选择进修21第三章空间向量与立体几何备课教案

选择深造2-1第三章空间向量与立体几何备课授课设计选择深造2-1第三章空间向量与立体几何备课授课设计选择深造2-1第三章空间向量与立体几何备课授课设计_第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算（一）授课目标：㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的见解，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．㈢德育目标：学会用发展的目光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的见解对待事物．授课要点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．授课难点：应用向量解决立体几何问题．授课方法：讨论式．授课过程：.复习引入［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB．［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下能够将向量进行平移，由此我们能够得出向量相等的见解，请同学们回想一下．_［生］长度相等且方向同样的向量叫相等向量.［师］学习了向量的有关见解此后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：⒈向量的加法：⒉向量的减法：⒊实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定以下：(1)|λa|＝|λ||a|(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa＝0.［师］对于向量的以上几种运算，请同学们回想一下，有哪些运算律呢？［生］向量加法和数乘向量知足以下运算律加法互换律：a＋b＝b＋a加法联合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）_数乘分派律：λ(a＋b)＝λa＋λb［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的见解、表示方法、同样或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P26～P27．Ⅱ.新课解说［师］忧如平面向量的见解，我们把空间中拥有大小和方向的量叫做向量．比方空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？［生］与平面向量同样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同向来量或相等的向量．［师］由以上知识可知，向量在空间中是能够平移的．空间随意两个向量都能够用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间随意两个向量是共面的．［师］空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？［生］空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算同样：OBOAAB=a+b，ABOBOA（指向被减向量），OPλa(R)［师］空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家考证这些运算律．［生］空间向量加法与数乘向量有以下运算律：⑴加法互换律：a+b=b+a；⑵加法联合律：(a+b)+c=a+(b+c)；（课件考证）⑶数乘分派律：λ(a+b)=λa+λb．_［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点：⑴首尾相接的若干向量之和，等于由初步向量的起点指向尾端向量的终点的向量．即：A1A2A2A3A3A4An1AnA1An因此，求空间若干向量之和时，可经过平移使它们转变为首尾相接的向量．⑵首尾相接的若干向量若组成一个关闭图形，则它们的和为零向量．即：A1A2A2A3A3A4An1AnAnA10．⑶两个向量相加的平行四边形法例在空间仍旧成立．因此，求始点同样的两个向量之和时，能够考虑用平行四边形法例．例１已知平行六面体ABCDA'B'C'D'（如图），化简以下向量表达式，并标出化简结果的向量：⑴ABBC；⑵ABADAA'；⑶ABAD1CC'2⑷1(ABAD')．3AA说明：平行四边形ABCD平移向量a到A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记作ABCD—A’B’C’D’．平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱．解：（见课本P27）说明：由第2小题可知，始点同样且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法例向空间的实行．Ⅲ.坚固练习课本P92练习_Ⅳ.授课反省平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿同样的方向搬动同样的长度”，空间的平移包含平面的平移．对于向量算式的化简，要注意解题格式、步骤和方法．Ⅴ.课后作业⒈课本P1061、2、⒉预习课本P92～P96，预习大纲：⑴怎样的向量叫做共线向量？⑵两个向量共线的充要条件是什么？⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式？⑸怎样的向量叫做共面向量？⑹向量p与不共线向量a、b共面的充要条件是什么？⑺空间一点P在平面MAB内的充要条件是什么？板书设计：§9.5空间向量及其运算（一）一、平面向量复习⒈定义及表示方法⒉加减与数乘运算⒊运算律

二、空间向量三、例1⒈定义及表示⒉加减与数乘向量小结⒊运算律授课后记：_空间向量及其运算（2）一、课题：空间向量及其运算（2）二、授课目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．三、授课重、难点：共线、共面定理及其应用．四、授课过程：（一）复习：空间向量的见解及表示；（二）新课解说：．共线（平行）向量：若是表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。读作：a平行于b，记作：a//b．2．共线向量定理：对空间随意两个向量a,b(b0),a//b的充要条件是存在实数，使ab（唯一）．推论：若是l为经过已知点A，且平行于已知向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，知足等式OPOAtAB①，其中向量a叫做直线l的方向向量。在l上取ABa，则①式可化为OPOAtAB或OP(1t)OAltOBa②当t11时，点P是线段AB的中点，此时OP(OAOB)③22①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段AB的中点公式．

PBAO．向量与平面平行：已知平面和向量a，作OAa，若是直线OA平行于或在内，那么我们说向量a平行于平面，记作：a//．aa_平常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．说明：空间随意的两向量都是共面的．．共面向量定理：若是两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的充要条件是存在实数x,y使pxa

yb．推论：空间一点

P

位于平面

MAB

内的充分必要条件是存在有序实数对

x,y，使MP

xMA

yMB

或对空间任一点

O，有

OP

OM

xMA

yMB

①上面①式叫做平面MAB的向量表达式．（三）例题剖析：例1．已知

A,B,C

三点不共线，对平面外任一点，知足条件

OP

1OA5

2OB5

2OC，5试判断：点

P与

A,B,C

可否必然共面？解：由题意：

5OP

OA

2OB

2OC

，∴(OP

OA)

2(OB

OP)

2(OC

OP)，∴AP

2PB

2PC

，即

PA

2PB

2PC

，因此，点P与A,B,C共面．说明：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，第一要选择适合的充要条件形式，尔后比较形式将已知条件进行转变运算．【练习】：对空间任一点O和不共线的三点A,B,C，问知足向量式OPxOAyOBzOC（其中xyz1）的四点P,A,B,C可否共面？解：∵OP(1zy)OAyOBzOC，∴OPOAy(OBOA)z(OCOA)，∴APyABOzAC，∴点P与点A,B,C共面．DCABHG_例2．已知

ABCD，从平面

AC外一点

O引向量OE

kOAOF,

KOB,OGkOC,OH

kOD，（1）求证：四点

E,F,G,H共面；（2）平面

AC//平面

EG．解：（1）∵四边形

ABCD是平行四边形，∴

AC

AB

AD，∵EG

OG

OE，kOCkOAk(OBOAODEFEH

k(OCOA)

OA)OF

kACOE

k(ABOHOE

AD)∴E,F,G,H共面；（2）∵EF

OF

OE

k(OB

OA)

kAB，又∵EG

kAC，∴EF//AB,EG//AC因此，平面AC//平面EG．五、讲堂练习：课本第96页练习第1、2、3题．六、讲堂小结：1．共线向量定理和共面向量定理及其推论；．空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式．七、作业：1．已知两个非零向量e1,e2不共线，若是ABe1e2，AC2e18e2，AD3e13e2，求证：A,B,C,D共面．2．已知a3m2n4p,b(x1)m8n2yp，a0，若a//b，求实数x,y的值。3．如图，E,F,G,H分别为正方体AC1的棱_A1B1,A1D1,B1C1,D1C1的中点，求证：（1）E,F,D,B四点共面；（2）平面AEF//平面BDHG．4．已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD边AB,BC,CD,DA的中点，AD1HC1（1）用向量法证明：E,F,G,H四点共面；FGEHA1EB1（2）用向量法证明：BD//平面EFGH．BDDC

FGABC3.1.3．空间向量的数量积（1）授课目标：1．掌握空间向量夹角和模的见解及表示方法；2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。授课重、难点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转变。教具准备：与教材内容有关的资料。授课设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养谨慎的学习态度，培养积极进步的精神．授课过程学生研究过程：（一）复习：空间向量基本定理及其推论；（二）新课解说：．空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作OAa,OBb，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作a,b；且规定0a,b，显然有a,bb,a；若a,b，则称a与b互相垂直，记作：ab；2．向量的模：设OAa，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a|；．向量的数量积：_已知向量a,b，则|a||b|cosa,b叫做a,b的数量积，记作ab，即ab|a||b|cosa,b．eB已知向量ABa和轴l，e是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A，作点B在l上的射影B，则AB叫做AB向量AB在轴l上或在e上的正射影；能够证明AB的长度AC|AB||AB|cosa,e|ae|．．空间向量数量积的性质：（1）ae|a|cosa,e．（2）abab0．（3）|a|2aa．．空间向量数量积运算律：（1）(a)b(ab)a(b)．（2）abba（互换律）．（3）a(bc)abac（分派律）．（三）例题剖析：例1．用向量方法证明：直线和平面垂直的判判断理。已知：m,n是平面内的两条订交直线，直线l与平面的交点为B，且lm,ln求证：l．证明：在内作不与m,n重合的任素来线g，在l,m,n,g上取非零向量l,m,n,g，∵m,n订交，∴向量m,n不平行，由共面定理可知，存在唯一有序实数对(x,y)，使gxmyn，∴，又∵lm0,ln0，lgxlmyln∴lg0，∴lg，∴lg，

lmglnnmg因此，直线l垂直于平面内的随意一条直线，即得l．例2．已知空间四边形ABCD中，ABCD，ACBD，求证：ADBC．证明：（法一）ADBC(ABBD)(ACAB)ABACBDAC2ABABBDAB(ACABBD)ABDC0．（法二）采纳一组基底，设ABa,ACb,ADc，∵ABCDa(cb)0，即acba，，∴同理：abbc，，∴acbc，_c(ba)0，∴ADBC0，即ADBC．∴说明：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转变为向量表示，并用已知向量表示未知向量，尔后经过向量运算取计算或证明。例3．如图，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求OA与BC的夹角的余弦值。解：∵BCACAB，O∴OABCOAACOAAB|OA||AC|cosOA,AC|OA||AB|cosOA,AB84cos13586cos12024162ACOABC24162322，∴cosOA,BC|OA||BC|855B322．因此，OA与BC的夹角的余弦值为5说明：由图形知向量的夹角时易犯错，如切记！

OA,AC135易错写成OA,AC45，五．坚固练习：课本第99页练习第1、2、3题。六．授课反省：空间向量数量积的见解和性质。七．作业：课本第106页第3、4题补充：1．已知向量ab，向量c与a,b的夹角都是60，且|a|1,|b|2,|c|3，试求：（1）(ab)2；（2）(a2bc)2；（3）(3a2b)(b3c)．向量的数量积（2）一、授课目标：①向量的数量积运算②利用向量的数量积运算判断垂直、求模、求角二、授课要点：①向量的数量积运算②利用向量的数量积运算判断垂直、求模、求角三、授课方法：练习法，纠错法，概括法四、授课过程：考点一：向量的数量积运算_（一）、知识要点：1）定义：①设<a,b>=,则ab（的范围为）②设a(x1,y1)，b(x2,y2)则ab。注：①ab不能够写成ab，或ab②ab的结果为一个数值。2）投影：b在a方向上的投影为。3）向量数量积运算律：①abba②(a)b(ab)a(b)③(ab)cacbc注：①没有联合律(ab)ca(bc)二）例题讲练1、以下命题：①若ab0，则a，b中最少一个为0②若a0且abac，则bc③(ab)ca(bc)④(3a222b)(3a2b)9a4b中正确有个数为（）A.0个B.1个C.2个D.3个2、已知ABC中，A，B，C所对的边为a,b,c，且a=3,b=1,C=30°,则BCCA=。3、若a，b，c知足abc0，且a3,b1,c4，则abbcac=。4、已知ab2，且a与b的夹角为，则ab在a上的投影3为。考点二：向量数量积性质应用一）、知识要点：_①abab0（用于判断垂直问题）②a2a（用于求模运算问题）③cosab（用于求角运算问题）ab二）例题讲练1、已知a2，b3，且a与b的夹角为，c3a2b，dmab，求2当m为何值时cd2、已知a1，b1，3a2b3，则3ab。3、已知a和b是非零向量，且a=b=ab，求a与ab的夹角4、已知a4，b2，且a和b不共线，求使ab与ab的夹角是锐角时的取值范围坚固练习1、已知e1和e2是两个单位向量，夹角为，则（e1e2）(3e12e2)等于（）935A.-8C.D.8B.222、已知e1和e2是两个单位向量，夹角为，则下面向量中与2e2e1垂直的是3（）A.e1e2B.e1e2C.e1D.e23、在ABC中，设ABa，BCb，CAc，若a(ab)0，则ABC（）(A)直角三角形(B)锐角三角形(C)钝角三角形(D)无法判断4、已知a和b是非零向量，且a3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角。5、已知OA、OB、OC是非零的单位向量，且OA+OB+OC=0，求证：ABC为正三角形。_3.1.5空间向量运算的坐标表示课题向量的坐标1．理解空间向量与有序数组之间的1-1对应关系授课目标要求2．掌握投影定理、分向量及方向余弦的坐标表示1．投影与投影定理25分钟主要内容与时间分派2．分向量与向量的坐标30分钟3．模与方向余弦的坐标表示35分钟1．投影定理要点难点2．分向量3．方向余弦的坐标表示授课方法和手段启迪式授课法，使用电子授课设计一、向量在轴上的投影1．几个见解(1)轴上有向线段的值：设有一轴u，AB是轴u上的有向线段，若是数知足AB，且当AB与轴u同向时是正的，当AB与轴u反向时是负的，那么数叫做轴u上有向线段AB的值，记做AB，即AB。设e是与u轴同方向的单位向量，则ABe(2)设A、B、C是u轴上随意三点，无论三点的互相地点怎样，总有ACABBC(3)两向量夹角的见解：设有两个非零向量a和b，任取空间一点O，作OAa，OBb，规定不高出的AOB称为向量a和b的夹角，记为(a,b)(4)空间一点A在轴u上的投影：经过点A作轴u的垂直平面，该平面与轴u的交点A'叫做点A在轴u上的投影。_向量AB在轴u上的投影：设已知向量AB的起点A和终点B在轴u上的投影分别为点A'和B'，那么轴u上的有向线段的值A'B'叫做向量AB在轴u上的投影，记做PrjuAB。．投影定理性质1：向量在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：PrjuABABcos性质2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即Prju(a1a2)Prja1Prja2性质3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即Prju(a)Prja二、向量在坐标系上的分向量与向量的坐标1．向量在坐标系上的分向量与向量的坐标经过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间成立了一一对应关系，同样地，为了交流数与向量的研究，需要成立向量与有序数之间的对应关系。设a=M1M2是以M1(x1,y1,z1)为起点、M2(x2,y2,z2)为终点的向量，i、j、k分别表示图7－5沿x，y，z轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图7－5，并应用向量的加法例则知：M1M2(x2x1)i+(y2y1)j+(z2z1)k或a=axi+ayj+azk_上式称为向量a按基本单位向量的分解式。有序数组ax、ay、az与向量a一一对应，向量a在三条坐标轴上的投影ax、ay、az就叫做向量a的坐标，并记为＝{ax，ay，az}。上式叫做向量a的坐标表示式。于是，起点为M1(x1,y1,z1)终点为M2(x2,y2,z2)的向量能够表示为M1M2{x2x1,y2y1,z2z1}特别地，点M(x,y,z)对于原点O的向径OM{x,y,z}注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有实质差异。向量a在坐标轴上的投影是三个数ax、ay、az，向量a在坐标轴上的分向量是三个向量axi、ayj、azk.2．向量运算的坐标表示设a{ax,ay,az}，b{bx,by,bz}即aaxiayjazk，bbxibyjbzk则(1)加法：ab(axbx)i(ayby)j(azbz)k◆减法：ab(axbx)i(ayby)j(azbz)k◆乘数：a(ax)i(ay)j(az)k◆或ab{axbx,ayby,azbz}ab{axbx,ayby,azbz}a{ax,ay,az}◆平行：若a≠0时，向量b//a相当于ba，即_{bx,by,bz}{ax,ay,az}也相当于向量的对应坐标成比率即bxbybzaxayaz三、向量的模与方向余弦的坐标表示式设a{ax,ay,az}，能够用它与三个坐标轴的夹角、、（均大于等于0，小于等于）来表示它的方向，称、、为非零向量a的方向角，见图7－6，其余弦表示形式cos、cos、cos称为方向余弦。图7－61．模aax2ay2az22．方向余弦axM1M2cosacos由性质1知ayM1M2cosacos，当aax2ay2az20时，有azM1M2cosacoscosaxaxaax2ay2az2cosayayaax2ay2az2cosazazaax2ay2az2◆随意愿量的方向余弦有性质：cos2cos2cos21◆与非零向量a同方向的单位向量为：a0a1{ax,ay,az}{cos,cos,cos}aa_3．例子：已知两点M1(2,2,2)、M2(1,3,0)，计算向量M1M2的模、方向余弦、方向角以及与M1M2同向的单位向量。解：M1M2＝{1-2，3-2，0-2}={-1，1，-2}M1M2(1)212(2)221，cos1，cos2cos2222，3，433设a0为与M1M2同向的单位向量，由于a0{cos,cos,cos}即得a0{1,1,2}2223.2立体几何中的向量方法空间距离利用向量方法求解空间距离问题，能够回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转变为向量间的计算问题．例１如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．剖析：由题设可知CG、CB、CD两两互相垂直，能够由此成立空间直角坐标系．用向量法求解，就是求出过B且垂直于平面EFG的向量，它的长即为点B到平面EFG的距离．解：如图，设CD4i，CB4j，CG2k，以i、j、k为坐标向量成立空间直角坐标系C－xyz．由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．∴BE(2,0,0)，BF(4,2,0)，BG(0,4,2)，GE(2,4,2)，EF(2,2,0)．设BM平面EFG，M为垂足，则M、G、E、F四点共面，由共面向量定_理知，存在实数a、b、c，使得BMaBEbBFcBG(abc1)，∴BMa(2,0,0)b(4,2,0)c(0,4,2)＝(2a+4b,－2b－4c,2c)．由BM平面EFG，得BMGE，BMEF，于是BMGE0，BMEF0．(2a4b,2b4c,2c)(2,4,2)0∴(2a4b,2b4c,2c)(2,2,0)0abc1a15a5c0117．整理得：a3b2c0，解得babc1113c11BM＝(2a+4b,－2b－4c,2c)＝(2,2,6)．111111226211∴222|BM|11111111211故点B到平面EFG的距离为．说明：用向量法求点到平面的距离，经常不用作出垂线段，只需利用垂足在平面内、共面向量定理、两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就能够了．例2已知正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，求直线DA'与AC的距离．剖析：设异面直线DA'、AC的公垂线是直线l，则线段AA'在直线l上的射影就是两异面直线的公垂线段，因此本题能够利用向量的数量积的几何意义求解．解：如图，设B'A'i，B'C'j，B'Bk，以i、j、k为坐标向量成立空间直角坐标系B'－xyz，则有_A'(1,0,0)，D(1,1,1)，A(1,0,1)，C(0,1,1)．∴DA'(0,1,1)，AC(1,1,0)，A'A(0,0,1)．设n(x,y,z)是直线l方向上的单位向量，则x2y2z21．∵nDA'，nAC，yz03或x3．∴xy0，解得xyzyzx2y2z2133取n(3,3,3)，则向量A'A在直线l上的投影为333n·(333·3．3333由两个向量的数量积的几何意义知，直线DA'与AC的距离为3．3向量的内积与二面角的计算在《高等代数与剖析几何》课程第一章向量代数的授课中，讲到几何空间的内积时，有一个例题（见[1]，p53）要求证明以下的公式：coscoscossinsincos,(1)其中点O是二面角P-MN-Q的棱MN上的点，OA、OB分别在平面P和平面Q内。AON，BON，AOB。为二面角P-MN-Q（见图1）。zDPAaNMOybBQx_图1公式（1）能够利用向量的内积来加以证明：以Q为坐标平面，直线MN为y轴，如图1成立直角坐标系。记xOz平面与平面P的交线为射线OD，则ODMN，得AOD，DOx，DOz。22分别沿射线OA、OB的方向上作单位向量a，b，则a,b。由计算知a，b的坐标分别为(sincos,cos,sinsin)，(sin,cos,0)，于是，abs