导数练习题-含答案

导数练习题班级姓名一、选择题1．当自变量从x0变到x1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数()A．在区间[x0，x1]上的平均变化率B．在x0处的变化率C．在x1处的变化量D．在区间[x0，x1]上的导数2．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为()A．0.40B．0.41C．0.43 D．0.443．函数f(x)＝2x2－1在区间(1,1＋Δx)上的平均变化率eq\f(Δy,Δx)等于()A．4B．4＋2ΔxC．4＋2(Δx)2 D．4x4．如果质点M按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为()A．6B．18C．54 D．815．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝eq\f(3,2)处的瞬时变化率是()A．3B．－3C．2 D．－26．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线()A．不存在 B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直 D．与x轴相交但不垂直7．曲线y＝－eq\f(1,x)在点(1，－1)处的切线方程为()A．y＝x－2B．y＝xC．y＝x＋2 D．y＝－x－28．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则A处的切线斜率为()A．4B．16C．8 D．29．下列点中，在曲线y＝x2上，且在该点处的切线倾斜角为eq\f(π,4)的是()A．(0,0)B．(2,4)C．(eq\f(1,4)，eq\f(1,16)) D．(eq\f(1,2)，eq\f(1,4))10．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－111．已知f(x)＝x2，则f′(3)＝()A．0B．2xC．6 D．912．已知函数f(x)＝eq\f(1,x)，则f′(－3)＝()A．4B.eq\f(1,9)C．－eq\f(1,4) D．－eq\f(1,9)13．函数y＝eq\f(x2,x＋3)的导数是()A.eq\f(x2＋6x,?x＋3?2)B.eq\f(x2＋6x,x＋3)C.eq\f(－2x,?x＋3?2) D.eq\f(3x2＋6x,?x＋3?2)14．若函数f(x)＝eq\f(1,2)f′(－1)x2－2x＋3，则f′(－1)的值为()A．0B．－1C．1 D．215．命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的．则甲是乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4) D．(2，＋∞)17．函数y＝ax3－x在R上是减函数，则()A．a≥eq\f(1,3)B．a＝1C．a＝2 D．a≤018．函数y＝4x2＋eq\f(1,x)的单调递增区间是()A．(0，＋∞)B．(－∞，1)C．(eq\f(1,2)，＋∞) D．(1，＋∞)19．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取极值”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件20．设x0为可导函数f(x)的极值点，则下列说法正确的是()A．必有f′(x0)＝0B．f′(x0)不存在C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在D．f′(x0)存在但可能不为022．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a＝()A．2B．3C．4D．523．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个24．函数f(x)＝－eq\f(1,3)x3＋eq\f(1,2)x2＋2x取极小值时，x的值是()A．2 B．2，－1C．－1 D．－325．函数f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是()A．f(2)，f(3) B．f(3)，f(5)C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(3)26．f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是()A．－2B．0C．2 D．427．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为()A．－10 B．－71C．－15 D．－2228．(2010年高考山东卷)已知某生产厂家的年利润y(单元：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A．13万件B．11万件C．9万件 D．7万件29．一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒运动的距离为s＝eq\f(1,4)t4－eq\f(5,3)t3＋2t2，那么速度为零的时刻是()A．1秒末B．0秒C．4秒末 D．0,1,4秒末二、填空题1．设函数y＝f(x)＝ax2＋2x，若f′(1)＝4，则a＝________.2．若曲线y＝2x2－4x＋a与直线y＝1相切，则a＝________.3．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则eq\f(b,a)＝________.4．令f(x)＝x2·ex，则f′(x)等于________．5．函数y＝x2＋4x在x＝x0处的切线斜率为2，则x0＝________.6．若y＝10x，则y′|x＝1＝________.7．一物体的运动方程是s(t)＝eq\f(1,t)，当t＝3时的瞬时速度为________．8．设f(x)＝ax2－bsinx，且f′(0)＝1，f′(eq\f(π,3))＝eq\f(1,2)，则a＝________，b＝________.9．y＝x3－6x＋a的极大值为________．10．函数y＝xex的最小值为________．11．做一个容积为256dm3的方底无盖水箱，它的高为______dm时最省料．12．有一长为16m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.三、解答题1．求下列函数的导数：(1)y＝3x2＋xcosx；(2)y＝eq\f(x,1＋x)；(3)y＝lgx－ex.2．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10，求：(1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．3．求下列函数的单调区间：(1)y＝x－lnx；(2)y＝eq\f(1,2x).4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，当x＝－1时，取得极大值7；当x＝3时，取得极小值，求这个极小值及a、b、c的值．5．已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－4x＋4.(1)求函数的极值；(2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值．导数练习题答案班级姓名一、选择题1．当自变量从x0变到x1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数()A．在区间[x0，x1]上的平均变化率B．在x0处的变化率C．在x1处的变化量D．在区间[x0，x1]上的导数答案：A2．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为()A．0.40 B．0.41C．0.43 D．0.44解析：选B.Δy＝f(2.1)－f(2)＝2.12－22＝0.41.3．函数f(x)＝2x2－1在区间(1,1＋Δx)上的平均变化率eq\f(Δy,Δx)等于()A．4 B．4＋2ΔxC．4＋2(Δx)2 D．4x解析：选B.因为Δy＝[2(1＋Δx)2－1]－(2×12－1)＝4Δx＋2(Δx)2，所以eq\f(Δy,Δx)＝4＋2Δx，故选B.4．如果质点M按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为()A．6 B．18C．54 D．81解析：选B.eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(3?3＋Δt?2－3×32,Δt)，s′＝lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δt→0))(18＋3Δt)＝18，故选B.5．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝eq\f(3,2)处的瞬时变化率是()A．3 B．－3C．2 D．－2解析：选B.6．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线()A．不存在 B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直 D．与x轴相交但不垂直解析：选B.函数在某点处的导数为零，说明相应曲线在该点处的切线的斜率为零．7．曲线y＝－eq\f(1,x)在点(1，－1)处的切线方程为()A．y＝x－2 B．y＝xC．y＝x＋2 D．y＝－x－2解析：选A.f′(1)＝lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(－\f(1,1＋Δx)＋\f(1,1),Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(1,1＋Δx)＝1，则在(1，－1)处的切线方程为y＋1＝x－1，即y＝x－2.8．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则A处的切线斜率为()A．4 B．16C．8 D．2解析：选C.9．下列点中，在曲线y＝x2上，且在该点处的切线倾斜角为eq\f(π,4)的是()A．(0,0) B．(2,4)C．(eq\f(1,4)，eq\f(1,16)) D．(eq\f(1,2)，eq\f(1,4))故选D.10．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1解析：选A.11．已知f(x)＝x2，则f′(3)＝()A．0 B．2xC．6 D．9解析：选C.∵f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6.12．已知函数f(x)＝eq\f(1,x)，则f′(－3)＝()A．4 B.eq\f(1,9)C．－eq\f(1,4) D．－eq\f(1,9)解析：选D.∵f′(x)＝－eq\f(1,x2)，∴f′(－3)＝－eq\f(1,9).13．函数y＝eq\f(x2,x＋3)的导数是()A.eq\f(x2＋6x,?x＋3?2) B.eq\f(x2＋6x,x＋3)C.eq\f(－2x,?x＋3?2) D.eq\f(3x2＋6x,?x＋3?2)解析：选A14．若函数f(x)＝eq\f(1,2)f′(－1)x2－2x＋3，则f′(－1)的值为()A．0 B．－1C．1 D．2解析：选B.∵f(x)＝eq\f(1,2)f′(－1)x2－2x＋3，∴f′(x)＝f′(－1)x－2.∴f′(－1)＝f′(－1)×(－1)－2.∴f′(－1)＝－1.15．命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的．则甲是乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.f(x)＝x3在(－1,1)内是单调递增的，但f′(x)＝3x2≥0(－1<x<1)，故甲是乙的充分不必要条件，选A.16．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A．(－∞，2) B．(0,3)C．(1,4) D．(2，＋∞)解析：选D.f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2，故选D.17．函数y＝ax3－x在R上是减函数，则()A．a≥eq\f(1,3) B．a＝1C．a＝2 D．a≤0解析：选D.因为y′＝3ax2－1，函数y＝ax3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，所以y′＝3ax2－1≤0恒成立，即3ax2≤1恒成立．当x＝0时，3ax2≤1恒成立，此时a∈R；当x≠0时，若a≤eq\f(1,3x2)恒成立，则a≤0.综上可得a≤0.18．函数y＝4x2＋eq\f(1,x)的单调递增区间是()A．(0，＋∞) B．(－∞，1)C．(eq\f(1,2)，＋∞) D．(1，＋∞)解析：选C.∵y′＝8x－eq\f(1,x2)＝eq\f(8x3－1,x2)>0，∴x>eq\f(1,2).即函数的单调递增区间为(eq\f(1,2)，＋∞)．19．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取极值”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．故选B.20．设x0为可导函数f(x)的极值点，则下列说法正确的是()A．必有f′(x0)＝0B．f′(x0)不存在C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在D．f′(x0)存在但可能不为0答案：A22．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a＝()A．2 B．3C．4 D．5解析：选D.f′(x)＝3x2＋2ax＋3，∵f(x)在x＝－3处取得极值，∴f′(－3)＝0，即27－6a＋3＝0，∴a＝5.23．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：选A.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如题图所示，函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个．24．函数f(x)＝－eq\f(1,3)x3＋eq\f(1,2)x2＋2x取极小值时，x的值是()A．2 B．2，－1C．－1 D．－3解析：选C.f′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x－2)(x＋1)．∵在x＝－1的附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，如图所示：∴x＝－1时取极小值．25．函数f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是()A．f(2)，f(3) B．f(3)，f(5)C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(3)解析：选B.∵f′(x)＝－2x＋4，∴当x∈[3,5]时，f′(x)<0，故f(x)在[3,5]上单调递减，故f(x)的最大值和最小值分别是f(3)，f(5)．26．f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是()A．－2 B．0C．2 D．4解析：选C.f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0可得x＝0或x＝2(舍去)，当－1≤x<0时，f′(x)>0，当0<x≤1时，f′(x)<0.所以当x＝0时，f(x)取得最大值为2.27．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为()A．－10 B．－71C．－15 D．－22解析：选B.f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．由f′(x)＝0得x＝3，－1.又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71.28．(2010年高考山东卷)已知某生产厂家的年利润y(单元：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A．13万件 B．11万件C．9万件 D．7万件解析：选C29．一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒运动的距离为s＝eq\f(1,4)t4－eq\f(5,3)t3＋2t2，那么速度为零的时刻是()A．1秒末 B．0秒C．4秒末 D．0,1,4秒末解析：选D.∵s′＝t3－5t2＋4t，令s′＝0，得t1＝0，t2＝1，t3＝4，此时的函数值最大，故选D.二、填空题1．设函数y＝f(x)＝ax2＋2x，若f′(1)＝4，则a＝________.答案：1 2．若曲线y＝2x2－4x＋a与直线y＝1相切，则a＝________.答案：33．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则eq\f(b,a)＝________.答案：24．令f(x)＝x2·ex，则f′(x)等于________．解析：f′(x)＝(x2)′·ex＋x2·(ex)′＝2x·ex＋x2·ex＝ex(2x＋x2)．答案：ex(2x＋x2)5．函数y＝x2＋4x在x＝x0处的切线斜率为2，则x0＝________.解析：2＝lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(?x0＋Δx?2＋4?x0＋Δx?－x\o\al(2,0)－4x0,Δx)＝2x0＋4，∴x0＝－1.答案：－16．若y＝10x，则y′|x＝1＝________.解析：∵y′＝10xln10，∴y′|x＝1＝10ln10.答案：10ln107．一物体的运动方程是s(t)＝eq\f(1,t)，当t＝3时的瞬时速度为________．解析：∵s′(t)＝－eq\f(1,t2)，∴s′(3)＝－eq\f(1,32)＝－eq\f(1,9).答案：－eq\f(1,9)8．设f(x)＝ax2－bsinx，且f′(0)＝1，f′(eq\f(π,3))＝eq\f(1,2)，则a＝________，b＝________.解析：∵f′(x)＝2ax－bcosx，f′(0)＝－b＝1得b＝－1，f′(eq\f(π,3))＝eq\f(2,3)πa＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，得a＝0.答案：0－19．y＝x3－6x＋a的极大值为________．解析：y′＝3x2－6＝0，得x＝±eq\r(2).当x<－eq\r(2)或x>eq\r(2)时，y′>0；当－eq\r(2)<x<eq\r(2)时，y′<0.∴函数在x＝－eq\r(2)时，取得极大值a＋4eq\r(2).答案：a＋4eq\r(2)10．函数y＝xex的最小值为________．解析：令y′＝(x＋1)ex＝0，得x＝－1.当x<－1时，y′<0；当x>－1时，y′>0.∴ymin＝f(－1)＝－eq\f(1,e).答案：－eq\f(1,e)11．做一个容积为256dm3的方底无盖水箱，它的高为______dm时最省料．解析：设底面边长为x，则高为h＝eq\f(256,x2)，其表面积为S＝x2＋4×eq\f(256,x2)×x＝x2＋eq\f(256×4,x)，S′＝2x－eq\f(256×4,x2)，令S′＝0，则x＝8，则高h＝eq\f(256,64)＝4(dm)．答案：412．有一长为16m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.解析：设矩形的长为xm，则宽为eq\f(16－2x,2)＝(8－x)m(0<x<8)，∴S(x)＝x(8－x)＝－x2＋8x∴S′(x)＝－2x＋8，令S′(x)＝0，则x＝4，又在(0,8)上只有一个极值点，且x∈(0,4)时，S(x)单调递增，x∈(4,8)时，S(x)单调递减，故S(x)max＝S(4)＝16.答案：16三、解答题1．求下列函数的导数：(1)y＝3x2＋xcosx；(2)y＝eq\f(x,1＋x)；(3)y＝lgx－ex.解：(1)y′＝6x＋cosx－xsinx.(2)y′＝eq\f(1＋x－x,?1＋x?2)＝eq\f(1,?1＋x?2).(3)y′＝(lgx)′－(ex)′＝eq\f(1,xln10)－ex.2．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10，求：(1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．解：(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2＋4，,y＝x＋10，))得x2＋4＝10＋x，即x2－x－6＝0，∴x＝－2或x＝3.代入直线的方程得y＝8或13.∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)．(2)∵y＝x2＋4，∴y′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))