版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
近世代数课件同态与不变子群第一页,共十四页,2022年,8月28日11.1自然同态定理1一个群同它的每一个商群同态.证明我们规定到的一个法则:这显然是到的一个满射.并且,对于的任意两个元和来说,所以它是一个同态满射.证完.上述称为自然同态.第二页,共十四页,2022年,8月28日由群的一个子群可以推测整个群的性质.假如我们有一个不变子群,就同时有两个群可以供我们利用,一个是本身,另一个是商群.现在定理1又告诉我们,与同态,这样帮助推测的性质.在一定意义之下,定理1的逆定理也是对的.第三页,共十四页,2022年,8月28日11.2同态映射的核定义假定是一个群到另一个群的一个同态满射.的单位元在之下的所有逆象所作成的的子集叫做同态满射的核,记为,即:
.记,它有以下性质:(1)是不变子群(2)(3)(4)第四页,共十四页,2022年,8月28日证明:1.分两步1)是子群2),对于任意2.3.同学自行给出.4.同学自行给出.第五页,共十四页,2022年,8月28日11.3同态基本定理定理2假定和是两个群,并且同态,那么这里是同态满射的核.证明:证明的关键点是构造一个同构映射(启发:1.必然联想到2.离同构有多远?3.写出)可以证明是一个与间的同构映射.因为:第六页,共十四页,2022年,8月28日1)无歧义,这就是说,在之下的一个元素只有一个唯一的象;2)是单映射.上面的过程可逆.3)是满射.给了的一个任意元,在里至少有一个元满足条件,由定义,这就是说,是到的满射;第七页,共十四页,2022年,8月28日4)保持运算
综上所述,证完定理1告诉我们,一个群和它的一个商群同态,定理2告诉我么,抽象地来看,只能和它的商群同态,所以我们可以说,定理2正是定理1的反面.我们知道,当群与群同态的时候,的性质并不同的完全一样.但定理2告诉我们,这时我们一定找得到的一个不变子群,使得的性质和商群的完全一样.从这里我们可以看出,不变子群和商群的重要意义.第八页,共十四页,2022年,8月28日11.4子群的同态像和逆(原)像回忆一个子集关于映射的像与逆像定义假定是集合到集合的一个映射.1.是的一个子集,称为在之下的象,它刚好包含所有的元在之下的象.2.是的一个子集,在之下的逆象刚好包含所有中在之下的像属于的元.第九页,共十四页,2022年,8月28日定理3假定和是两个群,并且与同态.那么在这个同态满射之下的(ⅰ)的一个子群的象是的一个子群;(ⅱ)的一个不变子群的象是的一个不变子群.证明我们用来表示给定的同态满射(ⅰ)假定,是的两个任意元,那么有使得,那么在之下,
(??)第十页,共十四页,2022年,8月28日(由于是子群,,因此由于是的在之下的象,)这样,是的一个子群.(ⅱ)是的一个不变子群,由(ⅰ),我们知道是的一个子群.假定是的任意元,是的任意元,而且在之下,
(??)是的一个不变子群.证完.第十一页,共十四页,2022年,8月28日定理4假定和是两个群,并且与同态.那么在这个同态满射之下的(ⅰ)的一个子群的逆象是的一个子群;(ⅱ)的一个不变子群的逆象是的一个不变子群.证明我们用来表示给定的同态满射.(ⅰ)假定,是的两个任意元,并且在之下,,,我们需要证明.注意第十二页,共十四页,2022年,8月28日由于是的逆象,因而,,进一步
(??),即:所以.这样,,是的一个子群.(ⅱ)既是的一个不变子群,由(ⅰ),我们知道是的一个子群.假定是的任意元,是的任意元,并且在之下,,第十三页,共十四页,2022年,8月28日我们需要证明
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 精装修样板间工艺工序
- 四川省绵阳市2023-2024学年高一下学期期末考试语文试题(解析版)
- 高中技术教学与多媒体网络有效整合应用的教学计划
- 2024年咖啡师(制作及品鉴)技能资格证知识考试题库与答案
- 人力资源信息系统(HRIS)的实施与优化路径
- 股权激励计划对公司客户满意度的影响
- 江苏省启东市重点中学2024届中考数学考前最后一卷含解析
- 2023年资阳市雁江区招聘事业单位工作人员笔试真题
- 2023年深圳市龙岗区市内选调公务员考试试题及答案
- 2023年湖南湘潭医卫职业技术学院附属医院招聘笔试真题
- 安全风险管理与隐患排查-危险源的辨识与控制
- JGT526-2017 建筑电气用可弯曲金属导管
- 联合国可持续发展目标与语文教育的连接
- 水平一(二年级)《跳跃:单跳双落》教学设计
- 干式除尘器标准
- 工程力学6 力的平移定理
- 2022语文课程标准:“语言文字积累与梳理”任务群解读及实操
- 新目标大学英语(第二版)视听说教程1Unit1-2答案
- 风雨长廊工程施工组织设计方案
- 小学体育课堂“学、练、赛”一体化教学模式的研究与实践
- 砂石料委托销售代理协议范本
评论
0/150
提交评论