2023年广东省汕头市名校高一数学第二学期期末达标测试试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在中，角的对边分别是，若，则（）A．5 B． C．4 D．32．已知中，，，点是的中点，是边上一点，则的最小值是（）A． B． C． D．3．给出下列四个命题：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③若直线满足，则；④若直线，是异面直线，则与，都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．44．在等差数列中，已知，则数列的前9项之和等于（）A．9 B．18 C．36 D．525．已知，则下列4个角中与角终边相同的是（）A． B． C． D．6．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝S4，则S13＝（）A．13 B．7 C．0 D．17．在中，若，则是（）A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形8．已知一个等比数列项数是偶数，其偶数项之和是奇数项之和的3倍，则这个数列的公比为（）A．2 B．3 C．4 D．69．在中，角所对的边分别为，已知，则最大角的余弦值是()A． B． C． D．10．已知，其中，若函数在区间内有零点，则实数的取值可能是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若数列是正项数列，且，则_______．12．若正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的角是45°，则该正四棱锥的体积是________.13．已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为________．14．一个封闭的正三棱柱容器，该容器内装水恰好为其容积的一半（如图1，底面处于水平状态），将容器放倒（如图2，一个侧面处于水平状态），这时水面与各棱交点分别为E，F、，，则的值是__________.15．已知向量，满足，与的夹角为，则在上的投影是；16．在中，，，是角，，所对应的边，，，如果，则________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列满足：，，数列满足.（1）若数列的前项和为，求的值；（2）求的值.18．的内角，，的对边分别为，，，设.（1）求；（2）若，求.19．锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求A；（2）若，，求面积.20．已知圆的半径是2，圆心为.（1）求圆的方程；（2）若点是圆上的动点，点在轴上，的最大值等于7，求点的坐标.21．共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调査，并将问卷中的这50人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：频率分布表组别分组频数频率第1组80.16第2组▆第3组200.40第4组▆0.08第5组2合计▆▆（1）求的值；（2）若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求所抽取的2人中至少一人来自第5组的概率.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

已知两边及夹角，可利用余弦定理求出．【详解】由余弦定理可得：，解得.故选D.【点睛】本题主要考查利用正余弦定理解三角形，注意根据条件选用合适的定理解决．2、B【解析】

通过建系以及数量积的坐标运算，从而转化为函数的最值问题．【详解】根据题意，建立图示直角坐标系，，，则，，，．设，则，是边上一点，当时，取得最小值，故选．【点睛】本题主要考察解析法在向量中的应用，将平面向量的数量积转化成了函数的最值问题．3、B【解析】

利用空间直线的位置关系逐一分析判断得解.【详解】①为假命题.可举反例，如a，b，c三条直线两两垂直；②平行于同一条直线的两条直线平行,是真命题；③若直线满足，则，是真命题；④是假命题，如图甲所示，c，d与异面直线，交于四个点，此时c，d异面，一定不会平行；当点B在直线上运动（其余三点不动），会出现点A与点B重合的情形，如图乙所示，此时c，d共面且相交.故答案为B【点睛】本题主要考查空间直线的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.4、B【解析】

利用等差数列的下标性质，可得出，再由等差数列的前项和公式求出的值.【详解】在等差数列中，故选：B【点睛】本题考查了等差数列的下标性质、以及等差数列的前项和公式，考查了数学运算能力.5、C【解析】

先写出与角终边相同的角的集合，再给k取值得解.【详解】由题得与角终边相同的集合为,当k=6时，.所以与角终边相同的角为.故选C【点睛】本题主要考查终边相同的角的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.6、C【解析】

由题意，利用等差数列前n项和公式求出a1＝﹣6d，由此能求出S13的值．【详解】∵等差数列{an}的前n项和为Sn，S9＝S4，∴4a1，解得a1＝﹣6d，∴S1378d﹣78d＝1．故选：C．【点睛】本题考查等差数列的前n项和公式的应用，考查运算求解能力，是基础题．7、A【解析】

首先根据降幂公式把等式右边降幂你，再根据把换成与的关系，进一步化简即可．【详解】，，,选A.【点睛】本题主要考查了二倍角，两角和与差的余弦等，需熟记两角和与差的正弦余弦等相关公式，以及特殊三角函数的值是解决本题的关键，属于基础题．8、B【解析】

由数列为等比数列，则，结合题意即可得解.【详解】解：因为数列为等比数列，设等比数列的公比为，则，又是奇数项之和的3倍，则，故选：B.【点睛】本题考查了等比数列的性质，重点考查了等比数列公比的运算，属基础题.9、B【解析】

由边之间的比例关系，设出三边长，利用余弦定理可求.【详解】因为，所以c边所对角最大，设，由余弦定理得，故选B.【点睛】本题考查余弦定理，计算求解能力，属于基本题.10、D【解析】

求出函数，令，，根据不等式求解，即可得到可能的取值.【详解】由题：，其中，令，，若函数在区间内有零点，则有解，解得：当当当结合四个选项可以分析，实数的取值可能是.故选：D【点睛】此题考查根据函数零点求参数的取值范围，需要熟练掌握三角函数的图像性质，求出函数零点再讨论其所在区间列不等式求解.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

有已知条件可得出，时，与题中的递推关系式相减即可得出，且当时也成立。【详解】数列是正项数列，且所以，即时两式相减得，所以（）当时，适合上式，所以【点睛】本题考差有递推关系式求数列的通项公式，属于一般题。12、【解析】

过棱锥顶点作,平面，则为的中点，为正方形的中心，连结，设正四棱锥的底面长为，根据已知求出a=2,SO=1,再求该正四棱锥的体积.【详解】过棱锥顶点作,平面，则为的中点，为正方形的中心，连结，则为侧面与底面所成角的平面角，即，设正四棱锥的底面长为，则，所以，在中，∵∴，解得，∴∴棱锥的体积.故答案为【点睛】本题主要考查空间线面角的计算，考查棱锥体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.13、【解析】

求出的垂直平分线方程，两垂直平分线交点为外接圆圆心．再由两点间距离公式计算．【详解】由点B(0，)，C(2，)，得线段BC的垂直平分线方程为x＝1，①由点A(1,0)，B(0，)，得线段AB的垂直平分线方程为②联立①②，解得△ABC外接圆的圆心坐标为，其到原点的距离为.故答案为：【点睛】本题考查三角形外接圆圆心坐标，外心是三角形三条边的中垂线的交点，到三顶点距离相等．14、【解析】

设，则，由题意得：，由此能求出的值．【详解】设，则，由题意得：，解得，．故答案为：．【点睛】本题考查两线段比值的求法、三棱柱的体积等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．15、1【解析】考查向量的投影定义，在上的投影等于的模乘以两向量夹角的余弦值16、【解析】

首先利用同角三角函数的基本关系求出，再利用正弦定理即可求解.【详解】在中，，，即，，，即，，，，，即，，，即，，，由正弦定理得，，，故答案为：【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系以及正弦定理解三角形，需熟记公式，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)；(2).【解析】

(1)构造数列等差数列求得的通项公式,再进行求和,再利用裂项相消求得；

(2)由题出现,故考虑用分为偶数和奇数两种情况进行计算.【详解】(1)由得,即,所以是以为首项,1为公差的等差数列,故,故.所以,故.

(2)当为偶数时,，当为奇数时,为偶数,

综上所述,当为偶数时,,当为奇数时,即.【点睛】本题主要考查了等差数列定义的应用，考查构造法求数列的通项公式与裂项求和及奇偶并项求和的方法，考查了分析问题的能力及逻辑推理能力，属于中档题.18、(1)(2)【解析】

（1）由正弦定理得，再利用余弦定理的到.（2）将代入等式，化简得到答案.【详解】解：（1）由结合正弦定理得；∴又，∴.（2）由,∴∴,∴∴又∴解得：，.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，和差公式，意在考查学生的计算能力.19、（1），（2）【解析】

（1）利用三角函数的和差公式化简已知等式可得，结合为锐角可得的值．（2）由余弦定理可得，解得的值，根据三角形的面积公式即可求解．【详解】（1）∵，∴∵∴可得：∵A，C为锐角，∴，可得：（2）∵∴由余弦定理，可得：，即，解得：或3，因为为锐角三角形，所以需满足所以所以的面积为【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换及余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．20、（1）；（2）或．【解析】

（1）直接根据圆的标准式方程，写出圆的方程即可；（2）设．由等于1．即，解得即可．【详解】解：（1）已知圆的半径是2，圆心为．圆的方程：；（2）设．的最大值等于7，等于1．．解得或，即或．【点睛】本题考查了圆的方程，点与圆的位置关系，属于中档题．21、（1）；（2）.【解析】

（1）根据频率分布表可得b.先求得内的频数,即可由总数减去其余部分求得.结合频率分布直方图,即可求得的值.（2）根据频率分布表可知在内有4人,在有2人.列举出从这6人中选取2人的所有可能,由