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31三月20231第十三章非正弦周期电流电路和信号的频谱

§13―1非正弦周期信号

§13―2非正弦周期函数分解为傅里叶级数

§13―3有效值、平均值和平均功率

§13―4非正弦周期电流电路的计算*§13―5对称三相电路中的高次谐波*§13―6傅里叶级数的指数形式*§13―7傅里叶积分简介31三月20232第十三章非正弦周期电流电路和信号的频谱讲授的主要内容1.非正弦周期信号及其分解—复习傅里叶级数；2.非正弦周期信号的频谱、平均值、有效值、平均功率的概念和计算；3.非正弦周期信号稳态电路的分析法—谐波分析法；4.*对称三相电路的高次谐波。5.……31三月20233基本要求了解周期函数分解为傅里叶级数的方法和信号频谱的概念。理解周期量的有效值、平均值的概念，掌握周期量有效值的计算方法。掌握非正弦周期电流电路的谐波分析法和平均功率的计算，了解滤波器的概念。重点非正弦周期电流电路的电流、电压的有效值、平均值；非正弦周期电流电路的平均功率；非正弦周期电流电路的计算方法(叠加定理、戴维宁定理和诺顿定理)。31三月20234难点叠加定理在非正弦周期电流电路中的应用；非正弦周期电流电路功率的计算。本章与其它章节的联系本章主要讨论在非正弦周期电流、电压信号的作用下，线性电路的稳态分析和计算方法。非正弦周期信号可以分解为直流量和一系列不同频率正弦量之和，每一信号单独作用下的响应，与直流电路及交流电路的求解方法相同，再应用叠加定理求解，是前面内容的综合。31三月20235§13-1非正弦周期信号

实践中会碰到许多非正弦信号，原因有1.激励本身是非正弦信号；交流发电机的电压严格地说是非正弦量，在电子信息、通信工程、自动控制、计算机等技术领域中经常用到非正弦信号。2.电路中含有非线性元件

(如整流电路等)。

非正弦信号有周期性和非周期性之分。周期信号满足f(t)=f(t+kT)

当f(t)不是单一频率的正弦波时，它就是非正弦周期信号。31三月20236实践中常见的非正弦周期信号otuTotiT2T方波锯齿波iotT尖顶脉冲otuT全波整流数字电路、计算机的CP等通过显像管偏转线圈的扫描电流晶闸管的触发脉冲等桥式或全波整流电路的输出波形31三月20237实践中常见的非正弦周期信号（续）iotT尖顶波正弦电压在铁心线圈中产生的电流波形uotT三角波PWM调制器的时间基准信号波形uotT半波整流otuT阶梯波由数字电路或计算机产生的正弦信号半波31三月20238§13-2周期函数分解为傅里叶级数1.非正弦周期函数的分解根据高等数学知识：若非正弦周期信号

f(t)满足“狄里赫利条件”，就能展开成一个收敛的傅里叶级数。系数a0、

ak、

bk分别为：f(t)=

a0+∑[akcos(kw1t)+bksin(kw1t)]k=1∞a0=T1∫0Tf(t)dtak=T2∫0Tf(t)cos(kw1t)dtbk=T2∫0Tf(t)sin(kw1t)dt31三月20239根据给定f(t)的形式，积分区间也可以改为：积分区间也可以是[0～2p]或[-p～p]，例如：ak=p1∫f(t)cos(kw1t)d(w1t)-pp对a0、bk也作同样的处理。a0=T1∫0Tf(t)dtak=T2∫0Tf(t)cos(kw1t)dtbk=T2∫0Tf(t)sin(kw1t)dt-2T～2T02pak=p1∫f(t)cos(kw1t)d(w1t)31三月202310

展开式同时存在正弦项和余弦项，在进行不同信号的对比时不方便，而且数ak、bk的意义也不明确。将展开式合并成另一种形式—余弦级数：

令

ak=

Akmcosfk

bk=-Akmsinfk则f(t)=

A0+∑k=1∞Akmcos(kw1t+fk)式中：Akm=ak2+

bk2fk=arctgak

-bkf(t)=

a0+∑[akcos(kw1t)+bksin(kw1t)]k=1∞31三月202311①

A0

是f(t)的恒定分量，或称为直流分量。②k=1的项

Amcos(w1t+f1)

具有与f(t)相同的频率，称基波分量。基波占f(t)的主要成分，基本代表了f(t)的特征。③

k≥2的各项，分别称为二次，三次谐波等。或统称高次谐波。Akm=ak2+

bk2fk=arctgak

-bkf(t)=

A0+∑k=1∞Akmcos(kw1t+fk)31三月2023122.非正弦周期信号的频谱

f(t)中各次谐波的幅值和初相不同，对不同的f(t)，正弦波的频率成份也不一定相同。为形象地反映各次谐波的频率成份，以及各次谐波幅值和初相与频率的关系，引入振幅频谱和相位频谱的概念。振幅频谱：

f(t)展开式中Akm与w

(=kw1)的关系。反映了各频率成份的振幅所占的“比重”。因k是正整数，故频谱图是离散的，也称线频谱。相位频谱：指fk与w

的关系。f(t)=

A0+∑k=1∞Akmcos(kw1t+fk)31三月202313锯齿波的振幅频谱图今后若无说明，均指振幅频谱。iotI-IT/2-T/2TowIkm/2w12w13w14w15w1I/pI/2pI/3pI/4pi(t)=p2Icos(w1t-90o)+21cos(2w1t+90o)+31cos(3w1t-90o)+41cos(4w1t+90o)+锯齿波的傅里叶级数展开式为31三月2023143.波形特征及其与级数分解的关系(1)若f(t)为“镜”对称

满足

f(t)=-f(t±T/2)

则a2k=b2k=0

即展开式中①无直流分量；②不含偶次谐波。otf(t)T/2T移动半个周期，得另半个周期的镜像知A0是f(t)在一个周期内与横轴围成的面积。所以即使f(t)不是“镜”对称，只要它的正、负半周与横轴围成的面积相等，就有A0=0。另外，对某些f(t)，求A0时也可以不用积分。t1A由A0=T1∫0Tf(t)dt31三月202315(2)若f(t)是偶函数

即满足

f(t)=f(-t)

则bk=0。(3)若f(t)是奇函数即满足

f(-t)=-f(t)outT/2-T/2iotTT2-T2则ak=0，只求bk即可：A0=T2∫0f(t)dtT2ak

=T4∫0f(t)cos(kw1t)dtT2bk

=T4∫0f(t)sin(kw1t)dtT231三月202316(4)若f(t)为半波对称

即满足f(t)=f(t±T/2)

则a2k+1

=b2k+1

=0

展开式中不含奇次谐波。对某些f(t)，适当移动纵坐标(另选一个计时起点)，就变为偶函数或奇函数。

Akm与计时起点无关，由于ak、bk与计时起点有关，所以fk与计时起点有关。但各次谐波的相对位置不变。也可以先移坐标轴，待求得系数后，再找到原函数的系数。otuT/2-T/2TT是整流电源周期31三月202317例1解：f(t)是奇函数，

ak=0所以只需求bk即可。结果见教材P320。otf(t)T/2-T/2Em-EmTw1t2pp-p求右图方波的傅里叶级数展开式及频谱。=0k

为偶数kp4Emk

为奇数若将坐标右移T/4ot1f1(t1)Em-Emw1tT4-T4p-p则新旧函数的关系为：f(t)

=f1(t1)bk

=p2∫0Emsin(kw1t)d(w1t)p=2Emkp[1-cos(kp)]=f1t-4T31三月202318由对称性可知：A0=0，bk=0。ot1f1(t1)Em-Emw1tT4-T4p-pk为偶数，ak=

0。k为奇数，f1(t1)=或者：ak

=p2∫0Emcos(kw1t1)d(w1t1)p=p2∫0Emcos(kw1t1)d(w1t1)p2∫p

(-Em)cos(kw1t1)d(w1t1)p2+=kp

4Em

sin2kp

ak

=kp

4Em

(-1)2k-1p

4Em

cos(w1t1)-31cos(3w1t1)+51cos(5w1t1)+

…f1(t1)=p

4Em

Sk=1∞(-1)k-12k

-11cos[(2k-1)w1t1]31三月202319若需要写f(t)的展开式，f(t)4Emp4Em3p4Em5p4Em7powAkmw13w15w17w19w1频谱图=f1t-4Tf(t)=p

4Em

cos(w1t

-4w1T)-31cos(3w1t

-43w1T)+

…因w1T=2p

所以w1T/4

=p/2f(t)=p

4Em

sin(w1t)+31sin(3w1t)+51sin(5w1t)+…31三月202320理论上，一个收敛的傅里叶级数要取无穷多项，才能准确代表原函数。13次，≈1.05Em；35次，≈0.98Em。ow1tf(t)分析时还应考虑频率响应。如：在某个(些)频率下可能发生谐振等。取前3项的情况f(t)=p

4Em

sin(w1t)

+31sin(3w1t)

+51sin(5w1t)

+···实用中，根据展开式的收敛速度和误差要求取前几项，高次谐波可以忽略。方波的展开式收敛速度比较慢：在w1t=p/2时，取到11次谐波，f(p

/2)≈0.95Em

；31三月202321§13-3有效值、平均值和平均功率1.有效值当給出的电流(或电压)是波形或不是展开式时，用定义式直接计算。为了找出有效值与各次谐波的关系，将展开式代入定义式积分。I=T1∫0Ti2(t)dt回忆三角函数的性质：①sin、cos、sin2、cos2在一个周期内的积分为0；②正交性质(k≠q)T1∫02pcoskwtsinqwtd(wt)=0∫02pT1coskwtcosqwtd(wt)=0∫02pT1sinkwtsinqwtd(wt)=031三月202322设非正弦周期电流可以分解为傅里叶级数：i

=I0+Sk=1∞Ikm

cos(kw1t+fk)i2

=I02+2I0Sk=1∞Ikm

cos(kw1t+fk)+[k=1S∞Ikm

cos(kw1t+fk)]2

Sk=1∞Ikmcos2(kw1t+fk)

+2Sk=1∞2Ikmcos(kw1t+fk)

Iqmcos(qw1t+fq)

积分结果为零积分结果为零2cos2a=1+cos2a该项的积分结果为：Sk=1∞Ik

2第一项的积分结果为：T1∫0TI0

dt=I0

22该项可化为(k≠q)31三月202323非正弦周期电流的有效值与各分量的关系为对非正弦周期电压当給出的电流或电压是展开的级数形式时，可分别用以上两式计算。I0

+2Sk=1∞Ik

2I=周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的方根。此结论可以推广用于其他非正弦周期量。I02+I12+I22+I32+…=U0

+2Sk=1∞Uk

2U=31三月2023242.平均值对同一非正弦量进行测量时，不同类型的仪表有不同的结果：UavdefT1∫0T|i|dtUavot|i|T/2T直流仪表(磁电系仪表)表针的偏转角所以测量结果T1∫0Tidta∝是恒定分量A0。交流仪表(电磁系仪表)表针的偏转角所以测量结果T1∫0Ti2

dta∝是有效值。全波整流(磁电系)仪表表针的偏转角所以测量结果T1∫0T|i|

dta∝是平均值。31三月2023253.平均功率Uk

、Ik是第k次谐波的有效值。jk是第k次谐波电流与电压的相位差。任意一端口+-uiP=T1∫0TuidtP=U0I0+∑k=1∞Uk

Ikcosjk设i

=I0+Sk=1∞Ikm

cos(kw1t+fik)u

=U0+Sk=1∞Ukm

cos(kw1t+fuk)因电流与电压的参考方向关联，故一端口吸收的瞬时功率为p=ui。所以平均功率为积分结果为31三月202326§13-4非正弦电流电路的计算①分解；②计算；③叠加。把给定电源的非正弦周期电流或电压作傅里叶级数分解。利用直流和正弦交流电路的计算方法，对直流和各次谐波激励分别计算其响应。将以上计算结果转换为瞬时值迭加。注意交流各次谐波电路计算可应用相量法，迭加时必须用瞬时值；L、C对直流分量、各次谐波分量的“态度”是不同的：XkL=kwLXkC=kwC131三月202327例2uS=[10+141.40cos(w1t)+47.13cos(3w1t)

+28.28

cos(5w1t)+20.20

cos(7w1t)

+15.71

cos(9w1t)+]V,试求i和P。k=

0，因C有隔直作用所以I0=

0，P0=

0k=

1，基波作用.Im(1)=3

-

j9.45141.40o解：分析步骤①分解；已是级数形式。②分别求各分量单独作用的结果；

注意感抗、容抗与频率的关系！

=14.2672.39oAP(1)=

I(1)2R=21Im(1)2R=

305.02WRC+-uSi3W-j9.45W31三月202328同理可求得：和P(5)、P(7)、P(9)。③用叠加原理，按时域形式叠加k=

3，XC(3)=31XC(1)=39.45=3.15W.Im(3)

=3

-

j3.1547.130o

=10.8346.4oAP(3)=

I(3)2R=21Im(3)2R=

175.93W.Im(5)

、.Im(7)

、.Im(9)i=14.26cos(w1t+72.39o)P=

P0+P(1)+P(3)+

+P(9)注意：同频率的电压电流构成有功功率。RC+-uSi3W-j9.45W72.39oA,.Im(1)

=14.26P(1)=305.02W+10.83cos(3w1t+46.4o)+

=669.8W31三月202329例3：已知L=0.1H，C3=1mF，电容C1中只有基波电流，电容C3中只有三次谐波电流，求C1、C2和各支路电流。给定LC2C1C3iSi1i2i3200W100W解：C1中只有基波电流，说明L和C2对三次谐波发生并联谐振。所以：C2=w2L1=910mFC3中只有三次谐波电流，说明L、C1、C2jwC11+j(wL-1/wC2)L/C2=0C1=980mFiS=5+20cos1000t+10cos3000tA对基波发生串联谐振。所以：31三月202330例3：求C1、C2和各支路电流。已知L=0.1H，C3=1mFLC2C1C3iSi1i2i3200W100WiS=5+20cos1000t+10cos3000tA直流作用时I1(0)=5A，I2(0)=I3(0)=0基波作用时串联谐振i2(1)=20cos1000tAi1(1)=i3(1)=0三次谐波作用时C1C3i1(3)i2(3)i3(3)200W100W并联谐振iS(3)=10cos3000t.I3m(3)

=100+200-j103/3100×10=9-j1030=2.2348oA.I1m(3)=.IS(3)-.I3m(3)=8.67-11oA31三月202331例3：求C1、C2和各支路电流。已知L=0.1H，C3=1mFLC2C1C3iSi1i2i3200W100WiS=5+20cos1000t+10cos3000tA直流作用时I1(0)=5A，I2(0)=I3(0)=0基波作用时i2(1)=20cos1000tAi1(1)=i3(1)=0三次谐波作用时的瞬时值i3(3)=2.23cos(3000t+48o)A

i1(3)=8.67cos(3000t-11o)A

按时域形式叠加：i1=5+8.67cos(3000t-11o)Ai2=20cos1000tAi3=2.23cos(3000t+48o)A

.I3m(3)

三次谐波作用时=2.2348oA.I1m(3)=8.67-11oA31三月202332*§13-5对称三相电路的高次谐波iowt三相发电机、变压器、电动机等都带有铁心，所以由它们组成的对称三相电路，其电压、电流都可能含有高次谐波分量。根据对称三相电源的概念，若A相电压uA=u(wt)则

uB=u(wt-120o)，由于三相发电机每相电压或电流总是奇函数，uC=u(wt+120o)uowt所以傅里叶级数展开式中不含偶次谐波。31三月202333以电压为例，若uA的展开式为：注意到三角函数的周期性，上述三相电压的展开式可以整理为uA=Um1cos(w1t+f1)+Um3cos(3w1t+f3)+Um5cos(5w1t+f5)+Um7cos(7w1t+f7)+则uB、uC分别为：uB=Um1cos(w1t-120o+f1)+Um3cos(3w1t-360o+f3)+Um5cos(5w1t-600o+f5)+Um7cos(7w1t-840o+f7)+uC=Um1cos(w1t+120o+f1)+Um3cos(3w1t+360o+f3)+Um5cos(5w1t+600o+f5)+Um7cos(7w1t+840o+f7)+31三月202334uA=Um1cos(w1t+f1)+Um3cos(3w1t+f3)+Um5cos(5w1t+f5)+Um7cos(7w1t+f7)

+uB=Um1cos(w1t-120o+f1)+Um3cos(3w1t+f3)

+Um5cos(5w1t+120o+f5)+Um7cos(7w1t-120o+f7)

+

uC=Um1cos(w1t+120o+f1)+Um3cos(3w1