2023届湖南省醴陵两中学高一数学第二学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数，，的零点分别为a，b，c，则（）A． B． C． D．2．已知M为z轴上一点，且点M到点与点的距离相等，则点M的坐标为（）A． B． C． D．3．若圆上有且仅有两个点到直线的距离等于，则的取值范围是（）A． B． C． D．4．如果点位于第四象限，则角是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角5．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把个面包分给个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（）A． B． C． D．6．已知函数，则不等式的解集是（）A． B． C． D．7．中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”.其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，则该人第五天走的路程为（）A．48里 B．24里 C．12里 D．6里8．的值等于（）A． B． C． D．9．设函数的图象为，则下列结论正确的是（）A．函数的最小正周期是B．图象关于直线对称C．图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到D．函数在区间上是增函数10．已知直线l的方程为2x+3y＝5，点P（a，b）在l上位于第一象限内的点，则的最小值为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在等比数列中，已知，则=________________.12．有下列四个说法：①已知向量，，若与的夹角为钝角，则；②先将函数的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩小为原来的后，再将所得函数图象整体向左平移个单位，可得函数的图象；③函数有三个零点；④函数在上单调递减，在上单调递增.其中正确的是__________.（填上所有正确说法的序号）13．若是三角形的内角，且，则等于_____________．14．省农科站要检测某品牌种子的发芽率，计划采用随机数表法从该品牌粒种子中抽取粒进行检测，现将这粒种子编号如下，，，，若从随机数表第行第列的数开始向右读，则所抽取的第粒种子的编号是．（下表是随机数表第行至第行）84421753315724550688770474476721763350258392120676630163785916955567199810507175128673580744395238793321123429786456078252420744381551001342996602795415．英国物理学家和数学家艾萨克·牛顿（Isaacnewton，1643-1727年）曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型.现把一杯温水放在空气中冷却，假设这杯水从开始冷却，x分钟后物体的温度满足：（其中…为自然对数的底数）.则从开始冷却，经过5分钟时间这杯水的温度是________（单位：℃）.16．若直线l1：y＝kx+1与直线l2关于点（2，3）对称，则直线l2恒过定点_____，l1与l2的距离的最大值是_____.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数的图象关于直线对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.（1）求和的值；（2）当时，求函数的最大值和最小值；（3）设，若的任意一条对称轴与x轴的交点的横坐标不属于区间，求c的取值范围.18．在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，且，.（1）求数列和的通项公式；（2）令，设数列的前项和为，求（）的最大值与最小值.19．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠BAC=90°，AC=AB=AA1，E是BC的中点．（1）求证：AE⊥B1C；（2）求异面直线AE与A1C所成的角的大小；（3）若G为C1C中点，求二面角C-AG-E的正切值．20．在中，角的平分线交于点D，是面积的倍.（I）求的值；（II）若，，求的值.21．如图，直三棱柱中，，，，，为垂足.（1）求证：（2）求三棱锥的体积.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

，，分别为，，的根，作出，，的图象与直线，观察交点的横坐标的大小关系．【详解】由题意可得，，分别为，，的根，作出，，,的图象,与直线的交点的横坐标分别为，，，由图象可得，故选：．【点睛】本题主要考查了函数的零点，函数的图象，数形结合思想，属于中档题．2、C【解析】

根据题意先设，再根据空间两点间的距离公式，得到，再由点M到点与点的距离相等建立方程求解.【详解】设根据空间两点间的距离公式得因为点M到点与点的距离相等所以解得所以故选：C【点睛】本题主要考查了空间两点间的距离公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3、B【解析】

先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得到本题答案.【详解】由题意可得，圆心到直线的距离为，故由图可知，当时，圆上有且仅有一个点到直线的距离等于；当时，圆上有且仅有三个点到直线的距离等于；当则的取值范围为时，圆上有且仅有两个点到直线的距离等于.故选：B【点睛】本题主要考查直线与圆的综合问题，数学结合是解决本题的关键.4、C【解析】

由点位于第四象限列不等式，即可判断的正负，问题得解.【详解】因为点位于第四象限所以，所以所以角是第三象限角故选C【点睛】本题主要考查了点的坐标与点的位置的关系，还考查了等价转化思想及三角函数值的正负与角的终边的关系，属于基础题.5、A【解析】

设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为，可得，，求出，根据等差数列的通项公式，得到关于关系式，即可求出结论.【详解】设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为，依题意可得，，，，解得，.故选:A.【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列的前项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题.6、A【解析】

分别考虑即时；即时，原不等式的解集，最后求出并集。【详解】当即时，，则等价于，即，解得：，当即时，，则等价于，即，所以，综述所述，原不等式的解集为故答案选A【点睛】本题考查分段函数的应用，一元二次不等式的解集，属于基础题。7、C【解析】

根据等比数列前项和公式列方程，求得首项的值，进而求得的值.【详解】设第一天走，公比，所以，解得，所以.故选C.【点睛】本小题主要考查等比数列前项和的基本量计算，考查等比数列的通项公式，考查中国古典数学文化，属于基础题.8、C【解析】

根据特殊角的三角函数值，得到答案.【详解】.故选C项.【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，属于简单题.9、B【解析】

利用函数的周期判断A的正误；通过x=函数是否取得最值判断B的正误；利用函数的图象的平移判断C的正误,利用函数的单调区间判断D的正误．【详解】对于A，f（x）的最小正周期为π,判断A错误；对于B，当x=，函数f（x）=sin（2×+）=1，∴选项B正确；对于C，把的图象向左平移个单位，得到函数sin[2（x+）]=sin(2x+，∴选项C不正确．对于D，由，可得，k∈Z，所以在上不恒为增函数，∴选项D错误；故选B．【点睛】本题考查三角函数的基本性质的应用，函数的单调性、周期性及函数图象变换，属于基本知识的考查．10、C【解析】

由题意可得2a+3b＝5，a，b＞0，可得4a＝10﹣6b，（3b＜5），将所求式子化为b的关系式，由基本不等式可得所求最小值．【详解】直线l的方程为2x+3y＝5，点P（a，b）在l上位于第一象限内的点，可得2a+3b＝5，a，b＞0，可得4a＝10﹣6b，（3b＜5），则[（11﹣6b）+（9+6b）]（）（7），当且仅当时，即b，a，上式取得最小值，故选：C．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查变形能力和化简运算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】12、②③④【解析】

根据向量，函数零点，函数的导数，以及三角函数有关知识，对各个命题逐个判断即可．【详解】对①，若与的夹角为钝角，则且与不共线，即，解得且，所以①错误；对②，先将函数的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩小为原来的后，得函数的图象，再将图象整体向左平移个单位，可得函数的图象，②正确；对③，函数的零点个数，即解的个数，亦即函数与的图象的交点个数，作出两函数的图象，如图所示：由图可知，③正确；对④，，当时，，当时，，故函数在上单调递减，在上单调递增，④正确．故答案为：②③④．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及向量数量积，三角函数图像变换，函数零点个数的求法，以及函数单调性的判断等知识的应用，属于中档题．13、【解析】∵是三角形的内角，且，∴故答案为点睛：本题是一道易错题，在上，，分两种情况：若，则；若，则有两种情况锐角或钝角.14、1【解析】试题分析：依据随机数表，抽取的编号依次为785,567,199，1．第四粒编号为1．考点：随机数表．15、45【解析】

直接利用对数的运算性质计算即可,【详解】.故答案为：45.【点睛】本题考查对数的运算性质，考查计算能力，属于基础题.16、（4，5）4.【解析】

根据所过定点与所过定点关于对称可得，与的距离的最大值就是两定点之间的距离.【详解】∵直线：经过定点，又两直线关于点对称，则两直线经过的定点也关于点对称∴直线恒过定点，∴与的距离的最大值就是两定点之间的距离，即为.故答案为：，.【点睛】本题考查了过两条直线交点的直线系方程，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），（2）；.（3）【解析】

（1）由相邻最高点距离得周期，从而可得，由对称性可求得；（2）结合正弦函数性质可得最值．（3），先由半个周期大于得出的一个范围，在此范围内再寻找，求出对称轴，由对称轴且得的范围．【详解】（1）因为的图象上相邻两个最高点的距离为，所以的最小正周期，而，又因为的图象关于直线对称，所以，即，又，所以.综上，，.（2）由（1）知，当时，，所以，当即时，；当，即时，.（3），的任意一条对称轴与x轴的交点的横坐标都不属于区间，，即，令，得，且，得，当时，，当时，，当时，，故所求范围.【点睛】本题考查由三角函数性质求函数解析式，考查正弦函数的最值，考查函数的对称性．掌握正弦函数性质是解题关键．18、(1)，；(2)的最大值是，最小值是.【解析】试题分析：（1）由条件列关于公差与公比的方程组，解得，，再根据等差与等比数列通项公式求通项公式（2）化简可得，再根据等比数列求和公式得，结合函数单调性，可确定其最值试题解析：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则解得，，所以，.（2）由（1）得，故，当为奇数时，，随的增大而减小，所以；当为偶数时，，随的增大而增大，所以，令，，则，故在时是增函数.故当为奇数时，；当为偶数时，，综上所述，的最大值是，最小值是.19、（1）见解析；（2）；（3）【解析】

（1）由BB1⊥面ABC及线面垂直的性质可得AE⊥BB1，由AC=AB，E是BC的中点，及等腰三角形三线合一，可得AE⊥BC，结合线面垂直的判定定理可证得AE⊥面BB1C1C，进而由线面垂直的性质得到AE⊥B1C；（2）取B1C1的中点E1，连A1E1，E1C，根据异面直线夹角定义可得，∠E1A1C是异面直线A与A1C所成的角，设AC=AB=AA1=2，解三角形E1A1C可得答案．（3）连接AG，设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q，连EP，EQ，则EP⊥AC，由直三棱锥的侧面与底面垂直，结合面面垂直的性质定理，可得EP⊥平面ACC1A1，进而由二面角的定义可得∠PQE是二面角C-AG-E的平面角．【详解】证明：（1）因为BB1⊥面ABC，AE⊂面ABC，所以AE⊥BB1由AB=AC，E为BC的中点得到AE⊥BC∵BC∩BB1=B∴AE⊥面BB1C1C∴AE⊥B1C解：（2）取B1C1的中点E1，连A1E1，E1C，则AE∥A1E1，∴∠E1A1C是异面直线AE与A1C所成的角．设AC=AB=AA1=2，则由∠BAC=90°，可得A1E1=AE=，A1C=2，E1C1=EC=BC=∴E1C==∵在△E1A1C中，cos∠E1A1C==所以异面直线AE与A1C所成的角为．（3）连接AG，设P是AC的中点，过点P作PQ⊥