逻辑代数及化简

逻辑代数及化简第一页，共十八页，2022年，8月28日将门电路按照一定的规律连接起来，可以组成具有各种逻辑功能的逻辑电路。分析和设计逻辑电路的数学工具是逻辑代数（又叫布尔代数或开关代数）。逻辑代数具有3种基本运算：与运算（逻辑乘）、或运算（逻辑加）和非运算（逻辑非）。逻辑函数的表示形式一般有五种：1.真值表2.表达式3.逻辑电路图4.卡诺图5.波形图第二页，共十八页，2022年，8月28日逻辑代数的公式和定理（2）基本运算（1）常量之间的关系分别令A=0及A=1代入这些公式，即可证明它们的正确性。第三页，共十八页，2022年，8月28日利用真值表很容易证明这些公式的正确性。如证明A·B=B·A：（3）基本定理第四页，共十八页，2022年，8月28日逻辑函数有5种表示形式：真值表、逻辑表达式、卡诺图、逻辑图和波形图。只要知道其中一种表示形式，就可转换为其它几种表示形式。逻辑函数的表示方法1、真值表真值表：是由变量的所有可能取值组合及其对应的函数值所构成的表格。真值表列写方法：每一个变量均有0、1两种取值，n个变量共有2i种不同的取值，将这2i种不同的取值按顺序（一般按二进制递增规律）排列起来，同时在相应位置上填入函数的值，便可得到逻辑函数的真值表。第五页，共十八页，2022年，8月28日表达式列写方法：取F=1的组合，输入变量值为1的表示成原变量，值为0的表示成反变量，然后将各变量相乘，最后将各乘积项相加，即得到函数的与或表达式。2、逻辑表达式逻辑表达式：是由逻辑变量和与、或、非3种运算符连接起来所构成的式子。第六页，共十八页，2022年，8月28日3、逻辑图逻辑图：是由表示逻辑运算的逻辑符号所构成的图形。ABC

&

&

&≥1F

1

1

1

&C

C

BB

A

A第七页，共十八页，2022年，8月28日ABCF

波形图：是由输入变量的所有可能取值组合的高、低电平及其对应的输出函数值的高、低电平所构成的图形。０００1００１００１０００１１１１０００１０１1１１０１１１１0第八页，共十八页，2022年，8月28日5、卡诺图

卡诺图：将逻辑函数真值表中的各行排列成矩阵形式，在矩阵的左方和上方按照格雷码的顺序写上输入变量的取值，在矩阵的各个小方格内填入输入变量各组取值所对应的输出函数值，这样构成的图形就是卡诺图。如函数：

000111100001011100ABC在变量A、B、C的取值分别为000、011、101、110所对应的小方格内填入1，其余小方格内填入0（也可以空着不填），便得到该函数的卡诺图。第九页，共十八页，2022年，8月28日异或函数：

01001110(a)卡诺图AB=1ABF(b)逻辑符号4变量函数：

00011110000100010110110100100100ABCD第十页，共十八页，2022年，8月28日逻辑函数的化简利用公式Ａ＋Ａ＝1，将两项合并为一项，并消去一个变量。BCCBCBBCCBBCAACBBCAABCY=+=+=++=++=)()(1ABCBCABCAABCCBAABCCABAABCY=+=+=++=++=)()(2

若两个乘积项中分别包含同一个因子的原变量和反变量，而其他因子都相同时，则这两项可以合并成一项，并消去互为反变量的因子。运用摩根定律运用分配律运用分配律逻辑函数化简的意义：逻辑表达式越简单，实现它的电路越简单，电路工作越稳定可靠。1、公式法第十一页，共十八页，2022年，8月28日BAFEBCDABAY=++=)(1BABCDBADABADBCDABADCDBAY+=+++=+++=+++=)()(2

如果乘积项是另外一个乘积项的因子，则这另外一个乘积项是多余的。运用摩根定律利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ，消去多余的项。利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ＋Ｂ，消去多余的变量。CABCABABCBAABCBCAABY+=+=++=++=)(DCBADBACBADBACBADBACCBADCBDCACBAY++=++=+++=+++=+++=)()(

如果一个乘积项的反是另一个乘积项的因子，则这个因子是多余的。第十二页，共十八页，2022年，8月28日利用公式Ａ＝Ａ（Ｂ＋Ｂ），为某一项配上其所缺的变量，以便用其它方法进行化简。CACBBABBCAACBCBACBABCACBACBACBBACCBACBAACBBABACBCBBAY++=+++++=+++++=+++++=+++=)()1()1()()(利用公式Ａ＋Ａ＝Ａ，为某项配上其所能合并的项。BCACABBCAABCCBAABCCABABCBCACBACABABCY++=+++++=+++=)()()(第十三页，共十八页，2022年，8月28日2、卡诺图法利用卡诺图化简逻辑函数可按以下步骤进行：（1）将逻辑函数正确地用卡诺图表示出来。（2）将取值为1的相邻小方格圈成矩形或方形。相邻小方格包括最上行与最下行同列两端的两个小方格，以及最左列与最右列同行两端的两个小方格。所圈取值为1的相邻小方格的个数应为2n（、1、2、3、……），即1、2、4、8、……，不允许3、6、10等。（3）圈的个数应最少，圈内小方格个数应尽可能多。每圈一个新的圈时，必须包含至少一个在已圈过的圈中没有出现过的小方格，否则重复而得不到最简单的表达式。每—个取值为1的小方格可被圈多次，但不能漏掉任何一个小方格。（4）将各个圈进行合并。含2个小方格的圈可合并为一项，并消去1个变量；含4个小方格的圈可合并为一项，并消去2个变量；以此类推，含2n个小方格的圈可合并为一项，并消去n个变量。若圈内只含一个小方格，则不能化简。最后将合并的结果相加，即为所求的最简与或表达式。第十四页，共十八页，2022年，8月28日例将下示函数用卡诺图表示并化简。

000111100001010111ABCACCBAABC=+ABCABABC=+BCBCAABC=+ACBCABF++=（1）画卡诺图（2）画圈合并（3）相加第十五页，共十八页，2022年，8月28日例用卡诺图化简函数：

00011110001011010011111111101011ABCDCABＢＤDBABCF++=第十六页，共十八页，2022年，8月28日例用卡诺图化简函数：

00011110000011010