北师大版数学选修4-5讲义第1章4第1课时　比较法证明不等式Word版含答案

§4不等式的证明第1课时比较法证明不等式学习目标：1.理解比较法证明不等式的理论依据．(重点)2.掌握用比较法证明不等式的一般方法及步骤．(重点)3.会用比较法证明简单的不等式．(难点)教材整理1求差比较法阅读教材P16“例1”以上部分，完成下列问题．1．理论依据(1)a>b⇔a－b>0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a<b⇔a－b<0.2．定义：要证明a>b，只要证明a－b>0即可．这种方法称为求差比较法．3．步骤(1)作差；(2)变形；(3)判断符号；(4)下结论．填空(填不等号)：(1)a∈R，a2＋b2________2ab.(2)a，b，m为正数，b<a，eq\f(b,a)________eq\f(b＋m,a＋m).(3)x2＋1________x.[解析](1)∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，故填≥.(2)∵a，b，m为正数，且a>b.∴eq\f(b,a)－eq\f(b＋m,a＋m)＝eq\f(ba＋m－ab＋m,aa＋m)＝eq\f(mb－a,aa＋m)<0，故填<.(3)x2＋1－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up7(2)＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)>0，故填>.[答案](1)≥(2)<(3)>教材整理2求商比较法阅读教材P16“例3”以上部分，完成下列问题．1．理论依据当b>0时，(1)a>b⇔eq\f(a,b)>1，(2)a<b⇔eq\f(a,b)<1，(3)a＝b⇔eq\f(a,b)＝1.2．定义：证明a>b(b>0)，只要证明eq\f(a,b)>1即可，这种方法称为求商比较法．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若eq\f(a,b)>1，则a>b. ()(2)求商比较法的关键是将商与1比较. ()(3)求商比较法适合于任何两数的比较大小. ()[解析](1)×若b>0时，eq\f(a,b)>1⇒a>b.若b<0时，eq\f(a,b)>1⇒a<b.(2)√关键是与1比较．(3)×求商比较法一般适合于两个同号数之间比较．[答案](1)×(2)√(3)×求差比较法证明不等式【例1】已知a，b∈R，求证：a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.[精彩点拨]此不等式作差后是含有两个字母的二次式，既可配成平方和的形式，也可根据二次三项式的判别式确定符号．[自主解答]法一：化成几个平方和．∵a2＋b2－ab－a－b＋1＝eq\f(1,2)[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]≥0，∴a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.法二：a2＋b2－ab－a－b＋1＝a2－(b＋1)a＋b2－b＋1.对于a的二次三项式，Δ＝(b＋1)2－4(b2－b＋1)＝－3(b－1)2≤0.∴a2－(b＋1)a＋b2－b＋1≥0，故a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.求差比较法证明不等式的技巧1．求差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑能否化简或值是多少．2．变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．3．因式分解是常用的变形手段，为了便于判断差式的符号，常将差式变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的差式是某字母的二次三项式时，常用判别式法判断符号．1．已知a>0，b>0，求证：eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b).[证明]∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(b))＋\f(b,\r(a))))－(eq\r(a)＋eq\r(b))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(b))－\r(b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,\r(a))－\r(a)))＝eq\f(a－b,\r(b))＋eq\f(b－a,\r(a))＝eq\f(a－b\r(a)－\r(b),\r(ab))＝eq\f(\r(a)＋\r(b)\r(a)－\r(b)2,\r(ab))≥0.∴原不等式成立．求商比较法证明不等式【例2】已知a，b均为正数，且(a－b)(m－n)>0.求证：ambn>anbm.[精彩点拨]根据条件和结论，可作商与1比较，其中要用到指数函数的性质，由题设知a－b与m－n同号，再作分类讨论．[自主解答]由a，b均为正数，易得anbm>0，ambn>0.eq\f(ambn,anbm)＝am-nbn-m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up7(m-n).由(a－b)(m－n)>0，得a－b与m－n同号且不等于零．(1)当a>b>0时，eq\f(a,b)>1，m－n>0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up7(m-n)>1，∴ambn>anbm.(2)当b>a>0时，0<eq\f(a,b)<1，m－n<0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up7(m-n)>1，∴ambn>anbm.综上，a，b均为正数，均有ambn>anbm.1．两端均出现4个字母a，b，m，n，变形为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up7(m-n)，将eq\f(a,b)与m－n视为两个整体，减少了字母讨论的个数．2．求商比较法证明的步骤是：“作商—变形—判断商与1的大小”．2．已知a>b>c>0，求证：a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b.[证明]由a>b>c>0，得ac+bbc+aca+b>0.不等式左右两边作商，得eq\f(a2a·b2b·c2c,ab+c·bc+a·ca+b)＝eq\f(aaaabbbbcccc,abacbcbacacb)＝aa-b·aa-c·bb-c·bb-a·cc-a·cc-b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up7(a-b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))eq\s\up7(a-c)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))eq\s\up7(b-c).∵a>b>0，∴eq\f(a,b)>1，a－b>0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))a-b>1.同理eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))b-c>1，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))a-c>1.∴eq\f(a2a·b2b·c2c,ab+c·bc+a·ca+b)>1.即a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b.比较法的应用[探究问题]1．求差比较法的主要适用类型是什么？实质是什么？[提示]求差比较法尤其适用于具有多项式结构特征的不等式的证明．实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系．2．求商比较法主要适用的类型是什么？[提示]主要适用于积(商)、幂(根式)、指数式形式的不等式证明．【例3】已知{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列．(1)求q的值；(2)设{bn}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由．[精彩点拨](1)由条件列方程求q值；(2)写出Sn与bn的表达式，采用作差法比较Sn与bn的大小．判断符号时注意n的取值．[自主解答](1)由题设知2a3＝a1＋a2，即2a1q2＝a1＋a1q.又a1≠0，∴2q2－q－1＝0，∴q＝1或－eq\f(1,2).(2)若q＝1，则Sn＝2n＋eq\f(nn－1,2)＝eq\f(n2＋3n,2)＝eq\f(nn＋3,2).当n≥2时，Sn－bn＝Sn－1＝eq\f(n－1n＋2,2)＞0，故Sn＞bn.若q＝－eq\f(1,2)，则Sn＝2n＋eq\f(nn－1,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝eq\f(－n2＋9n,4)＝eq\f(－n－9n,4).当n≥2时，Sn－bn＝Sn－1＝－eq\f(n－1n－10,4)，故对于n∈N＋，当2≤n≤9时，Sn＞bn；当n＝10时，Sn＝bn；当n≥11时，Sn＜bn.比较法是证明不等式的一个最基本、最常用的方法．当被证明的不等式两端是多项式、分式或对数式，一般使用求差比较法，当被证明的不等式(或变形后)的两端都是正数且为乘积形式或幂指数形式时，一般使用求商比较法．比较法应用各种比较大小的地方，如函数单调性的证明、数列、三角等方面都会涉及．3．在等比数列{an}和等差数列{bn}中，a1＝b1>0，a3＝b3>0，a1≠a3，试比较a5和b5的大小．[解]设等比数列{an}的公比为q，等差数列{bn}的公差为d，∴a3＝a1q2，b3＝b1＋2d.∵a1＝b1>0且a3＝b3，∴a1q2＝b1＋2d，∴2d＝a1q2－b1＝a1q2－a1＝a1(q2－1)．∵a1≠a3，∴q2≠1，而b5－a5＝a1＋4d－a1q4＝a1＋2a1(q2－1)－a1q4＝－a1q4＋2a1q2－a1＝－a1(q2－1)2.∵(q2－1)2>0，a1>0，∴a1(q2－1)2>0，∴－a1(q2－1)2<0，即b5<a5.1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列t与s的大小关系中正确的是()A．t>sB．t≥sC．t<sD．t≤s[解析]∵s－t＝(a＋b2＋1)－(a＋2b)＝(b－1)2≥0，∴s≥t.[答案]D2．已知等比数列{an}的各项均为正数，且公比q≠1，若P＝eq\f(a2＋a9,2)，Q＝eq\r(a4a7)，则P与Q的大小关系为()A．P＜QB．P＝QC．P＞QD．P≥Q[解析]∵{an}为等比数列且各项为正数，∴a2·a9＝a4·a7，又q≠1，∴a2≠a9，∴eq\f(a2＋a9,2)＞eq\r(a2a9)＝eq\r(a4a7)，即P＞Q，故选C.[答案]C3．设a，b，m均为正数，且eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)，则a与b的大小关系是__________．[解析]eq\f(b＋m,a＋m)－eq\f(b,a)＝eq\f(ma－b,aa＋m)>0，又a，b，m为正数．∴a(a＋m)>0，m>0，因此a－b>0，a>b.[答案]a>b4．已知0<a<eq\f(1,b)，且M＝eq\f(1,1＋a)＋eq\f(1,1＋b)，N＝eq\f(a,1＋a)＋eq\f(b,1＋b)，则M，N的大小关系是__________．[解析]由0<a<eq\f(1,b)，得0<ab<1,1－ab>0.故M－N＝eq\f(1,1＋a)＋eq\f(1,1＋b)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,1＋a)＋\f