福建船政职院航海数学教案

授课教案第页课程：航海数学学年第_一_学期第周月日教学内容备注PAGE74PAGE第一章函数、极限与连续1.1函数概念一、新课引入函数是航海数学研究的主要对象，极限概念是微积分学的理论基础，本章将介绍函数、极限和函数连续性等基本概念，以及它们的一些性质，这些内容是学习本课程必须掌握好的基础知识.二、讲授新课1．基本初等函数我们把幂函数（为实数），指数函数且，对数函数且，三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.其中三角函数为六个函数：；；；；；.反三角函数为四个函数：；；；.（1）幂函数它的定义域和值域依的取值不同而函数在内总有定不同，但是无论取何值，幂函数在内总有定义.当或时，定义域为.常见的幂函数的图形如图1-1所示.图1-2图1-1图1-2图1-1（2）指数函数，它的定义域为，值域为.指数函数的图形如图1-2所示．（3）对数函数图1-3，图1-3定义域为，值域为.对数函数是指数函数的反函数.其图形见图1-3.在工程中，常以无理数e＝2.718281828…，作且记为指数函数和对数函数的底，记，，而后者称为自然对数函数.（4）三角函数三角函数有：正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数.其中正弦、余弦、正切和余切函数的图形见图1-4所示.图1-4图1-4图1-5（5）反三角函数图1-5反三角函数主要包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数和反余切函数等．它们的图形如图1-5所示.2．复合函数如果是的函数，是的函数，表示使得函数和都有定义的值的集合，当变量任取中的一个数时都有唯一确定的与之对应，我们则称是的复合函数，记作，其中称为自变量，称为中间变量．若复合函数是由多个函数复合而成，则中间变量可用变量，，，，等表示．注意：函数的值域应在函数的定义域内，否则就没有意义.例如和等是复合函数；而则没有意义.例1指出函数的复合过程．解复合过程为，u=sin(v)，v=2x+1．例2指出函数的复合过程．解复合过程为，，，．3．初等函数由基本初等函数和常数经过有限次的四则运算或经过有限次的复合步骤所构成的，并且可用一个解析式子表示的函数叫做初等函数．例如，，，，，等都是初等函数.不难发现，我们过去所见到的函数一般都是初等函数.4．分段函数有些函数虽然也可以用解析式表示，但不能用一个解析式表示，在定义域的不同范围具有不同的解析式，这样的函数称为分段函数.例如，，等都是分段函数.1.2函数极限1.当时的极限当时,函数的极限.考察函数的图形，容易发现不论都有.这样我们称该函数当时的极限为0（或收敛于0），记作=0或=0.一般的，当时，→A（常数），则称当时的极限为A，记为.否则，则称的极限不存在.当时的极限记为；当时的极限记为.极限存在的充分必要条件是和存在且相等.例1，，但，所以不存在.例2，.2.当时的极限例4考察当时，函数列表观察从左侧→←从右侧0.490.4990.49990.50.50010.5010.511.981.9981.999822.00022.0022.02从表中可以看出当（无论从左侧或从右侧趋于0.5）时，函数的值总是趋于2.这样我们则称当时，函数的极限为2，记为.一般的，当时，A（常数），则称当时的极限为A，记为.若是从左侧趋于（记为）时的极限为A，则称当时的左极限为A，记为；若是从右侧趋于（记为）时的极限为A，则称当时的右极限为A，记为.极限存在的充分必要条件是和存在且相等.要清楚地认识例3观察说明.到何时用左右极注意到函数在点处没意义，而当时，函数的值的变化趋势却是2.限，何时不要用.这说明当时，函数的极限与函数在处有没有定义无关；反之，有定义也未必有极限.又如在有定义，但由于，，即左右极限不相等，所以当时的极限不存在.判断分段函数在其定义域交界点处的极限是否存在时，需要考察其左右极限的情况.例4函数，判别函数当，，时极限的存在性，若存在则求之.解（1）由于，，所以不存在；（2）由于，，所以；（3）.课堂小结1.应该熟记六种基本初等函数的性态，同时学习了复合函数与初等函数的概念，在微积分运算中，常把一个初等函数分解为基本初等函数来研究；2.了解极限的定义，会求函数在一点处的极限、左右极限及极限存在的充要条件.作业：P21（2）（3）；P52；3.1.3极限运算法则一、复习提问1.复合函数复合过程；2.两种情形的函数极限的概念；3.函数极限的两条性质；4.左右极限的概念，左右极限存在与极限存在的关系.二、讲授新课前面我们学习了极限的定义，极限的定义能够证明或验证极限，但不是求极限的方法.为了求出比较复杂的函数的极限，需要用到极限的运算法则.1.极限的运算法则若与，则有（1）.注：此公式仅适用于有限项，否则不成立.如.（2）.特殊地有（c为常数）.（3）=（）.以上运算法则对也成立.注意法则成立的前提是，存在，若前提条件不满足，则法则失效.如.2．举例例1求；例2求.我们把分子和分母都趋于0的极限形式地称为型.求型极限的一般方法是分子分母同时约去使分母为0的式子.例3求；例4求，例5求.我们把分子和分母都趋于的极限形式地称为型.求型极限的一般方法是将分式约简或分子分母同除以的最高次幂或除以某个以为极限的函数式等.例6求.解原式.此例基于结论：若，则.例7求）；例8求；例9求.3.极限的运算方法小结除了和型以外还有型等形式的极限，一般可以通过通分等方法转化为或型的极限来求.常用的方法有：因式分解法；提取公因式法；分子或分母有理化法.把、、来确定极限值.作业：P81（4）（7）；2（2）；（4）（10）（11）.1.4两个重要极限一、复习提问1.极限四则运算法则；2.极限运算的方法.二、讲授新课本节讨论两个重要极限：和.1、第一个重要极限．下表列出了当x取接近0的数时函数的一些函数值.x10.50.10.010.841470.958850.998330.99998从表可以看出，当时，函数.即，也可以写成.例1求．解原式=3.（令）例2求．解原．例3求．解原式．例4求.解原式.例5求.解原式.2、第二个重要极限或．表列出了当x取接近0的数时函数的一些函数值.表1.4.2x2101001000100002.2502.5942.7052.7172.718从表1.4.2可以看出，当时，函数；即或，其中.和第一个重要极限相类似，公式可以写成；公式可以写成.例6求．解原式．例7求．解原式.例8求．解原式.例9求．解原式.3.课堂小结本节讲述了两个极限的收敛准则，两个重要极限及利用两个重要极限求限的方法.1.在第一个重要极限的特点：（1）；（2）形式必须一致，即中的三个应该是一样的.（要注意sin符号后面的内容）2.在第二个重要极限的特点：（1）是型；（2）形式必须一致，即中的三个应该是一样的.3.在利用两个重要极限求极限时特别要注意变量的变化过程，从而根据它配成重要极限的形式.作业：P111（3）（5）（7）；2（2）（4）（8）.1.5无穷大与无穷小一、复习提问1.两个重要极限；2.如何利用两个重要极限解题.二、讲授新课1.无穷小与无穷大的概念例如=0，=0，=0，等等，都属于一种类型的极限，即当（或）时，其极限都是0.定义1：若，则称为当时的无穷小量（简称无穷小），记为当时，=.若，则称为当时的无穷大量（简称无穷大）.注：（1）说某个变量是无穷大或无穷小，一定要指出的趋向.（2）无穷大“”不是一个数而是一个符号，表示绝对值无限大的一个变量；无穷小是表示以0为极限的变量，常数中只有0才是无穷小.2.无穷大和无穷小有下面性质：1）在自变量的同一变化过程中，若f(x)是无穷大，则是无穷小；反之，若()是无穷小，则是无穷大.例1求.解因为，所以.2）有限个无穷小的和仍是无穷小.注：若是无穷多个无穷小则不然，如.3）有界函数与无穷小之积仍是无穷小.（常数与无穷小之积仍是无穷小）例2求极限：(1)，(2).解（1）由于，而，所以；（2）由于，而，所以.4）有限个无穷小的积仍是无穷小.3.无穷小阶的比较观察，当时，比较，，三个函数值的变化情况.10.50.10.010.001…210.20.020.002…10.250.010.00010.000001…20.750.110.01010.001001…从表中可看出当时，与趋于0的“速度”可认为是“几乎相当”，而比与趋于0的“速度”就“快”得多.如何用数学的形式来刻画这种趋于0的“速度”的“快慢”呢？注意到：0（分子比分母趋于0的“速度”快）0（分子比分母趋于0的“速度”快）（分子与分母趋于0的“速度”“几乎相当”）又（此时可以认为分子与分母趋于0的“速度”“相当”）.一般的,设，是同一极限过程中的两个无穷小，1）若，则称是比高阶的无穷小（即比趋于0的“速度”快），也可以称是比低阶的无穷小；2）若（c为非零常数），则称与是同阶的无穷小（即与趋于0的“速度”“几乎相当”）；特殊地，若，则称与是等价的无穷小（即与趋于0的“速度”“相当”），记为～.例3比较时，无穷小与的阶.解，所以无穷小与是等价.在求无穷小商的极限时，可以用等价的无穷小代替以简化计算.可以证明，当时，有下列各组等价无穷小：～，～，～，～，～，～，～.例4求解当时，.所以==.例5求.解==1.例6求.解==.注意：函数应为乘积形式时才可以用无穷小替换，若是和差形式是不能用的.如例6，一开始就由～，～，对原式作无穷小替换，则导致的错误.三、课堂练习求下列函数的极限：（1）；（2）；(3)；(4)(5)(6)四、课堂小结本节讲述了无穷小与无穷大的定义，介绍了无穷小量的性质及无穷小量与无穷大量的关系，特别要注意的是无穷小量的性质1即无穷小量与有界函数的乘积为无穷小量，这也是求极限的方法之一。本节还介绍了无穷小的阶，其中等价无穷小尤为重要；利用等价无穷小替换求极限是我们在求极限中常用的方法.作业P132（2）（4）（6）（8）.1.6函数的连续性一、复习提问无穷小的概念与性质；无穷大的概念与性质；无穷小的比较.二、讲授新课客观世界中广泛存在着一种连续变化的现象，例如气温的连续变化，液体的连续流动，路程的连续增加等，这就是我们对连续变化的现象有了感性认识，这节课我们就研究连续函数的有关概念.为了刻画说明函数的连续性，我们先引入改变量（亦称增量）的概念.1．改变量①以下的△称为自变量从变到的改变量，记为△=.由点变到：→（起点）→（终点）△＞0；由点变到：←（终点）←（起点）△＜0.②以下的△称为函数从变到的改变量，即△=.（终值）（初值）由点变到：△＞0o→0由点变到：←△＜0当△→0（即→）时，若△→0(即→），通俗地说，即当趋于时，的值也“同步平稳”地到达，那么从图象上观察函数在点会有什么样的性态呢？不难发现这正好刻画了在点是连续的这个事实.2．函数在点处连续（1）若在点的近旁有定义，且，则称在点处连续.可以看出，函数在点连续可分三个层面上的条件：（1）在点的近旁有定义；（2）存在；（3）=.例1证明函数=在=0点处是连续的.证显然在=0点处有定义，且，由于，；故有.所以在=0点处是连续的.例2试确定函数=在=0点处的连续性.解显然在=0点处有定义，且，.所以在=0点处是连续的.以上三个条件缺一条则函数f(x)在点x=处就不连续.我们称不连续的点为函数f(x)的间断点.（2）间断点大致可分两类,一类是极限存在，可以通过补充或改变函数在某点的定义使之连续，这类间断点称为可去间断点；另一类是极限不存在.称这类间断点为不可去间断点.例如1：当x=1是函数的间断点，但=2存在.间断的原因只是函数在没有定义，我们只要补充函数在的定义，，则函数在就连续了.如图1.图1图2例如2：当是函数的间断点，但存在.间断的原因只是函数不满足连续的条件（3），我们只要补充函数在的定义，则函数在就连续了，如图2.从上面的例可以看出，当极限存在时的间断点的性质仅是一点的问题，我们可

图3以通过补充或改变函数在某点的定义使之连续，但当极限不存在时间断点的性质则不同.

图3例如3：函数在有定义，但由于不存在，故在x=1不连续（图3）.此例中的间断的原因是不存在，从而导致“断裂”的产生如图3.3.初等函数的连续性（1）函数在区间上连续若在内点点连续，称在内连续.若在内连续，且有和，则称在上连续.例1求函数=的间断点和连续区间.解令，得.所以，函数的连续区间是.易知在无定义点，间断，除此以外还有没有其它的间断点？一般地，结合极限的运算法则可得这样的结论：初等函数在其定义域内均是连续的.即初等函数的连续区间等价于定义区间.例2已知函数=，试求的连续区间.解由于，，所以不存在，函数在点间断，而除点以外在每段中都有定义，从而都是连续的.因此，函数的连续区间是.（2）利用函数的连续性求极限对于连续函数，求极限亦即求函数f(x)在点x=的函数值问题..即求连续函数的极限，可转化为计算f(x)的函数值，这就大大降低了求函数的极限的难度.如.（3）复合函数的极限运算法则设复合函数满足，且函数在处连续，则.即在y=f(u)和都连续的情况下，求复合函数的极限时，极限符号与函数符号f可以交换次序.例5求.解===.4.闭区间上连续函数的主要性质（1）最值性：若在闭区间上连续，则必存在最大值M和最小值m.（2）介值性：若在闭区间上连续，则对于介于M与m之间的任意的值C，至少存在一个点，使=C.如图1.6.4所示.（3）零点性：如果在闭区间上，有，则=0在内至少有一个实根.如图5所示.图4图5例6证明方程在内至少有一个实根.证设=，显然在上连续，且，，即.由零点性质，在内至少有一个实根.三、课堂练习证明方程在区间（1，2）内有实根.四、课堂小结1．改变量（增量）有正负.2．函数的点连续：.3．初等函数的连续性：（1）求初等函数的连续区间就是求这个的定义域；（2）求初等函数的间断点，就是求使函数无意义的点；（3）求初等函数在定义域内点的极限值，就是求函数在该点的函数值.4．闭区间连续函数的性质：（1）最值性；（2）介值性；（3）零点性（根的存在性）.作业P173；4（3）（5）；5；6.

第二章导数与微分2.1导数的概念教学内容：导数反映了函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即函数的变化率，它使得人们能够用数学工具描述事物变化的快慢及解决一系列与之相关的问题.一、复习引入：1、函数的连续性；2、物理学上速度路程时间三者之间的关系：，当时，，平均速度.匀速：平均速度等于瞬时速度；变速：时间间隔短表示在的瞬时速度，但还不够精确.为了表示瞬时速度，我们令，即，.3、曲线上有个定点，动点，过这两个点的直线的斜率为：(画图来进行说明)，过定点的切线斜率为：.二、新课讲授：变速直线运动的瞬时速度是物理问题，曲线切线的斜率是几何问题，但是它们都可以归结为如下形式的极限：，求增量比的极限，我们把它定义为函数的导数.1、导数的概念设函数在点的某个邻域内有定义，若极限存在，则此极限解释一下邻域的称为函数在点处的导数（也称在点处可导，否则在点处不可导）.概念.记作.即.例1已知存在，求.解.推广：.例2已知存在，求.解.推广：.2、点的左导数与右导数若存在，则和均存在且相等.我们分别把和称为函数在点处的左导数、右导数.显然，函数在点处的左导数、右导数存在且相等是在点处可导的充分必要条件.例3试判定函数在点处是否可导.解，.左导数不等于右导数，所以函数在点处不可导.例4试判定函数在点处是否可导.解.所以函数在点处可导.3、导函数若函数在区间内点点可导，则对于内的每一个点必存在一个导数与之对应，这样就确定了一个新的函数，成为函数的导函数，简称为导数.记作或.注意：函数在点处的导数就是导函数在的值，即.（先求导，再代点）4、导数的几何意义的几何意义是曲线在点处的切线斜率.曲线在点处的切线方程为：；法线方程为：.注意：处处可导，处处有切线；但处处有切线，不一定处处可导。（垂直于轴的直线斜率不存在）.例4求下列曲线在指定点处的切线方程和法线方程.⑴在点处；⑵在点处.解⑴，，切线方程为：，即；法线方程为：，即.⑵，，切线方程为：，即；法线方程为：.5、导数与连续的关系可导一定连续，但连续不一定可导.（可导是连续的充分非必要条件，连续是可导的必要非充分条件）另外：可导一定连续和不连续一定不可导是等价的.用简图来进行说明.另外我们来进行证明：函数在点处可导，即存在，可以令为常数.那么，所以函数在点处连续.函数在点处连续，即，那么是类型的极限，是未定型，极限可以存在也可以不存在，所以不一定.例5⑴讨论函数在点处的连续性和可导性.解，，即，所以函数在点处连续.由于，，左导数不等于右导数，所以函数在点处不可导.⑵讨论函数在点处的连续性和可导性.解，而，所以函数在点处不连续，由不连续一定不可导，得到函数在点处一定不可导.作业：1；2；3.2.2直接求导法一、我们先用导数的定义来求函数的导数例1求函数的导数.解求增量：；算比值：；取极限：.换底公式的应用.即：.特别地：当时，有.用类似地求法，我们可以得到一些常用的求导基本公式：⑴（为常数）；⑵；⑶；；⑷；；⑸；；另外，，这两个式子，在解题的过程中也经常用到，也可以当作都是用幂函数来公式来记.求解.二、导数的四则运算法则若函数在点可导，则⑴；可推广到有限多个函数的代数和⑵；可推广到有限多个函数的乘积；⑶（为常数）；⑷.例2求函数的导数.解.同理可得：.例3求函数的导数.解.同理可得：.所以求导基本公式中加上三角函数的这四个公式.我们把利用求导基本公式和四则运算法则（有时需做适当的变形）求得导数的方法叫做直接求导法.例4求函数的导数.解，.例5求函数的导数.解.例6求函数的导数.解，.注意：和一般的运算一样，当积商可化为和差时，我们总是先化积商为和差再求导；或是利用三角恒等变换进行化简再求导，这样显然简化了运算.如求都是通过先化积商为和差后再求导更容易.例7求函数的导数.解，.作业：4；5；7；8；9；10.2.3复合函数和反函数的求导法一、复习提问1、导数的基本公式；2、导数的四则运算法则.二、复合函数求导法1、比如求函数的导数.错误解答：；正确解答：.对比一下，答案错误的原因是把当成了自变量.我们先把复合函数进行分解为..求复合函数的导数可分两步第一步（关键步骤）：先将复合函数分为若干个简单函数，辨明各函数的中间变量和自变量；第二步：逐一分步求导.推广到多次复合的情形：例如，都可导，则或或.例1设函数，求.解因为是由复合而成的，所以.例2设函数，求.解因为是由复合而成的，所以.例3设函数，求.解.注意：当然熟练以后可以不必写出中间变量，写在心上，由内到外，层层求导.三、反函数求导法反函数求导法应用如果函数在某一个区间内单调、可导，且，则它的反函数于反三角函数导数在对应区间内也可导，且或记为，公式的推导.例4求函数的导数.解是的反函数，在区间内单调、可导，且，因此有.即.同理可以推导另外三个反三角函数的导数公式：，；.作业：：2；5；6；7；9；11；12.2.4隐函数和由参数方程所确定的函数求导法一、复习提问1、函数的基本求导公式（18个常用的）和四则运算法则.2、复合函数求导法.二、概念前面我们所见到的函数中，自变量和函数的地位总是一目了然的，我们称这种函数为显函数，其实还有另一种形式的函数，变量之间的函数关系是隐含在方程中，我们把这种函数称为隐函数，此时自变量和函数的地位不是确定的.例1求由方程所确定的隐函数的导数.解两边对求导，，即，解得.隐函数的求导步骤如下：⑴方程两边同时对求导，把中的看成是的函数，利用复合函数的求导法则计算；⑵解出，其表达式中可以含，但一般尽可能把结果化为显函数形式.例2求由方程所确定的隐函数的导数.解在方程两边同时对求导，注意是的函数，即，得：，所以.注意：隐函数的导数中可以同时含有自变量和函数.例3已知，求.解方程两边同时对求导，，即.当时，，所以.注意：已知条件中虽然只给出，但通过隐函数可立即求得.因此，遇到这种求隐函数的导数值时，要先求得另一变量的值，避免得出错误答案.2.5、对数求导法对数求导法是对函数等式的两边同时取对数，再用隐函数的求导法求解.适合用对数求注意对数求导法导法的函数有：的适合函数.⑴由多个因式相乘、除、乘方或开方的函数；⑵形如的幂指函数.例4已知，求.分析：这个函数看上去很复杂，如果直接用导数的四则运算法则来计算的话，运算量过大，容易出错，所以尝试先把函数化简再求导.解等式两边取自然对数，得：,上式两边对求导，得：.即.例5求函数的导数.解等式两边取自然对数，得：，上式两边对求导，得：，.即.注意：1、取自然对数是为了求导方便，因为在所有对数中只有自然对数的导数最为简单；2、可能用到中学所学的对数中的公式：，，；3、要用到隐函数求导法，最后一定要写出最后的结论.作业：2；3；5；4；5.2.6高阶导数求法一、复习引入本章开始时曾讲过物体做变速直线运动的瞬时速度问题，物体的运动方程，则物体在时刻的瞬时速度为对的导数，即；速度也是的函数且对的导数称为物体在时刻的瞬时加速度，即，称为对的二阶导数.如自由落体运动，，一致.二、概念一般的，对函数的导函数再求一次导数（若存在），所得的导数称为函数的二阶导数；对函数的二阶导数再求一次导数（若存在），所得的导数称为函数的三阶导数；依此类推，对函数的阶导数再求一次导数（若存在），所得的导数称为的阶导数.二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.二阶导数记为，，或；三阶导数记为，，或；四阶导数记为，，或；阶导数记为，，或；一般地，求阶导数应先求阶导数.注意：四阶及其以上的导数与低阶导数记法上的区别.函数的阶导数在点的值记作或.三、例题例1设，求导数，并求.解，，，.例2设，求阶导数.解，，…，.例3求的各阶导数.解，，，，.例4设，求阶导数.解，，，，以此类推：.同理可以得到：.例5设，求阶导数.解，，，，归纳以上所求可得：.注意：求阶导数，可先求出前几阶导数，找出规律，再写出结果.作业：3；4；5；6.2.7微分及其求法一、引入函数在点处变化的快慢程度，今天我们讨论函数在某一点当自变量取一个微小的变量时，函数取的相应改变量的大小，这就引入了微分的概念.二、概念1、函数如果对于自变量在点的改变量，有，其中是与无关的实数，则称在点可微，称为在点处的微分.记作或.即.由定义可知，与的差是一个比高阶的无穷小量.下面我们来看看如何求，两边同时除以，得，两边同取极限，得.由此可见，.可微可导，反之也成立.即：可微与可导是一致的.如果将自变量当作自己的函数，即，则.即自变量的微分就是它的改变量.于是，函数的微分可以写成.2、从几何图形上看，切线的斜率，，则也就表示“线段的长度”.3、注意：虽然导数和微分的概念和表示不同，但它们在本质上是相通的.从定义上看，求得导数也就可以写出微分，所以对一元函数来说，可导和可微是一致的.而且微分的运算法则和公式也完全可以由导数平行得出，只是写法上不同而已.三、计算1、微分的四则运算法则设函数可微，则；；（为常数）；.2、微分的基本公式：⑴（为常数）；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹；⑺；⑻；⑼；⑽；⑾；⑿；⒀；⒁；⒂；⒃.四、例题例1，求.解.例2，求.解.例3，求.解.五、微分形式不变性导数是函数对自变量求导，而微分并没有明确函数是对哪个变量求微分，这就是所谓的微分形式不变性.例4设，求.解法1用公式，得；解法2用一阶微分形式不变性，得.例5设，求.解1用公式，得；解2用一阶微分形式不变性，得.六、隐函数的微分与隐函数导数类似，只是写法不同而已.例6求由方程所确定的隐函数的微分与导数.解法1在方程两边同时对求导得，，从而，所以.解法2在方程的两端分别求微分，有，从而，所以.七、微分在近似计算中的应用设函数在点处可微（可导），，，，，可忽略的高阶无穷小量，因此，将作为的近似值，即.因为，所以.即.例7计算的近似值.解设函数，，，，由公式得：.例8计算的近似值.解设函数，，，，由公式得：.例9证明当很小时，.证明设函数，，，，由公式得.作业：1（2）（6）；2（3）（4）；3（1）（4）.2.8函数单调性的判定及极值、最值的求法一、讲评作业，分析旧课二、新课教学1.单调性及其判定对任意的，若｛即＞0｝则称在内单调增加.(图示)对任意的，若｛即＜0＝则称在上单调减少.(图示)定理:若在上满足拉格郎日中值定理的条件且有>0(或<0)，则在上单调增加(或单调减少).例1判断内的单调性.解，所以内单调增加.2.函数极值及其求法(1)极值的概念:定义1、若在区间（）内有定义且对任意的点∈都有｛｝，则称为的极大值｛极小值｝，为的极大值（极小值）点.对于可导函数从图中可清楚地看出：在极小点处：左侧必有<0，右侧必有>0且必经=0的点；极大值点处：左侧必有>0，右侧必有<0且必经=0的点.定义2、设函数在区间上可导，使=0的点称为函数在区间内的驻点（或稳定点）.注意：（1）极值只是局部最值的概念；（2）极大值不一定比极小值大；（3）函数在极值点左右近旁有定义，因此极值点不可能出现在区间的端点上.(2)极值的求法从上面的讨论说明：对于可导函数，极值点必是驻点，而驻点未必是极值点.例如是函数的驻点，但不是极值点.求函数的极值点可分三步：（1）确定函数的定义域；（2）求其驻点和连续且不可导的点；（3）根据这些点的顺序把定义域分为若干区间，列表判定在这些区间上的符号，再进一步确定是否极大或极小点.例2求的极值点和单调性区间.例3求的极值.解，，令，得驻点，且＝0是使不存在的点.从课本列表中可知，在区间（-∞，0）和（，∞）内，函数单调增加；在区间（0，）内，函数单调减少，＝0是极大值点，极大值为0，是极小值点，极小值为.注意：不可导点也可能为极值点.在驻点或连续且不可导的点的两侧，若导数符号不变号，则该点不是极值点.3.函数最值的求法定义3：若在区间上有一点，对任意，都有（）则称点为在区间上的最大值点最大值为（最小值点最小值为）.注意：最值点只可能出现在驻点、不可导点和端点。所以，我们只要求出这三种点比较之，函数值最大的则称为最大值，函数值最小的则称为最小值.三、巩固练习习题4.2,（10分钟）.作业：1（2）；2（2）（4）(11)；3（3）.

第三章积分3.1原函数与不定积分一、引入：我们在微分学中已经知道：若已知运动方程，则物体在时刻的速度为；现在反过来，若已知，怎样找出它的运动方程?显然这类问题正是微分学的逆问题，即不定积分问题，正如数的乘法与除法一样，不定积分是微分的逆运算.二、原函数与不定积分的概念1.原函数：定义1已知在区间上有定义，若存在可导函数使得对任意，都有或，则称为在区间上的一个原函数.如：，故是的一个在内的原函数；现在问题有三：①原函数存在性，一个函数具备什么条件才保证有原函数？结论：连续函数必有原函数.②一个函数如果有原函数，则原函数是否唯一，若不唯一，数目是多少？如：因为；；，∴都是的原函数.定理1若是在区间上的原函数，则一切形如的函数也是的原函数.③原函数间有何关系？定理2若、为在区间上的两个原函数，则.2.不定积分定义2若是在区间上的一个原函数，则称的全体原函数为在区间上的不定积分.记为：.注①由定义知，的不定积分，即为的一个原函数加常数；②不能掉，它是不定积分的标志.三、直接积分法由不定积分的定义，可知，，先积后导等于自己；，.先导后积等于自己+C.结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.即先积后微还原，先微后积+C.1、基本积分公式（一定要牢记，这是我们求不定积分的基础）1、；2、；3、；4、；5、；6、；7、；8、；9、；10、；11、；12、；3、.2、不定积分的运算性质1.；2.(为常数).结合起来有.利用这些性质与15个基本公式便可计算出一部分不定积分，所用的方法为直接积分法.例1求积分解原式例2求积分解原式.例3求积分解原式.对被积函数拆项，是求不定积分常用的一种方法.练习1求积分解原式.2．求积分解原式例4求．解原式.例5. 解原式.例6求.解原式.对被积函数（包括代数和三角函数）作适当的恒等变换也是求不定积分常用的方法.练习1求积分解原式2求．解原式．3. 解原式.4设，则（）.解.5若，求.解令，则，还原后得.作业：7（2）（4）(6)(8)(11)；9.3.2第一类型换元法教学内容：前言：利用直接积分法可以求一些简单函数的不定积分，但当被积函数较为复杂时，直接积分法往往难以奏效．如求积分，它不能直接用公式进行积分，这是因为被积函数是一个复合函数．我们知道，复合函数的微分法解决了许多复杂函数的求导（求微分）问题，同样，将复合函数的微分法用于求积分，即得复合函数的积分法—─换元积分法．换元积分法分为两类：1、第一换元积分法，又叫凑微分法，也称间接换元法；2、第二换元积分法，也称直接接换元法.本讲介绍第一换元积分法.例１分析.，注意：“”是一个复合函数.比较观察：这里把“”看作“”.；；；按照公式“”.可见：.定理如果，则.第一换元积分法（也称“凑微分法”）说明使用此公式的关键在于将化为.例2比较：.解.凑微换元求积回代例3.解原式.求,方法类似.例4.解原式.熟练后“换元”可以省略，直接“求积”.例5.解原式.可见，“微分”是自里向外微，“凑微分”是从外向里凑.说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.例6.错解：“”，注意这里被积函数“”是复合函数.解原式.练习1求解原式2求解，3求解原式4求解原式例7求．解原式.．例8求．解原式．例9求．解原式．例10求．解原式．练习1求为常数，）．解原式．2求．解原式．3求．解原式．4求．解原式．由以上例题可以看出，在运用换元积分法时，有时需要对被积函数做适当的代数运算或三角运算，然后再凑微分，技巧性很强，无一般规律可循．因此，只有在练习过程中，随时总结、归纳，积累经验，才能运用灵活．小结：应用第一换元法求积分.作业：P53（4）（6）(7)（11）（12）（15）（18）.3.3第二类型换元法教学内容：前面介绍了直接积分法、第一换元法，对不同的题型用不同的求积分方法，注意方法应得当.第一换元法是先凑微分，再用新变量替换．但是有些积分是不容易凑微分的，需要新的积分法，即第二换元法．一、根换（即将整个根号设为）例1（对于用一换可一下子求出）解令，则，（但是本题若也用一换：“”）原式（此时得“微出去”明显检验出：）.（“回代：”）可见，凑微分是将微分号外面的式子凑到里面，即“凑进来”，而“二换”是将微分号里面的式子“微出去”，其方向相反.若：，我们从例一得到经验！本题障碍在于含有，索性将设为.例2.积分的障碍也是“”，但根号里含有2次.如果“”设成，求出有含有新的“”.这样，去掉一个根号，又来了一个根号，达不到降低难度、化简为易的目的.实际上，该题应该先凑微分.解，然后令，转化为例1.练习1解令变量，即作变量代换从而微分，原式.2求不定积分.解令，则，，原式.二、弦换(含有)例3.分析：让我们联想到，如果令就可以消去根号.解令，（此时在实数集上有：，即.）原式(遇到正负号问题：索性定一个主值区间：则，)(为正，这就避免了符号的纠缠).(回代)可见：“弦换”目标也是去根号，但去根号的方法、手段是弦的变换.如果此时令“”，则主值区间“”，但是求出来结果“”，与“”实质上一样，不必多虑.练习1.(“与上题很像，咋处理？数学是一门艺术，需要创作，一件东西经过创作换成另一种形式”)解令，则，这里“”.原式.2.解令，原式.总之，“弦换”就是公式：“”的运用.三．切换(含有)三角函数公式：“，”，应用“切割公式”就有了“切换”.例6.解令，原式.还原变量：最后要用不能用.运用“直角三角形法”将含有的式子转化为：1(对比邻)1观察右图，可见(对比斜)原式.练习(方法同上述).以上三种是三类题，虽然都是去根号，但方法途径不同，请大家冷静下来回味一下.四．割换(含有)例8.解令，原式.还原变量：最后要用不能用.运用“直角三角形法”将含有的式子转化为：,即(邻比斜)观察右图，可见(对比邻)原式.例9.(显然不等于“”)解令，.原式.虽与前面形式上不同，但方法一样.方法越多，越得理性化，拿到题先评估.例10(该题可以用二换，但是用直接积分法更简单)解原式.例11.()解原式.小结：应用第二换元法求根换型和三角代换型的积分.作业：P55（3）（4）（5）（6）.3.4分部积分法教学内容一、分部积分公式上一节我们将复合函数的微分法用于求积分，得到换元积分法，大大拓展了求积分的领域．下面我们利用两个函数乘积的微分法则，推出另一种求积分的基本方法——分部积分法．由函数乘积的微分公式，移项得，对上式两端同时积分，得或公式(1)或公式(2)通称为分部积分公式.二、例题讲解例1求.解，原式1.使用分部积分公一般说来，选取和的原则是:式由求v时，v1．易于求出；2．要比容易求出．不必添加常数C.练习求1、；2、.2.使用分部积分例2求.公式的目的是在解=.于化难为易，解题练习：求1、；2、.的关键在于恰当的规律：形如，，的不定积分，令余下的为.选择和u.例3求解令，则原式例4求解原式练习：.规律：形如的不定积分，令，余下的为.例5求解原式.所以，原式.同理有，规律：形如，的不定积分，可以任意选择和，但应注意，因为要使用两次分部积分公式，两次的和选择应保持一致.归纳上面例子，可以得到分部积分法的规律：“三指动，反对不动”，其中“三”表示三角函数，；“指”表示指数函数；“反”表示反三角函数，；“对”表示对数函数.还需注意的是：积分方法要灵活运用，切忌死套公式.有时需要换元法与分部积分法兼用才能得到最终结果.下面的例题就体现了这种综合的解题方法.例6求.解设，则，.原式.例7求(本题将换元积分法和分部积分法结合使用)解设，则，.原式练习1、.原式.2、.原式.3、.解令，则，.原式.作业：P57（2）（3）（5）（6）（7）（9）.3.5积分表的使用（略）3.6定积分的概念、性质和公式教学内容定积分是积分学中的另一个重要概念．我们先从几何学与力学问题出发引进定积分的概念，然后讨论它的性质和计算方法，最后介绍定积分在几何、物理、经济方面的一些应用．一、定积分问题举例（曲边梯形的面积）设是区间上的非负连续函数，由直线，，及曲线所围成的图形（如图3.6.1），称为曲边梯形，曲线称为曲边．现在求其面积．由于曲边梯形的高在区间上是变动的，无法直接用已有的梯形面积公式去计算．但曲边梯形的高在区间上是连续变化的，当区间很小时，高的变化也很小，近似不变．因此，如果把区间分成许多小区间，在每个小区间上用某一点处的高度近似代替该区间上的小曲边梯形的变高．那么，每个小曲边梯形就可近似看成这样得到的小矩形，从而所有小矩形面积之和就可作为曲边梯形面积的近似值．如果将区间无限细分下去．即让每个小区间的长图3.6.1度都趋于零，这时所有小矩形面积之和的极限就可定义为曲边梯形的面积．其具体做法如下：（1）分割：首先在区间内插入个分点把区间分成个小区间，各小区间的长度依次记为．过各个分点作垂直于轴的直线，将整个曲边梯形分成个小曲边梯形（如图5—1），小曲边梯形的面积记为．（2）取点：在每个小区间上任意取一点，作以为高，底边为的小矩形，其面积为，它可作为同底的小曲边梯形的近似值，即．（3）作和：把个小矩形的面积加起来，就得到整个曲边梯形面积的近似值：．（4）求极限:记，则当时，每个小区间的长度也趋于零．此时和式的极限便是所求曲边梯形面积的精确值，即．当表示变力，和式极限表示作功；当表示面积，和式极限表示体积；当表示速度，和式极限表示路程.二、定积分的定义我们看到，虽然曲边梯形面积和变速直线运动路程的实际意义不同，但解决问题的方法却完全相同．概括起来就是：分割、近似求和、取极限．抛开它们各自所代表的实际意义，抓住共同本质与特点加以概括，就可得到下述定积分的定义．定义1设函数在区间上有界，在上插入若干个分点，将区间分成个小区间，各小区间的长度依次记为，在每个小区间上任取一点，作乘积．并作出和式．记，如果不论对区间怎样分法，也不论在小区间上点怎样取法，只要当时，和式总趋于确定的值，则称在上可积，称此极限值为函数在上的定积分，记作，即．其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做积分变量，叫做积分下限，叫做积分上限，叫做积分区间．注1定积分是一个依赖于被积函数及积分区间的常量，与积分变量采用什么字母无关．即．注2定义中要求，为方便起见，允许，并规定：（1）及．（2）定义中区间的分法和的取法是任意的.（3）当函数在区间上的定积分存在时，称在区间上可积.三、定积分的几何意义（1）若在上，则由曲边梯形的面积问题知，定积分等于以为曲边的上的曲边梯形的面积，即．（2）若在上，因，从而，．此时的等于由直线，，及曲线所围成的曲边梯形的面积的相反数（图3.6.2），即．（3）若在上有正有负，则等于上位于轴上方的图形面积减去轴下方的图形面积．如图3.6.3，有．图3.6.2图3.6.3四、定积分的性质1．表示曲边梯形的宽等于0，即表示矩形.(图3.6.4)图3.6.42．（加法运算）.3．（数乘运算）.4．（积分区间的分割性质）.(图3.6.5)abcabc(图3.6.5)5．（积分的比较性质）.例1比较定积分和的大小.解在区间上，，由性质（5）知，.6．（积分中值定理）如果函数在上连续，(图3.6.6)图3.6.6那么至少存在一点，使得.五、牛顿－莱布尼茨公式（公式）１． 2．表示无数多个原函数；表示一个极限值，表示一个数.这两个概念完全不同.设一个变上限函数：，，，，.又，，，.“公式”将不定积分和定积分直接联系起来.可见，求定积分即：先运用不定积分求得一个原函数，再运用“公式”计算出定积分.例2 ； .这也是曲边梯形，是特殊的曲边梯形.例3求.解.练习1 ..2，求.解.例4求.解原式.例5求.解原式.例6求.解原式.例7求定积分.解.例8已知，求定积分.解.小结：1、定积分的定义；2、定积分的几何意义；3、定积分的性质；4、原函数与不定积分的概念；5、牛顿－莱布尼茨公式（公式）.作业：P643；4；5（4）（5）（6）.3.7定积分的积分法教学内容：一、第一换元法例1求.原式.例2求.原式.换元必换限：12换元必换限：12：0不回代；不“”解原式换元必换限：01换元必换限：01：-112.解原式.3..解原式.可见，有时定积分的计算比不定积分更简单：多了一个积分限，少了一个回代.二、定理1设在对称区间上连续，有：（1）；（2）当为偶函数时，则；（3）当为奇函数时，则.证（1）根据定积分对区间的可加性：根据换元积分法：0：0：0.（2）因为为偶函数，即，得.（3）因为是奇函数，即，得.定理1可作为公式使用，它可简化奇偶函数在对称区间上的定积分计算.例4求解原式，其中在区间上是奇函数，所以，原式，定理2周期函数（为周期），则.三、第二换元法例5求.解令，则，换限：，原式.例6求.解令，则，换限：，原式.练习1..解原式.2..解原式.可见，定积分的运算关键要搞清楚上下限问题.三、定积分的分部积分法设函数，在区间上具有连续的导数、，则.分部求等式两端在上的定积分，，.例7求解令，则原式.例2.解令，，则原式.练习：求小结：利用第一换元法、第二换元法求定积分，要注意换限.求两个函数乘积的不定积分，一般采用分部积分.必须合理选择，正确使用分部积分公式.作业：P66（6）（7）(8)（9）（11）(12)(14).3.8无穷积分（略）3.9定积分在几何方面的应用教学要求：掌握“割补法”求不规则图形面积.教学内容：我们知道，定积分的几何意义是曲边梯形的面积，因此定积分可用于求曲边梯形的面积.曲线在轴上方，，；曲线在轴下方，，.若要表示轴下方这块面积，（这里所述的面积为正）只要前面加一个负号：.这也是曲边梯形，是特殊的曲边梯形，它的面积照样可以用定积分求出来.这里有三个曲边梯形，轴上方的直接用定积分求出来，轴下方的需要加个负号..求面积要注意曲线在轴上方还是在轴下方，即函数是大于0还是小于0.例1求，所围成图形的面积.解1割补法：将之分割为两个图形：大曲边梯形和小曲边梯形..将不规则的图形经过“割补”，化为规则图形.（先画图分析）解2若以为积分变量表示面积：.例2求与所围成的图形面积.解1根据对称性：.解2.例3求，，，所围成图形的面积.解本题以作为积分变量较简便.例4计算椭圆面积.解.作业：P711；3；4；5.

第四章球面几何和球面三角4.1球面几何教学要求：掌握球面上的基本概念、地球上的基本点、线、圈.教学内容:一、球、球面空间中与定点O等距离r的所有点的轨迹，称为以O为球心，r为半径的球面，包围在球面中的实体称为球.连接球面上两点且通过球心的线段称为球直径.半径相等的球称为等球.二、大圆显然，任一平面与球面相截的截痕是圆.一个过球心的截面，在球面上所截得的圆称为大圆.在平面几何上相当于一条直线.大圆上一段圆周称为大圆弧.反之，一个不过球心的截面，在球面上所截得的圆称为小圆，小圆上一段圆周称为小圆弧.任何两个大圆都交于对顶的两点，所以大圆分球和球面为相等的两个部分；且过对顶的两点能作无数多个大圆，而不能作小圆；但如果不过对顶的两点只能作一个大圆，却能作无数个小圆；两个大圆平面的交线是球的直径也是这两个大圆的直径，并且把两个大圆互相平分.（图4.1.2）图4.1.1图4.1.2三、球面距离球面上一个大圆的长是，球面上两点A、B间小于的大圆弧（也称劣弧）长称为球面距离，它是点A、B间的最短球面距离，在航海上称为大圆航线.地球半径大约为6370km.海上距离的单位是海里，即把地球子午线上的弧长称为1nmile.其换算公式是1nmile=1852m.四、轴、极、极距、极线垂直于任一圆的球直径称为该圆的轴，轴与球面的两个交点称为极.从大圆弧或小圆弧上球面中心不是圆心；球面半径不是球半径.的一点到极的球面距离称为极距.因为同圆上任意一点的极距都相等，所以也可以称极为该圆的球面中心，称极距为该圆的球面半径.显然，球上每一个圆都有两个极，通过这两个极有且仅有一个大圆但却有无数多个小圆.球面中心不是圆心；球面半径不是球半径.极距等于的大圆弧称为极线或称为赤道.因为任一大圆与其极的极距为，所以大圆弧是它的极的极线；反之，极线必定是大圆弧.如果球面上某一点到其它两点（不是直径的两个端点）的球面距离均为，则前一点必是通过后两点的大圆的极.对一个圆而言，轴、极必定是成对而出现的；而极和极线也是成对出现的.两个大圆的极之间的大圆弧所对的球心角等于此两大圆平面的二面角.五、球面角及其度量球面角的大小由这两个大圆弧平面所构成的二面角来确定.球面角的度量方法：1、作两边的切线取其夹角（平面角）；2、顶点的极线被球面角两边所截的弧长；3、该弧长所对的球心角.注：极线上的弧长与其所对的球心角同度；球面角的取值范围是.六、小圆弧长与大圆弧长之比圆心角相等的小圆弧长与大圆弧长之比等于小圆极距的正弦或小圆纬度的余弦.即APbAPbB图4.1.3七、地球上的基本知识地球的第一近似体为圆球体，其半径约为6367km，地球的自转轴称为地轴，地球绕地轴自西向东转.我们可由右手法则确定南北极.南北极的极线称为赤道.赤道将地球分为南北两个相等的半球.地球南北极与某地A所连成的大圆称为A地的子午圈，通过英国格林尼治天文台的子午圈称为格林子午圈；连接地球南北极和某地A之间的半个大圆称为A地的午圈（子午线或经线）.在赤道上由格林午圈至A地的午圈之间的弧长称为A地的经度.经度相同的点的轨迹是午圈.位于东半球的称为东经；反之称为西经.东西经的取值范围均是.在A地的午圈上由赤道到该地的弧长称为A地的纬度.纬度相同的点的轨迹是平行于赤道的小圆，该小圆称为纬度圈或等纬圈.纬度越高，等纬圈的长度越短.若A地位于南半球，称之为南纬，反之称为北纬.南北纬的取值范围均是.在航海上，A地的坐标通常用表示，其中是纬度，是经度.例1设某船由，向东航行至，求AB的距离.解由5．1．6知，在赤道上，nmile，所以nmile.即当纬度为时，等纬圈的长度仅为赤道长度的一半.例2设两船同在北纬，相距600nmile，若它们以同速向北航行1800nmile，求两船相距多少海里？解由5．1．6知，两船在赤道上的距离为nmile，向北航行1800nmile，即，到达北纬，所以两船相距nmile.注：1、子午圈，午圈，子午线，经线指南北向；纬度圈，等纬圈指东西向.2、午圈上所有点的经度相同；纬度圈上所有点的纬度相同.课堂练习P78练习题5.1：1小结：球面上两点A、B间小于的大圆弧（也称劣弧）长称为球面距离.球面角度量方法有三种。圆心角相等的小圆弧长与大圆弧长之比等于小圆极距的正弦或小圆纬度的余弦.作业P792；3；4；5.4.2球面三角形教学要求：理解球面三角形的定义和性质.教学内容：一、球面三角形的定义在球面上由三个大圆弧相交于三点所围成的球面部分称为球面三角形.理论上，球面三角形六要素：a,b,c,A,B,C均大于而小于，但实际应用上，我们仅讨论六要素：a,b,c,A,B,C均大于而小于，即欧拉球面三角形.二、球面三角形的分类1、球面等腰三角形和球面等边三角形；2、球面直角三角形和球面直边三角形；3、球面初等三角形；4、球面任意三角形.三、球面三角形的关系1、全等球面三角形；2、对称球面三角形；3、相似球面三角形；4、极线球面三角形.1）定义：球面三角形的三个顶点的极线所构成的球面三角形；2）性质：a、原三角形与极线球面三角形的关系是相互的；b、原三角形的角（边）与极线球面三角形的边（角）互补.四、球面三角形的性质1、球面三角形与三面角的关系球面三角形三面角球心顶点球半径棱边平面角角二面角2、球面三角形边的性质（1）边必须是大圆弧；（2）；（3）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（4）.3、球面三角形角的性质（1）；（2）；（3）两角之和减去第三角小于；（4）两角之和（差）大于（小于）第三角的外角.4、边和角的关系（1）等边对等角，等角对等边；（2）大（小）边对等角，大（小）角对等边.注意：1、当给定了球面三角形的三个边时：（1）；（2）；（3）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.2、当给定了球面三角形的三个角时：（1）；（2）；（3）两角之和减去第三角小于.3、若给定球面三角形的两个角（边）及其夹边（角），则仅需满足每一个角和每一个边大于，小于的条件，球面三角形都成立.例判断下面的球面三角形是否存在1．，，，不存在.2．，，，不存在.3．，，，存在.4．，，，存在.作业：P844(1)(3)(5)(7)(9)；5；6.4.3球面任意三角形的基本公式教学要求：理解、熟记并能运用球面三角形正弦余弦、五联、四联公式.教学内容：一、余弦公式1、边的余弦公式：球面三角形一个边的余弦等于其它两边余弦的乘积加上这两边正弦及其夹角余弦的乘积..用途：一般地，已知三边求一角或者已知两边及其夹角求第三边.2、角的余弦公式：球面三角形一个角的余弦等于其它两角余弦的乘积冠以负号加上这两角正弦及其夹边余弦的乘积..用途：一般地，已知三角求一边或者已知两角及其夹边求第三角.二、正弦公式：球面三角形各边的正弦和它对应角的正弦成正比..用途：已知一边及其对角，又已知一角（边）求它的对边（角）.三、边角正余弦公式（五联公式）：球面三角形相邻边角正余弦的乘积等于邻边第三边正余弦的乘积减去邻边第三边余正弦及其夹角余弦的乘积.用途：较少用于解球面三角形.四、余切公式（四联公式）：.用途：一般地，用于求四个联起来要素中的外边或者外角.例1在球面三角形ABC中，已知，求证：与、与相等或互补.解因为，所以，，；即与、与相等或互补.例2球面三角形各边都等于，求证每角的余弦为.解由，；同理可证.作业：P872；3；5.4．4球面直角三角形和球面直边三角形教学要求：熟练把握大字法则规律性，熟练运用大字法则解球面直角三角形和球面直边三角形.教学内容：一、球面直角三角形1、定义至少有一个角为直角的球面三角形称为球面直角三角形.若三个角都是，则三边也都是；若两个角是，则直角的两对边都是，而第三个角与其边在数值上必相等。因此上述两种情况下球面三角形的边角关系已经很清楚，不必再进行讨论。下面仅讨论一个角为直角的球面三角形的边角函数关系.2、球面直角三角形公式推导由边的余弦公式、角的余弦公式、正弦公式、余切公式可推得…（10个公式）.设，则有；；；；.3、球面直角三角形公式的记忆法则（纳比尔法则）纳比尔法则：在五个循环要素中，任一要素的正弦，等于其相邻两要素正切的乘积，或等于其相隔两要素余弦的乘积.纳比尔法则又称为“大字法则”.在五个循环要素中，我们可以通过任意已知的两个要素，直接求出其余三个要素，一步到位.二、球面直边三角形1、定义至少有一个边为直边的球面三角形称为球面直边三角形.若三条边都是，则三角也都是；若两条边是，则直边的两对角都是，而第三条边与其角在数值上必相等。因此上述两种情况下球面三角形的边角关系已经很清楚，不必再进行讨论.下面仅讨论一条边为直边的球面三角形的边角函数关系.2、球面直边三角形公式类似于球面直角三角形公式的推导，由边的余弦公式、角的余弦公式、正弦公式、余切公式可推得…（10个公式）.设，则有；；；；.3、球面直边三角形公式的记忆法则纳比尔法则：在五个循环要素中，任一要素的正弦，等于其相邻两要素正切的乘积，或等于其相隔两要素余弦的乘积。但是，在等式右边的两项正切或余弦的乘积中，如遇有两个要素都是边或都是角时，则在乘积之前冠以负号.在五个循环要素中，我们可以通过任意已知的两个要素，直接求出其余三个要素，一步到位.但是应特别注意符号问题.例在球面三角形中，设，则或.作业：P901；2；3；4.4．5球面初等三角形教学要求：了解球面小三角形和球面窄三角形的概念，会求解球面小三角形和球面窄三角形的实际问题.教学内容：一、球面小三角形1、定义三边比起地球半径都甚小的球面三角形称为球面小三角形.虽然三边甚小，但三角不会很小，其内角和接近且大于.2、球面角盈E：内角和多出的部分.（1）若三角已知：；（2）若三边已知：.其中：：球面三角形面积；：球半径（地球半径：6370km）；：三边长度；，其中：为半周长，代入得：.为何要计算球面角盈？由以上公式可计算出：当地面上的球面小三角形各边长均为10nmile、40nmile、70nmile、100nmile时，球面角盈分别约为、、、.这说明，在地面上当距离为数十海里时，球面角盈很小，因此，当精读要求不是很高时，可将球面小三角形看成平面三角形求解。航海上，在视野范围内观测陆标定位时，完全可将球面三角形视为平面三角形来对待.计算公式为：；；..二、球面窄三角形1、定义只有一个角及其对边与球半径相比甚小的球面三角形称为球面窄三角形.2、近似公式已知小边和它的邻角及角的邻边，求另一边和小角.（1）求两边之差的第一近似公式：；（由五联公式推得）（2）求角A的第一近似公式：；（由正弦公式推得）（3）求的第二近似公式：；（4）求角A的第二近似公式：.显然，第二近似公式虽比第一近似公式更精确，但计算量更大.例1测得地面上三角形的三边分别为18km、52km、65km，试求该球面三角形的球面角盈.解，，；；.例2球面三角形ABC是一球面窄三角形，设c比a、b小得很多，已知边，角，，试求该三角形的C角和a边.解；所以；.作业：P931；2；3.4.6球面三角形的解法教学要求：了解解球面三角形的一般问题即六种情况，会用计算器解算球面三角形.教学内容：解球面三角形的一般问题解球面三角形的必要条件：六要素中必须知道三个要素的值.解球面三角形共包括六种情况：1、已知两边及其夹角，求其余两角及另一边；求法：第三边可直接通过边的余弦公式求出，其余两个角通过余切公式得到.2、已知两角及其夹边，求其余两边及另一角；求法：第三角可直接通过角的余弦公式求出，其余两条边通过余切公式得到.3、已知两边及其一对角，求其余两角及其一对边；求法：直接运用正弦公式可求出一角，而剩下一角及其对边不得不通过余切公式和边的余弦公式来求.4、已知两角及其一对边，求其余两边及其另一角；求法：直接运用正弦公式可求出一边，而剩下一角及其对边不得不通过角的余弦公式和余切公式来求.5、已知三边，求三个角；求法：边的余弦公式.6、已知三角，求三条边。求法：角的余弦公式.总之，为了减小误差、提高精度，尽量用原已知要素来求未知要素.作业：P973；4；5.4．6大圆航程和大圆起始航向的求法教学要求：会计算经差、掌握大圆航向和大圆起始航向求法.教学内容：某船拟由行驶到，驶大圆航线，求大圆航程和大圆起始航向.这是一个基本的航海运算问题.所谓大圆起始航向，是指连接地球北极与出发点之间的大圆弧，与大圆航线间按顺时针方向的球面角，取值范围在到之间.一、经差的具体计算经差：终到地经度与出发地经度之差，取值在之间.航海上规定经度以东经为正、西经为负，经差也是东经为正、西经为负.规定：.例1求下列经差：AB（1），.AB解.（2），.解.（3），.解.二、求大圆航程和大圆起始航向的公式，；.由边的余弦公式：.由余切公式：，即，所以.又由正弦公式得：，即.一般地，通过判断的符号来确定的范围.航海上要求距离精确到；角度精确到.例2某船拟由，到，，驶大圆航线，求大圆航程与大圆起始航向.解，，nmile；，.作业：P981（2）（4）（6）（8）；5.

第五章观测误差理论基础5.1观测误差的概念教学要求：了解误差的定义及产生原因，理解随机误差的概念.教学内容：船舶驾驶员在航行或者锚泊值班时的主要任务之一，就是运用各种可能手段及时地测定船舶所在海区地位置（简称船位）.并对其可靠性进行科学地分析，作出正确地判断，以避免暗礁、沉船或浅滩等水下障碍，从而确保船舶在计划航线上安全、迅速地航行.一、误差及其产生的原因1、观测误差的概念观测误差是客观存在的。实践证明，对于任何观测，不论其条件如何理想，观测得如何仔细，观测结果都不可能准确无误。事实上，我们永远测不到真值.观测值与所求量真值的差异称为误差，即，其中为观测值，为真实值，又称真误差。而定义改正量：，用以修正误差.2、误差产生的原因客观：（1）测量工具不尽完善，如观测仪器不精密或有误差，作图比例尺寸大等；（2）测量方法不尽准确，如测量距离不是直线，测量水平夹角时两物标不在同一水平面上等（3）观测环境的影响，如光线、气温、气压或温度的变化等.主观：（4）感官上的缺陷，如照准和读数的习惯性偏差，动态测量记录信号是人们的滞后倾向等；（5）读取读数或计算中的凑整误差；（6）人为过失.为了得到可靠的结果，往往要作多次观测，于是就有了多余观测，进而求出可靠的结果，以削弱误差对观测结果的影响，就是平差问题。二、观测误差的分类1、系统误差系统误差是指在一定条件下，大小和符号保持固定不变或按一定法则变化的误差.系统误差可以通过适当的方法进行修正，但实际工作中，完全消除系统误差是不可能的，剩余小的系统误差可以把它当作偶然误差来处理.2、随机误差（偶然误差）在大体相同的条件下进行多次