2022年高三数学文联考试卷含解析

2022年高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列复数是纯虚数的是A．

B．

C．

D．参考答案：C2.设点是平面区域内的任意一点，则的最小值为

（

）（A）

（B）1

（Ｃ）

（D）5参考答案：B3.（5分）已知双曲线方程为=1，过其右焦点F的直线（斜率存在）交双曲线于P、Q两点，PQ的垂直平分线交x轴于点M，则的值为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题．【分析】：依题意，不妨设过其右焦点F的直线的斜率为1，利用双曲线的第二定义可求得可求得|PQ|，继而可求得PQ的垂直平分线方程，令x=0可求得点M的横坐标，从而使问题解决．【解答】：解：∵双曲线的方程为﹣=1，∴其右焦点F（5，0），不妨设过其右焦点F的直线的斜率为1，依题意，直线PQ的方程为：y=x﹣5．由得：7x2+90x﹣369=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1，x2为方程7x2+90x﹣369=0的两根，∴x1+x2=﹣，y1+y2=（x1﹣5）+（x2﹣5）=x1+x2﹣10=﹣，∴线段PQ的中点N（﹣，﹣），∴PQ的垂直平分线方程为y+=﹣（x+），令y=0得：x=﹣．又右焦点F（5，0），∴|MF|=5+=．①设点P在其准线上的射影为P′，点Q在其准线上的射影为Q′，∵双曲线的一条渐近线为y=x，其斜率k=，直线PQ的方程为：y=x﹣5，其斜率k′=1，∵k′＜k，∴直线PQ与双曲线的两个交点一个在左支上，另一个在右支上，不妨设点P在左支，点Q在右支，则由双曲线的第二定义得：==e==，∴|PF|=x1﹣×=x1﹣3，同理可得|QF|=3﹣x2；∴|PQ|=|QF|﹣|PF|=3﹣x2﹣（x1﹣3）=6﹣（x1+x2）=6﹣×（﹣）=．②∴==．故选B．【点评】：本题考查双曲线的第二定义的应用，考查直线与圆锥曲线的相交问题，考查韦达定理的应用与直线方程的求法，综合性强，难度大，属于难题．4.设是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的

（

）A．外心

B.内心

C.重心

D.垂心

参考答案：C略5.平面向量与的夹角为60°，则（A）

（B）

（C）4

（D）12参考答案：B6.设函数，则()（A）在单调递增，其图象关于直线对称（B）在单调递增，其图象关于直线对称（C）在单调递减，其图象关于直线对称（D）在单调递减，其图象关于直线对称参考答案：D7.复数（i是虚数单位）等于

（

）

A．4+3i

B．4－3i

C．－4+3i

D．－4－3i参考答案：D8.已知函数若关于的方程有实数解，求实数的取值范围是（

）A

B

C

D参考答案：A略9.函数的单调递增区间为

（▲

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B10.定义在R上的函数的单调增区间为（-1，1），若方程恰有4个不同的实根，则实数a的值为．A．

B．

C．1

D．－1参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.的最大值为

.参考答案：12.（文科）若，则的值为

；参考答案：13.平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的表面积_____.参考答案：【分析】根据BD⊥CD，BA⊥AC，BC的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的表面积.【详解】因为平面A′BD⊥平面BCD，BD⊥CD，所以CD⊥平面ABD，∴CD⊥BA，又BA⊥AD，∴BA⊥面ADC，所以BA⊥AC，所以△BCD和△ABC都是直角三角形，由题意，四面体A﹣BCD顶点在同一个球面上，所以BC的中点就是球心，所以BC，球的半径为：所以球的表面积为：3π.故答案为：.【点睛】本题主要考查面面垂直的性质定理和球的外接问题，还考查空间想象和运算求解的能力，属于中档题.14.已知，则=

。参考答案：415.《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（

）A. B.C. D.参考答案：D令，可得圆的半径，又，则，再根据题图知，即．故本题答案选D．16.设，若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围是

．参考答案：17.若函数是周期为4的奇函数，且在上的解析式为，则．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数,若,且的图象在点处的切线方程为.

(Ⅰ)求实数的值；

(Ⅱ)求函数的单调区间.参考答案：解析：(Ⅰ)∵,∴

①∴,又的图象在点

处的切线方程为,即,

②

③

联立方程①②③,解得.

(Ⅱ).

令,得.递增极大递减极小递增

故的单调增区间为,,单调减区间为.19.（本小题满分10分）某中学有4位学生申请A，B，C三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．（1）求恰有2人申请A大学的概率；（2）求被申请大学的个数X的概率分布列与数学期望E(X)．参考答案：20.如图，直三棱柱ABC一A1B1C1中，AB＝，AC＝3，BC＝，D是ACl的中点，E.是侧棱BB1上的一个动点

(I）当E是BB1的中点时，证明:DE／／平面A1B1C1

（2）在棱BB1上是否存在点E使平面AC1E⊥平面AC1C？若存在，求出的值，若不存在，说明理由参考答案：（l）见解析；（2）见解析

【知识点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．G10G11解析：（1）证明：取A1C1中点F，连接DF，DE，B1F∵D是AC1的中点，E是BB1的中点．∴DF∥AA1，B1E∥AA1，DF=AA1，B1E=AA1，∴DF∥B1E，DF=B1E，所以DE∥B1F，DE=B1F…（2分）又B1F?平面A1B1C1，所以DE∥平面A1B1C1…（4分）（2）解：分别在两底面内作BO⊥AC于O，B1O1⊥A1C1于O1，连接OO1，则OO1∥AA1，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OO1为z轴建立直角坐标系，设AA1=t，BE=h，则λ=，A（0，﹣1，0），C1（0，，t），E（（1，0，h）．平面A1ACC1的法向量为=（1，0，0）…（7分）设平面AC1E的法向量为=（x，y，z）∵=（1，1，h），=（0，，h）∴由可得…（9分）取z=1得y=，x=∴…（11分）由题知，∴=0∴，∴λ==所以在BB1上存在点E，当时，二面角E﹣AC1﹣C是直二面角．…（12分）【思路点拨】（1）取A1C1中点F，连接DF，DE，B1F，利用三角形中位线的性质，可得线线平行，利用线面平行的判定，可得DE∥平面A1B1C1；（2）建立直角坐标系，求出平面A1ACC1的法向量、平面AC1E的法向量，利用数量积为0建立方程，即可求得结论．21.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点A（﹣，），离心率为，点F1，F2分别为其左右焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若y2=4x上存在两个点M，N，椭圆上有两个点P，Q满足，M，N，F2三点共线，P，Q，F2三点共线，且PQ⊥MN．求四边形PMQN面积的最小值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程及a，b，c的关系，解方程，即可得到椭圆方程；（2）讨论直线MN的斜率不存在，求得弦长，求得四边形的面积；当直线MN斜率存在时，设直线方程为：y=k（x﹣1）（k≠0）联立抛物线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及四边形的面积公式，计算即可得到最小值．【解答】解：（1）由题意得：，a2﹣b2=c2，得b=c，因为椭圆过点A（﹣，），则+=1，解得c=1，所以a2=2，所以椭圆C方程为．（2）当直线MN斜率不存在时，直线PQ的斜率为0，易得，．当直线MN斜率存在时，设直线方程为：y=k（x﹣1）（k≠0）与y2=4x联立得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，令M（x1，y1），N（x2，y2），则，x1x2=1，|MN|=?．即有，∵PQ⊥MN，∴直线PQ的方程为：y=﹣（x﹣1），将直线与椭圆联立得，（k2+2）x2﹣4x+2﹣2k2=0，令P（x3，y3），Q（x4，y4），x3+x4=，x3x4=，由弦长公式|PQ|=?，代入计算可得，∴四边形PMQN的面积S=|MN|?|PQ|=，令1+k2=t，（t＞1），上式=，所以．最小值为．22.四面体D﹣ABC，中，AB=BC，在侧面DAC中，中线AN⊥中线DM，且DB⊥AN．（1）求证：平面ACD⊥平面ABC；（2）若AN=4，DM=3，BD=5，求四面体D﹣ABC的体积．参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，得AN⊥平面BDM，所以AN⊥BM．而等腰△ABC中AC⊥BM，所以BM⊥平面ACD，最后根据面面垂直判定定理，得平面ABC⊥平面ACD；（2）根据四边形ADNM中，对角线AN、DM互相垂直，得出SADNM=S△CAD=6，得S△CAD=8．用勾股定理算出BM的长，最后根据BM⊥平面ACD，结合锥体体积公式，可算出四面体D﹣ABC的体积．【解答】解：（1）∵AN⊥DM，AN⊥DB且DB∩DM=D，∴AN⊥平面BDM，∵BM?平面BDM，∴AN⊥BM又∵△ABC中，AB=BC且M为AC中点，∴AC⊥BM∵AN、AC是平面ACN内的相交直线，∴BM⊥平面ACD，∵BM?平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD（2）连接MN，∵