非线性控制系统的分析

非线性控制系统的分析第一页，共二十四页，2022年，8月28日9.1典型非线性特性及其对系统性能的影响与线性系统相比，非线性系统具有如下特点：（1）非线性系统不适用叠加原理，输出与输入间不存在线性比例关系。（2）非线性系统的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，而且还和输入信号与初值的大小（初始偏差）有关。例如小初始偏差时稳定的系统，大偏差时就可能不稳定。（3）自振：所谓自振，是在没有外施信号作用时，非线性系统产生的具有固定振幅和频率的稳定振荡现象；而线性系统的等幅振荡则只是系统的一种临界稳定状态，只要系统的参数稍有变化，这种临界等幅振荡就会趋于发散或者变为收敛。也就是说，线性系统的这种等幅振荡是暂时性的，而非线性系统的自振则是稳定的、顽固的。（4）跳跃谐振与多值响应：当输入信号的频率由小到大和由大到小变化时，非线性系统的幅频值可能出现突跳式的不连续现象，即所谓跳跃谐振与多值响应，如图9.1-1所示。（5）组合频率响应：当输入某正弦信号时，非线性系统的输出一般都是由输入正弦的各次谐波（组合频率）分量所组成的非正弦周期函数，具有组合频率响应的特点。第二页，共二十四页，2022年，8月28日1）

饱和特性（9.1-1）

图9.1-1跳跃谐振与多值响应图9.1-2饱和特性及其等效变增益第三页，共二十四页，2022年，8月28日

2）死区特性所谓死区也叫不灵敏区，系指输入信号偏小时，死区特性元件没有输出，仅当输入增加到某个值以上时，该元件才有输出。死区特性及其等效变增益特性如图9.1-3a.、b.所示。死区特性对系统产生的主要影响有：①使系统的稳态误差增大、定位精度降低；②当系统的输入信号为斜坡等函数时，还会引起系统输出在时间上的滞后；③小信号时，死区特性的等效增益

k很小，能提高小起始偏差情况下的系统稳定性；④等效增益会减小系统的总开环增益，可提高系统的平稳性，降低动态振荡倾向；⑤死区能滤掉从输入端引入的小幅值干扰信号，从而提高系统对小扰动的抗干扰能力。图9.1-3死区特性及其等效变增益特性第四页，共二十四页，2022年，8月28日3）间隙特性在机械传动中，为了保证齿轮在传动中转动灵活、防止发生齿轮啮合卡死现象，齿轮之间总是留有一定的间隙。由于间隙的存在，当主动轮的运动方向改变时，主动轮需要转过与从动轮之间的间隙行程后，才能推动从动轮转动。齿轮传动及其间隙特性如图9.1-4所示。系统中若有间隙特性元件，不仅会使系统的输出产生相位滞后，导致系统稳定裕量的减小，使动态性能恶化，容易产生自振；而且间隙区会降低定位精度、增大系统静差。图9.1-4齿轮传动及其间隙特性第五页，共二十四页，2022年，8月28日继电特性继电器、接触器等都具有继电特性。实际继电器工作时，只有流经线圈的电流大于吸合值（或线圈两端所加的电压大到某一数值）后，继电器的衔铁方能吸合，所以，继电特性一般都有死区存在。此外，由于继电器的吸合电流一般都大于释放电流，因此，实际的继电特性具有滞环特点。三种典型的继电特性如图9.1-5所示。图9.1-5中，图a.为不考虑死区和滞环的理想继电特性；图b.为只考虑死区的继电特性；图c.为只考虑滞环的继电特性；图d.则为带滞环的实际继电特性。图9.1-5三种典型的继电特性第六页，共二十四页，2022年，8月28日9.2非线性控制系统的分析方法目前研究非线性控制系统的常用工程方法有如下四种：(1)相平面法：将控制系统的运动过程用相平面上某点的移动轨迹来表示，是一种通过时域求解一、二阶常微分方程，绘制、分析相轨迹的图解法；能够比较直观、准确、全面地分析一、二阶线性或非线性控制系统的稳定性、平衡位置、时间响应、稳态精度以及初值与参数对控制系统运动的影响；缺点是仅限于一、二阶系统的分析。(2)描述函数法：在一定的假设条件下，通过谐波线性化近似，对非线性部件的基波输出分量进行频域分析，是线性系统频率特性法在非线性控制系统的推广，主要用于系统稳定性和自振的分析，这种方法不受系统阶次的限制，对非线性控制系统的初步分析和设计非常方便；缺点是不能给出时间响应的确切信息，不如相平面法精确。(3)李雅普诺夫法：通过构造李雅普诺夫函数，根据能量的收敛或发散来分析非线性控制系统的稳定性（详见下篇：现代分析方法）；缺点是构造合适的李雅普诺夫函数比较困难。(4)计算机求解法：通过计算机直接求解非线性系统的微分方程，可以分析和设计复杂的非线性控制系统，随着计算机的广泛应用，计算机求解法将有更大的发展前景。第七页，共二十四页，2022年，8月28日9.2.1

相平面法1）相平面法的基本概念一般二阶时不变系统的常微分方程为（9.2-1）以时间t

作为参变量，以为横坐标、为纵坐标，则以和构成的二维状态空间即为相平面。相平面上的每个相点都对应于系统的每一个状态；沿着时间t增大的方向，将许多相点连接起来即形成一条相轨迹。由于相平面只能表示和两个独立变量，所以相平面法只能用来研究一、二阶线性或非线性系统。2）相轨迹的绘制方法（1）二阶线性系统的相轨迹

（2）相轨迹的绘制第八页，共二十四页，2022年，8月28日图9.2-2二阶线性系统的6种特征根及对应的相轨迹与奇点第九页，共二十四页，2022年，8月28日相轨迹的绘制方法有解析法和图解法两种：当系统的微分方程比较简单、便于积分求解时，一般用解析法绘制；当采用解析法求解有困难时，可用图解法绘制。

对于式（9.2-1），令，有，所以可得（9.2-5）式（9.2-5）是关于和的一阶微分方程，即二阶非线性系统的相轨迹方程。由式（9.2-5），令，即有（9.2-6）或（9.2-7）①解析法：即直接对系统的状态方程进行积分求解——先将系统的状态方程化为相轨迹方程，再对相轨迹方程求积分，得到x1和x2的关系式，即可逐点绘出系统的相轨迹图。第十页，共二十四页，2022年，8月28日例9.2-1试对图9.2-3非线性系统，用解析法绘出系统的相轨迹。解：由图，非线性为理想继电特性，有，对线性部分，入出关系为令，，则有，可得

，两边积分，可得图9.2-3例9.2-1非线性系统第十一页，共二十四页，2022年，8月28日②图解法：不需直接求解系统的微分方程，而是通过作图来画出系统的相轨迹。常用图解法有等倾线法和δ法两种。等倾线法：利用式（9.2-7）与式（9.2-6），即通过二阶非线性系统相轨迹的斜率方程与等倾线方程，设定不同的α与β

，即可在相平面上画出许多等倾线并建立相应相轨迹的切线方向场；由给定的初始状态（相轨迹的起始相点）出发，便可沿等倾线的切线方向完成系统的相轨迹；因为任何一条曲线都是可以用一系列足够短的折线来逼近的。图9.2-4例9.2-1系统的相轨迹第十二页，共二十四页，2022年，8月28日例9.2-2试用等倾线法绘制二阶线性系统在时的相轨迹。解：令，则有，可得等倾线方程，即（9.2-8）可见，此系统相轨迹的等倾线都是过原点且斜率为

β的直线。由式（9.2-8）有，当α取不同的值时，可得到表9.2-1。起始相点出发，即可绘出该系统的相轨迹，如图9.2-5所示。

第十三页，共二十四页，2022年，8月28日图9.2-5

例9.2-2的相轨迹第十四页，共二十四页，2022年，8月28日δ法：实际上，也可以认为相轨迹是由一系列圆心沿x

轴滑动的圆弧所组成的连续曲线。（3）相轨迹的三种极限环极限环是一种特殊的相轨迹，是最常见的奇线。根据极限环附近相轨迹的运动特点，可以分为稳定的、不稳定的与半稳定的三种极限环。①稳定的极限环：若起始于极限环外部和内部的相轨迹最终都趋向于这个极限环，则该极限环称为稳定的极限环；系统在微小扰动下，相轨迹可能稍稍离开极限环，但最终仍能回到这个极限环，所以系统的运动状态对应为稳定的自振运动；由于极限环内部的相轨迹是发散至极限环，而极限环外部的相轨迹则是收敛到极限环，所以稳定的极限环内部是不稳定的区域，而外部则是稳定的区域；稳定的极限环可以通过实验观察到，如图9.2-8a.所示。②不稳定的极限环：若起始于极限环外部和内部的相轨迹最终都远离极限环，则该极限环称为不稳定极限环，对应的周期运动是不稳定的；任何微小扰动都将使系统状态离开不稳定极限环，所以不稳定的极限环内部是渐近稳定的区域，而外部则是不稳定区域，如图9.2-8b.所示；不稳定的极限环在实验中是无法观察到的。③半稳定的极限环：若起始于极限环内（外）部的相轨迹最终远离极限环，而起始于极限环外（内）部的相轨迹最终趋向极限环，则该极限环称为半稳定的极限环，对应的系统运动是稳定的或不稳定的，如图9.2-8c.、d.所示（在实验中无法观察到）；图9.2-8c.中，极限环的内、外部都是系统的渐近稳定区域，系统的运动最终将收敛于环内的奇点；而图9.2-8d.中，极限环的内、外部则都是不稳定的区域，系统的运动最终将发散于无穷远处。第十五页，共二十四页，2022年，8月28日3）由相轨迹求系统的瞬时响应9.2.2

非线性控制系统的相平面分析1）分段线性方法所谓分段线性方法，一般是根据典型非线性特性的分段情况：先用分界线（也叫开关线或转换线）将相平面划分为几个线性区域；再按照系统的结构图分别列写各区域的线性微分方程，并应用线性系统的相平面分析方法和结论，分别绘出各区域的相轨迹；最后根据系统状态变化的连续性，在各区域开关线的转换点上将相轨迹衔接成连续曲线，即可得到非线性系统的完整相图。图9.2-8稳定的、不稳定的与半稳定的三种极限环第十六页，共二十四页，2022年，8月28日2）非线性控制系统的相平面分析9.2.3描述函数法描述函数法是一种近似方法。在一定的条件下，通过对非线性部件的基波输出分量进行谐波线性化近似并得到非线性部件的描述函数，再按照线性系统的频域法对非线性系统的稳定性和自振进行分析；描述函数法不受系统阶次的限制，在非线性控制系统的初步分析和设计中非常方便；描述函数法的缺点是不如相平面法精确。1）谐波线性化所谓谐波线性化，就是用非线性元件在正弦输入下输出的基波分量近似取代输出的过程。非线性元件的描述函数N(X)定义为非线性元件在正弦输入下输出的基波分量与正弦输入的复数比，即（9.2-33）第十七页，共二十四页，2022年，8月28日谐波线性化是有条件的，具体归纳为以下4点：⑴非线性系统可以归化为下面图9.2-16所示的典型结构；⑵由于描述函数法多用于非线性系统的稳定性和自振分析，可令，而且非线性元件的输入为正弦扰动信号，即；⑶正弦扰动下非线性元件的输出具有奇对称（如死区、饱和等的输出）或奇谐对称（如间隙、实际继电等的输出）特性，可以保证非线性元件输出的直流分量与偶次谐波均等于零；⑷系统的线性部分具有良好的低通滤波性能，以确保谐波线性化的近似精度，对于一般的控制系统，这个条件是能满足的，而且线性部分的阶次越高，低通滤波越好、近似精度越高。图9.2-16非线性控制系统的典型结构第十八页，共二十四页，2022年，8月28日2）

非线性系统的结构归化问题⑴结构归化的总原则①非线性元件的输入、输出关系始终不能改变；②扰动输入和系统输出的位置可以改变，对系统的稳定性和自振分析没有影响。⑵非线性元件的结构归化①并联非线性元件的化简——特性曲线直接对应叠加。②串联非线性元件的化简——前面非线性元件的输出为后面非线性元件的输出，前后的顺序不可随便更换。⑶非线性系统的结构归化图9.2-20非线性系统的结构归化第十九页，共二十四页，2022年，8月28日3）典型非线性特性的描述函数非线性元件的描述函数可按以下步骤计算进行。·根据非线性元件的特性，当输入为时，确定输出的波形；·计算的基波分量，其中，且对于单值奇对称输出，有；而对奇谐对称输出，则有；·按照描述函数的定义式（9.2-33），求得非线性元件的描述函数。⑴理想继电特性的描述函数⑵饱和特性的描述函数⑶死区特性的描述函数第二十页，共二十四页，2022年，8月28日9.2.4用描述函数法分析非线性系统1）把线性控制中的Nyquist稳定判据推广到非线性控制系统经过谐波线性化与结构归化，由图9.2-16有则系统的特征方程为（9.2-38）或