2023届湖北黄冈数学高一第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．不等式所表示的平面区域是()A． B．C． D．2．函数的图象如图所示，为了得到的图象，可将的图象（）A．向右平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向左平移个单位3．已知某圆柱的底面周长为12，高为2，矩形是该圆柱的轴截面，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（）A． B． C．3 D．24．已知两条直线m,n，两个平面α,β，给出下面四个命题：①m//n，m⊥α⇒n⊥α；②α//β，m⊂α，n⊂β⇒m//n；③m//n，m//α⇒n//α；④α//β，m//n，m⊥α⇒n⊥β其中正确命题的序号是（）A．①④B．②④C．①③D．②③5．等差数列{}中，＝2，＝7，则＝()A．10 B．20 C．16 D．126．在中任取一实数作为x，则使得不等式成立的概率为（）A． B． C． D．7．的值为（）A． B． C． D．8．在锐角中，若，则角的大小为（）A．30° B．45° C．60° D．75°9．不等式的解集为（）A． B．C． D．10．等差数列的前项和为.若,则（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为．12．若直线与圆相交于，两点，且（其中为原点），则的值为________．13．已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为________．14．无限循环小数化成最简分数为________15．设，数列满足，，将数列的前100项从大到小排列得到数列，若，则k的值为______；16．若关于的不等式有解，则实数的取值范围为________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图,在△ABC中,AB=8,AC=3,∠BAC=60°,以点A为圆心,r=2为半径作一个圆,设PQ为圆A的一条直径.(1)请用表示,用表示;(2)记∠BAP=θ,求的最大值.18．如图，在梯形中，，，，.（1）在中，求的长；（2）若的面积等于，求的长.19．在平面直角坐标中，圆与圆相交与两点．（I）求线段的长．（II）记圆与轴正半轴交于点，点在圆C上滑动，求面积最大时的直线的方程．20．若直线与轴，轴的交点分别为，圆以线段为直径.（Ⅰ）求圆的标准方程；（Ⅱ）若直线过点，与圆交于点，且，求直线的方程.21．如图，在三棱锥中，分别为棱上的中点.（1）求证：平面；（2）若平面，求证：平面平面.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

根据二元一次不等式组表示平面区域进行判断即可．【详解】不等式组等价为或则对应的平面区域为D，

故选：D．【点睛】本题主要考查二元一次不等式组表示平区域，比较基础．2、A【解析】

函数过代入解得，再通过平移得到的图像.【详解】，函数过向右平移个单位得到的图象故答案选A【点睛】本题考查了三角函数图形，求函数表达式，函数平移，意在考查学生对于三角函数图形的理解.3、A【解析】

由圆柱的侧面展开图是矩形，利用勾股定理求解．【详解】圆柱的侧面展开图如图，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为12，宽为2，则在此圆柱侧面上从到的最短路径为线段，.故选：A．【点睛】本题考查圆柱侧面展开图中的最短距离问题，是基础题．4、A【解析】依据线面垂直的判定定理可知命题①是正确的；对于命题②，直线m,n还有可能是异面，因此不正确；对于命题③，还有可能直线n⊂α，因此③命题不正确；依据线面垂直的判定定理可知命题④是正确的，故应选答案A.5、D【解析】

根据等差数列的性质可知第五项减去第三项等于公差的2倍，由=+5得到2d等于5，然后再根据等差数列的性质得到第七项等于第五项加上公差的2倍，把的值和2d的值代入即可求出的值,即可知=,故选D.6、C【解析】

先求解不等式,再利用长度型的几何概型概率公式求解即可【详解】由题,因为,解得,则,故选:C【点睛】本题考查长度型的几何概型,考查解对数不等式7、C【解析】试题分析：．考点：诱导公式.8、B【解析】

直接利用正弦定理计算得到答案.【详解】根据正弦定理得到：，故，是锐角三角形，故.故选：.【点睛】本题考查了正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.9、B【解析】

把不等式左边的二次三项式因式分解后求出二次不等式对应方程的两根，结合二次函数的图象可得二次不等式的解集．【详解】由,得(x−1)(x+3)>0，解得x<−3或x>1.所以原不等式的解为，故选：B.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，求出二次方程的根结合二次函数的图象可得解集，属于基础题.10、D【解析】

根据等差数列片段和成等差数列，可得到，代入求得结果.【详解】由等差数列性质知：，，，成等差数列，即：本题正确选项：【点睛】本题考查等差数列片段和性质的应用，关键是根据片段和成等差数列得到项之间的关系，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

由题意可得：该三棱锥的三条侧棱两两垂直，长都为，所以三棱锥的体积.考点：三棱锥的体积公式.12、【解析】

首先根据题意画出图形，再根据求出直线的倾斜角，求斜率即可.【详解】如图所示直线与圆恒过定点，不妨设，因为，所以，两种情况讨论，可得，.所以斜率.故答案为：【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，同时考查了数形结合的思想，属于简单题.13、【解析】

求出的垂直平分线方程，两垂直平分线交点为外接圆圆心．再由两点间距离公式计算．【详解】由点B(0，)，C(2，)，得线段BC的垂直平分线方程为x＝1，①由点A(1,0)，B(0，)，得线段AB的垂直平分线方程为②联立①②，解得△ABC外接圆的圆心坐标为，其到原点的距离为.故答案为：【点睛】本题考查三角形外接圆圆心坐标，外心是三角形三条边的中垂线的交点，到三顶点距离相等．14、【解析】

利用无穷等比数列求和的方法即可.【详解】.故答案为：【点睛】本题主要考查了无穷等比数列的求和问题,属于基础题型.15、【解析】

根据递推公式利用数学归纳法分析出与的关系，然后考虑将的前项按要求排列，再根据项的序号计算出满足的值即可.【详解】由已知，a1＝a，0＜a＜1；并且函数y＝ax单调递减；∵∴1>a2＞a1∴，∴a2＞a3＞a1∵，且∴a2＞a4＞a3＞a1……当为奇数时，用数学归纳法证明，当时，成立，设时，，当时，因为，结合的单调性，所以，所以即，所以时成立，所以为奇数时，；当为偶数时，用数学归纳法证明，当时，成立，设时，，当时，因为，结合的单调性，所以，所以即，所以时成立，所以为偶数时，；用数学归纳法证明：任意偶数项大于相邻的奇数项即证：当为奇数，，当时，符合，设时，，当时，因为，结合的单调性，所以，所以，所以，所以时成立，所以当为奇数时，，据此可知：，当时，若，则有，此时无解；当时，此时的下标成首项为公差为的等差数列，通项即为，若，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查数列与函数的综合应用，难度较难.(1)分析数列的单调性时，要注意到数列作为特殊的函数，其定义域为；(2)证明数列的单调性可从与的关系入手分析.16、【解析】

利用判别式可求实数的取值范围.【详解】不等式有解等价于有解，所以，故或，填.【点睛】本题考查一元二次不等式有解问题，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）22.【解析】

利用向量的三角形法则即可求得答案由，，可得，利用向量的数量积的坐标表示的表达式，利用三角函数知识可求最值【详解】(1)=-.(2)∵∠BAC=60°,设∠BAP=θ,∴∠CAP=60°+θ,∵AB=8,AC=3,AP=2,∴=()·(-)=8-6cos(θ+60°)+16cosθ=3sinθ+13cosθ+8=14sin(θ+φ)+8,.∴当sin(θ+φ)=1时,的最大值为22.【点睛】本题主要考查了三角函数与平面向量的综合，而辅助角公式是解决三角函数的最值的常用方法，体现了转化的思想在解题中的应用．18、（1）；（2）【解析】

（1）首先利用同角三角函数的基本关系求出，再利用正弦定理求解即可．（2）求出梯形的高，再利用三角形的面积求解即可．【详解】解：（1）在梯形中，，，，．可得，由正弦定理可得：．（2）过作，交的延长线于则即梯形的高为，因为的面积等于，，，，【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，属于中档题．19、（I）；（II）或．【解析】

（I）先求得相交弦所在的直线方程，再求得圆的圆心到相交弦所在直线的距离，然后利用直线和圆相交所得弦长公式，计算出弦长.（II）先求得当时，取得最大值，根据两直线垂直时斜率的关系，求得直线的方程，联立直线的方程和圆的方程，求得点的坐标，由此求得直线的斜率，进而求得直线的方程.【详解】（I）由圆O与圆C方程相减可知，相交弦PQ的方程为．点（0，0）到直线PQ的距离，（Ⅱ），.当时，取得最大值．此时，又则直线NC为．由，或当点时，，此时MN的方程为．当点时，，此时MN的方程为．∴MN的方程为或．【点睛】本小题主要考查圆与圆相交所得弦长的求法，考查三角形面积公式，考查直线与圆相交交点坐标的求法，考查直线方程的求法，考查两直线垂直时斜率的关系，综合性较强，属于中档题.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）或.【解析】

(1)本题首先根据直线方程确定、两点坐标，然后根据线段为直径确定圆心与半径，即可得出圆的标准方程；(2)首先可根据题意得出圆心到直线的距离为，然后根据直线的斜率是否存在分别设出直线方程，最后根据圆心到直线距离公式即可得出结果。【详解】(1)令方程中的，得，令，得.所以点的坐标分别为.所以圆的圆心是，半径是，所以圆的标准方程为.(2)因为，圆的半径为，所以圆心到直线的距离为.若直线的斜率不存在，直线的方程为，符合题意.若直线的斜率存在，设其直线方程为，即.圆的圆心到直线的距离，解得.则直线的方程为，即.综上，直线的方程为或.【点睛】本题考查圆的标准方程与几何性质，考查直线和圆的位置关系，当直线与圆相交时，半径、弦长的一半以及圆心到直线距离可构成直角三角形，考查计算