθ＋1＝0，故直线的直角坐标方程为23x＋2y＋1＝0．由ρ＝2sinθ得ρ2＝2ρsinθ，故圆的直角坐标方程为x2＋y2＝2y，即x2＋(y－1)2＝1．圆心为(0，1)，半径为1．∵圆心到直线23x＋2y＋1＝0的距离|2×1＋1|3＝＝＜1，42223＋2∴直线与圆订交，有两个公共点．三、模拟小题11．(2018·北京通州月考)下边直线中，平行于极轴且与圆ρ＝2cosθ相切的是( )A．ρcosθ＝1B．ρsinθ＝1C．ρcosθ＝2D．ρsinθ＝24答案B分析由ρ＝2cosθ得ρ2＝2ρcosθ，即x2＋y2＝2x，所以圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，所以圆心坐标为(1，0)，半径为1．与x轴平行且与圆相切的直线方程为y＝1或y＝－1，则极坐标方程为ρsinθ＝1或ρsinθ＝－1，所以选B．x＝－1＋cosα，12．(2018·合肥调研)已知圆C的参数方程为y＝1＋sinα(α为参数)，当圆心C到直线kx＋y＋4＝0的距离最大时，k的值为( )1111A．3B．5C．－3D．－5答案D分析⊙C的直角坐标方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C(－1，1)，又直线kx＋y＋4＝0过定点(0，－4)，故当与直线kx＋＋4＝0垂直时，圆心C到直线的距离最大，ACAy11∵kCA＝－5，∴－k＝，∴k＝－．选D．55一、高考大题1．(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴成立极坐标系，曲线22C的极坐标方程为ρ＋2ρcosθ－3＝0．(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．解(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4．C由(1)知C2是圆心为A(－1，0)，半径为2的圆．由题设知，1是过点(0，2)且对于y轴对称的两条射线，曲线1的方程为y＝CBCkx＋2，x≥0，l，y轴左侧的射线为l．因为B在圆C的外面，记y轴右侧的射线为－kx＋2，x<0.122故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或5l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．当l与C只有一个公共点时，A到l所在直线的距离为2，所以|－k＋2|11＝2，故k＝2k2＋14－3或k＝0．经查验，当k＝0时，l与C没有公共点；当4与C只有一个公共点，l与131222C有两个公共点．2当l22A到l2所在直线的距离为2，所以|k＋2|k2＋14或k＝3．经查验，当k＝0时，l1与C没有公共点；当k＝3时，l2与C没有公共点．2424综上，所求C1的方程为y＝－3|x|＋2．2．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝2cosθ，(θy＝4sinθx＝1＋tcosα，为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．y＝2＋tsinα(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1，2)，求l的斜率．(1)曲线C的直角坐标方程为x2y2解4＋16＝1．当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y＝tanα·x＋2－tanα，当cosα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1．(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得对于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0．①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1，2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0．6又由①得t1＋t2＝－42cosα＋sinαα＋sinα＝0，于是直线l的斜率k＝1＋3cos2α，故2costanα＝－2．3．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系x＝cosθ，(θxOy中，⊙O的参数方程为y＝sinθ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l与⊙交于，两点．OAB求α的取值范围；求AB中点P的轨迹的参数方程．解(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1．π当α＝2时，l与⊙O交于两点．π当α≠2时，记tanα＝k，则l的方程为y＝kx－2．l与⊙O交于两点当且仅当2<1，解得k<－1或k>1，1＋k2πππ3ππ3π即α∈4，2或α∈2，4．综上，α的取值范围是4，4．(2)l的参数方程为x＝tcosα，tπ<3πy＝－2＋tsinα为参数，α<．44设，，对应的参数分别为tA，B，P，则tP＝tA＋tB，且tA，B知足t2－22sinαABPtt2tt1＝0．于是tA＋tB＝22sinα，tP＝2sinα．x＝tPcosα，又点P的坐标(x，y)知足y＝－2＋tPsinα，2x＝2sin2α，所以点P的轨迹的参数方程是22y＝－2－2cos2α7π3πα为参数，4<α<4．4．(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝3cosθ，(θy＝sinθx＝a＋4t，为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．y＝1－t若a＝－1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为17，求a．解(1)曲线C的一般方程为x29＋y2＝1．当a＝－1时，直线l的一般方程为x＋4y－3＝0．x＋4y－3＝0，由x2＋y2＝1，21x＝3，x＝－25，解得或24y＝0y＝25.24进而C与l的交点坐标为(3，0)，－25，25．(2)直线l的一般方程为x＋4－－4＝0，故C上的点(3cosθ，sinθ)到l的距离为dya|3cosθ＋4sinθ－a－4|．＝17a＋9当a≥－4时，d的最大值为．17由题设得a＋917，所以a＝8；＝17a＋1当a＜－4时，d的最大值为．178－a＋1由题设得＝17，所以a＝－16．综上，a＝8或a＝－16．5．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4．(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且知足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；π设点A的极坐标为2，3，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．解(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．4由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝cosθ．由||·||＝16得2的极坐标方程为ρ＝4cos(ρ>0)．OMOPCθ所以C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．由题设知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB的面积S＝1Bα·sinα－π2|OA|·ρ·sin∠AOB＝4cos332sin2α－3－2≤2＋3．π当α＝－12时，S获得最大值2＋3．所以△OAB面积的最大值为2＋3．二、模拟大题6．(2018·河南名校结盟联考)在平面直角坐标系xOy中，圆C的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴成立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ(3cosθ＋sinθ)＝5．9求圆C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；在圆上找一点A，使它到直线l的距离最小，并求点A的极坐标．解(1)x2＋(y－1)2＝1即x2＋y2－2y＝0．因为ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y，所以圆C的极坐标方程为ρ2＝2ρsinθ，即ρ＝2sinθ．ρ(3cosθ＋sinθ)＝5即3ρcosθ＋ρsinθ＝5，因为ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，所以直线l的直角坐标方程为y＝－3x＋5．曲线C：x2＋(y－1)2＝1是以C(0，1)为圆心，1为半径的圆．设圆上点A(x0，y0)到直线l：y＝－3x＋5的距离最短，所以圆C在点A处的切线与直线l：y＝－3x＋5平行．即直线与l的斜率的乘积等于－y0－11，即×(－3)＝－1．①CAx0因为点A在圆上，所以x20＋(y－1)2＝1，②03133联立①②可解得x0＝－2，y0＝2或x0＝2，y0＝2．3133所以点A的坐标为－2，2或2，2．又因为圆上点A到直线l：y＝－3x＋5的距离最小，3所以点A的坐标为2，2，点A的极径为3322＋22＝3，极角θ知足tanθ＝3且θ为第一象限角，则可取πθ＝3．所以点A的极坐标为π3，．3107．(2019·福建福州四校模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝2＋cosα，(α为参数)，直线C2的方程为y＝3x．以坐标原点O为极点，x轴的y＝2＋sinα正半轴为极轴成立极坐标系．求曲线C1和直线C2的极坐标方程；11若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求|OA|＋|OB|．(1)由曲线x＝2＋cosα，为参数)，得曲线解1的参数方程为(α1的一般方程Cy＝2＋sinαC为(x－2)2＋(y－2)2＝1，则C1的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋7＝0，因为直线C2过原点，且倾斜角为π，故其极坐标方程为θ＝π(ρ∈R)．332－4ρcosθ－4ρsinθ＋7＝0，由πθ＝3，23＋2)ρ＋7＝0，设A，B对应的极径分别为ρ，ρ，则ρ＋ρ＝23＋12122，ρ1ρ2＝7，11|OA|＋|OB|ρ1＋ρ223＋2∴|OA|＋|OB|＝|OA|·|OB|＝ρ1ρ2＝7．8．(2018·河南郑州二模)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，成立极坐标系，点A的极坐标为ππ2，，直线l的极坐标方程为ρcosθ－＝a，44且l过点A，曲线C1的参数方程为x＝2cosα，(α为参数)．y＝3sinα求曲线C1上的点到直线l的距离的最大值；过点B(－1，1)与直线l平行的直线l1与曲线C1交于M，N两点，求|BM|·|BN|的值．解(1)由直线l过点Aππ可得2cos－＝，4411故a＝2，∴易得直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0．依据点到直线的距离公式可得曲线C1上的点(2cosθ，3sinθ)到直线l的距离d＝|2cosθ＋3sinθ－2||7sinθ＋φ－2|27212＝2，此中sinφ＝7，cosφ＝7，∴dmax＝7＋214＋22＝2．23π(2)由(1)知直线l的倾斜角为4，3π∴直线l1的参数方程为x＝－1＋tcos4，y＝(t为参数)．3πy＝1＋tsin41x2y2又易知曲线C的一般方程为4＋3＝1，把直线l1的参数方程代入曲线C1的一般方程可得7t2＋72t－5＝0，2设M，N两点对应的参数为t，t，121210的几何意义可知|BM|·|BN|＝|t1210∴tt＝－7，依照参数tt|＝7．9．(2018·山西太原二模)在平面直角坐标系xOy中，曲线C过点P(a，1)，其参数方1x＝a＋2t，程为(t为参数，a∈R)，以O为极点，x轴非负半轴为极轴成立极坐标系，y＝1＋2t曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0．求曲线C1的一般方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)已知曲线C和曲线C交于A，B两点，且|PA|＝2|PB|，务实数a的值．12(1)1的参数方程为x＝a＋2t，x－＋1＝0，2的极解消参得一般方程为－Cy＝1＋2t，yaC12坐标方程为2θ＋4cosθ－ρ＝0，两边同乘222ρcosρ得ρcosθ＋4ρcosθ－ρ＝0，得y2＝4x．所以曲线C2的直角坐标方程为y2＝4x．2(2)曲线C的参数方程可转变为x＝a＋2t，(t为参数，a∈R)，代入曲线C：122y＝1＋2t21221y＝4x，得2t－2t＋1－4a＝0，由＝(－