2022年湖南省衡阳市 县大云中学高三数学理下学期期末试题含解析

2022年湖南省衡阳市县大云中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知等比数列,且则的值为(

)A．4

B．6

C．8

D．10参考答案：【知识点】等比数列的性质．A

解析：由题意知：a6（a2+2a6+a10）=a6a2+2a6a6+a10a6，∵a4+a8=﹣2，∴a6a2+2a6a6+a10a6=（a4+a8）2=4．故选A．【思路点拨】将式子“a6（a2+2a6+a10）”展开，由等比数列的性质：若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有aman=apaq可得，a6（a2+2a6+a10）=（a4+a8）2，将条件代入得到答案．2.已知f（x）是R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=，则函数y=f（x）+的所有零点之和是（）A．1﹣ B．﹣1 C．5﹣ D．﹣5参考答案：B【考点】分段函数的应用．【分析】根据分段函数和奇函数的性质分别求出每段上的零点，再求其和即可．【解答】解：当x≥1时，则1﹣|x﹣3|+=0，解得x=，或x=，当0≤x＜1时，则log（x+1）+=0，解得x=﹣1，∵f（x）为奇函数，∴当﹣1＜x＜0时，f（x）=﹣log（﹣x+1），则﹣log（﹣x+1）+=0，解得x=1﹣（舍去），当x≤﹣1时，f（x）=﹣1+|x+3|，则﹣1+|x+3|+=0，解得x=﹣或x=﹣，故所有的零点之和为++﹣1﹣﹣=﹣1，故选：B3.已知平行，则实数的值为A． B． C． D．参考答案：C，，依题意得，即，所以，选C．4.已知集合A={x|（x﹣2）（x+6）＞0}，B={x|﹣3＜x＜4}，则A∩B等于（）A．（﹣3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（2，4） D．（﹣2，4）参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】求出关于A的解集，从而求出A与B的交集．【解答】解：∵A={x|（x﹣2）（x+6）＞0}={x|x＜﹣6或x＞2}，B={x|﹣3＜x＜4}，∴A∩B={x|2＜x＜4}，故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．5.已知的面积为2，在所在的平面内有两点、，满足,,则的面积为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C6.运行如图所示框图的相应程序，若输入a，b的值分别为和，则输出M的值是（

）A.0

B.1

C.2

D.-1参考答案：C7.设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则参考答案：A略8.如图，一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积为A．

B．

C．

D．参考答案：C【知识点】几何体的三视图，几何体的结构.G1

G2解析：由三视图可知此四棱锥是底面边长，一条侧棱与底面垂直，其长2，与这条棱相对的另一条棱的长为，剩余两条侧棱长为，可求得这个四棱锥的侧面积为，故选C.【思路点拨】由三视图得此几何体的结购及各棱长，从而求得此几何体的侧面积.

9.已知－1，a，b，－4成等差数列，－1，c，d,e，－4成等比数列，则＝

（）

A．

B．－

C．

D．或－参考答案：C略10.设函数若f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=0，则关于x的不等式f（x）≤1的解集为（） A．（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，+∞） B． [﹣3，﹣1] C．[﹣3，﹣1]∪（0，+∞） D．[﹣3，+∞）参考答案：考点： 二次函数的性质；一元二次不等式的解法．专题： 计算题．分析： 利用f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=0，建立方程组，解得b=c=4，由此能求出关于x的不等式f（x）≤1的解集．解答： 解：∵函数，f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=0，∴，解得b=c=4，∴，∴当x＞0时，f（x）=﹣2≤1；当x≤0时，由f（x）=x2+4x+4≤1，解得﹣3≤x≤﹣1．综上所述，x的不等式f（x）≤1的解集为{x|x＞0，或﹣3≤x≤﹣1}．故选C．点评： 本题考查二次函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意一元二次不等式的性质和应用．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.命题“?x∈R，x2﹣2x+1＜0”的否定是

．参考答案：?x∈R，x2﹣2x+1≥0【考点】命题的否定．【专题】阅读型．【分析】根据命题“?x∈R，x2﹣2x+1＜0”是特称命题，其否定为全称命题，即?x∈R，x2﹣2x+1≥0．从而得到答案．【解答】解：∵命题“?x∈R，x2﹣2x+1＜0”是特称命题∴否定命题为：?x∈R，x2﹣2x+1≥0故答案为：?x∈R，x2﹣2x+1≥0．【点评】本题考查命题的否定，解题的关键是掌握并理解命题否定的书写方法规则，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，书写时注意量词的变化．12.已知锐角△ABC的面积为3，BC=4，CA=3，则角C的大小为

．参考答案：60°【考点】正弦定理．【分析】根据三角形的面积公式S=absinC，由锐角△ABC的面积为3，BC=4，CA=3，代入面积公式即可求出sinC的值，然后根据C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的大小．【解答】解：由题知，×4×3×sinC=3，∴sinC=．又∵0＜C＜90°，∴C=60°．故答案为60°．13.若不等式对任意的均成立，则实数的取值范围是_________.参考答案：略14.在极坐标系中，圆ρ=4cosθ的圆心到直线ρsin（θ+）=2的距离为

．参考答案：考点：简单曲线的极坐标方程；点到直线的距离公式．专题：计算题．分析：先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，将极坐标方程为ρ=4cosθ和化成直角坐标方程，最后利用直角坐标方程的形式，结合点到直线的距离公式求解即得．解答： 解：由ρ=4cosθ，化为直角坐标方程为x2+y2﹣4x=0，其圆心是A（2，0），由得：，化为直角坐标方程为x+y﹣4=0，由点到直线的距离公式，得．故答案为：．点评：本小题主要考查圆和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距等基本方法，属于基础题．15.已知正数满足，则行列式的最小值为

．参考答案：316.设，若，则实数

．参考答案：

17.若抛物线上的点P到焦点的距离为8，到x轴的距离为6，则抛物线C的方程是_________.参考答案：【分析】根据抛物线的定义，可得结果.【详解】根据抛物线定义，，解得，故抛物线C的方程是.故答案为：【点睛】本题考查抛物线的定义，一般来讲，抛物线中焦点和准线伴随出现，属基础题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数（1）当时，求函数的极值；（2）若函数在[1，3]上是减函数，求实数a的取值范围．参考答案：（1）极小值是，没有极大值（2）【分析】（1）对函数求导，让导函数等于零，求出零点，然后列表，求出函数的极值。（2）函数在[1，3]上是减函数，则在[1，3]上恒成立，转化为的不等式，构造新的函数，利用新函数的单调性，求出在[1，3]上的最值，就可求出实数a的取值范围。【详解】（1）

=函数定义域为

解得

列表—0+极小值

由表可知：在单调递减，在单调递增，极小值是=0，无极大值.（2）=.又函数在[1，3]上是减函数在[1，3]上恒成立，所以不等式在[1，3]上恒成立，设，[1，3]

在[1，3]上是减函数。要想不等式在[1，3]上恒成立，只需。【点睛】考查函数的极值，以及不等式的恒成立问题。本题是采用常变量分离的方法，通过构造新函数，利用新函数的单调性求出最值，然后求出参量的取值范围。19.微信是当前主要的社交应用之一，有着几亿用户，覆盖范围广，及时快捷。作为移动支付的重要形式，微信支付成为人们支付的重要方式和手段。某公司为了解人们对“微信支付”认可度，对[15,45]年龄段的人群随机抽取人进行了一次“你是否喜欢微信支付”的问卷调查，根据调查结果得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：组号分组喜欢微信支付的人数喜欢微信支付的人数占本组的频率第一组[15,20)1200.6第二组[20,25)195p第三组[25,30)a0.5第四组[30,35)600.4第五组[35,40)300.3第六组[40,45)150.3

（1）补全频率分布直方图，并求，，的值；（2）在第四、五、六组“喜欢微信支付”的人中，用分层抽样的方法抽取7人参加“微信支付日鼓励金”活动，求第四、五、六组应分别抽取的人数；（3）在（2）中抽取的7人中随机选派2人做采访嘉宾，求所选派的2人没有第四组人的概率.参考答案：（1）画图（见右图）

………………（2分）由频率表中第四组数据可知，第四组总人数为，再结合频率分布直方图

可知

………………（3分）所以

………………（4分）第二组的频率为，所以

………………（5分）（2）因为第四、五、六组“喜欢微信支付”的人数共有105人，由分层抽样原理可知，第四、五、六组分别取的人数为4人，2人，1人.

………………（7分）（3）设第四组4人为：，第五组2人为：，第六组1人为：.则从7人中随机抽取2名所有可能的结果为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21种；其中恰好没有第四组人的所有可能结果为：，共3种；所以所抽取的2人中恰好没有第四组人的概率为.

………………（12分）20.已知函数f（x）=（其中a≤2且a≠0），函数f（x）在点（1，f（1））处的切线过点（3，0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）与函数g（x）=a+2﹣x﹣的图象在（0，2]有且只有一个交点，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）利用导数的几何意义可得切线方程，对a分类讨论、利用导数研究函数的单调性即可；（2）等价方程在（0，2]只有一个根，即x2﹣（a+2）x+alnx+2a+2=0在（0，2]只有一个根，令h（x）=x2﹣（a+2）x+alnx+2a+2，等价函数h（x）在（0，2]与x轴只有唯一的交点．由，对a分类讨论、结合图象即可得出．【解答】解：（1），∴f（1）=b，=a﹣b，∴y﹣b=（a﹣b）（x﹣1），∵切线过点（3，0），∴b=2a，∴，①当a∈（0，2]时，单调递增，单调递减，②当a∈（﹣∞，0）时，单调递减，单调递增．（2）等价方程在（0，2]只有一个根，即x2﹣（a+2）x+alnx+2a+2=0在（0，2]只有一个根，令h（x）=x2﹣（a+2）x+alnx+2a+2，等价函数h（x）在（0，2]与x轴只有唯一的交点，∴①当a＜0时，h（x）在x∈（0，1）递减，x∈（1，2]的递增，当x→0时，h（x）→+∞，要函数h（x）在（0，2]与x轴只有唯一的交点，∴h（1）=0或h（2）＜0，∴a=﹣1或．②当a∈（0，2）时，h（x）在递增，的递减，x∈（1，2]递增，∵，当x→0时，h（x）→﹣∞，∵h（e﹣4）=e﹣8﹣e﹣4﹣2＜0，∴h（x）在与x轴只有唯一的交点，③当a=2，h（x）在x∈（0，2]的递增，∵h（e﹣4）=e﹣8﹣e﹣4﹣2＜0，或f（2）=2+ln2＞0，∴h（x）在x∈（0，2]与x轴只有唯一的交点，故a的取值范围是a=﹣1或或0＜a≤2．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、导数的几何意义，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.已知函数f（x）=x2﹣2x+alnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＞0时，若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），不等式f（x1）≥mx2恒成立，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求当a=2时，函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；（Ⅱ）函数f（x）在（0，+∞）上有两个极值点，可得0＜a＜，不等式f（x1）≥mx2恒成立即为≥m，求得=1﹣x1++2x1lnx1，令h（x）=1﹣x++2xlnx（0＜x＜），求出导数，判断单调性，即可得到h（x）的范围，即可求得m的范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x2﹣2x+2lnx；则f（1）=﹣1，f'（1）=2所以切线方程为y+1=2（x﹣1），即为y=2x﹣3．（Ⅱ）令，则2x2﹣2x+a=0当△=4﹣8a≤0，时，f'（