第四章粘性流体运动及其阻力计算

第四章粘性流体运动及其阻力计算第一页，共七十二页，2022年，8月28日实际流体由于粘性的作用，在流动中会呈现不同的运动状态。流体的粘性，运动状态以及流体与固体壁面的接触情况，都会影响流体运动阻力的大小。本章主要讨论粘性流体的运动状态，管中流动的特点及其流动阻力的计算。第二页，共七十二页，2022年，8月28日第一节流体运动与流体阻力的两种形式一、流动阻力的影响因素影响流动阻力的因素：过流断面的面积A流动阻力与过流断面面积的大小成反比湿周x

：过流断面与固体边界相接触的周界长流动阻力与湿周的大小成正比水力半径水力半径与流动阻力成反比，水力半径越大，流动阻力越小，越有利于过流。充满圆管的水力半径第三页，共七十二页，2022年，8月28日二、流体运动与流动阻力的两种形式在工程流体力学中，常根据过流断面的变化情况将流体运动及其所受阻力分为两种形式均匀流动和沿程损失流体运动时的流线为直线，且相互平行的流动称为均匀流动，否则称为非均匀流动。在均匀流动中，流体所受到的阻力只有不变的摩擦力，称为沿程阻力。由沿程阻力所做的功而引起的能量损失或水头损失与流程长度成正比，可称为沿程水头损失，简称沿程损失，用hf表示。造成沿程损失的原因是流体的黏性，因而这种损失的大小与流体的流动状态（层流或紊流）有密切关系。在均匀流动中，总水头线坡度是沿流程不变的，总水头是一条沿流程逐渐倾斜向下的直线。而测压管水头线则是与它平行的一条直线。第四页，共七十二页，2022年，8月28日非均匀流动和局部损失过流断面的大小，形状或方位沿流程发生急剧的变化，流体运动的速度也产生急剧的变化，这种流动为非均匀流动。在非均匀流动中，流体所受到的阻力是各式各样的，但都是集中在很短的流段内，这种阻力称为局部阻力。由局部阻力所引起的水头损失则称为局部水头损失，简称局部损失，用hr表示。在非均匀流动中，总水头线坡度是沿流程变化的，总水头是一条沿流程急剧倾斜向下的直线，而且测压管水头线也不一定与它相互平行。第五页，共七十二页，2022年，8月28日第二节流体运动的两种状态层流与紊流黏性流体总流的伯努利方程可以看出，要想应用此关系式计算有关工程实际问题，必须计算能量损失项，由于流体流动的能量损失与流动状态有很大关系，因此，我们首先讨论黏性流体流型。黏性流体的流动存在着两种不同的状态，即层流和紊流，这两种流动状态由英国物理学家雷诺（Reynolds）在1883年通过他的实验（即著名的雷诺实验）大量观察了各种不同直径玻璃管中的水流，总结说明了这两种流动状态。第六页，共七十二页，2022年，8月28日

一、雷诺实验

雷诺实验装置如下图所示。实验的步骤如下：

(1)首先将水箱A注满水，并利用溢水管H保持水箱中的水位恒定，然后微微打开玻璃管末端的调节阀C，水流以很小速度沿玻璃管流出。再打开颜色水瓶D上的小阀K，使颜色水沿细管E流入玻璃管B中。当玻璃管中水流速度保持很小时，看到管中颜色水呈明显的直线形状，不与周围的水流相混。这说明在低速流动中，水流质点完全沿着管轴方向直线运动，这种流动状态称为层流，如图(a)所示。雷诺实验

层流、紊流及过渡状态第七页，共七十二页，2022年，8月28日(2)调节阀C逐渐开大，水流速度增大到某一数值时颜色水的直线流将开始振荡，发生弯曲，如图(b)所示。(3)再开大调节阀C，当水流速度增大到一定程度时，弯曲颜色水流破裂成一种非常紊乱的状态，颜色水从细管E流出，经很短一段距离后便与周围的水流相混，扩散至整个玻璃管内，如图(c)所示。这说明水流质点在沿着管轴方向流动过程中，同时还互相掺混，作复杂的无规则的运动，这种流动状态称为紊流（或湍流）。如果将调节阀C逐渐关小，水流速度逐渐减小，则开始时玻璃管内仍为紊流，当水流速度减小到另一数值时，流体又会变成层流，颜色水又呈一明显的直线。但是，由紊流转变为层流时的流速要比由层流转变为紊流时的流速小一些。我们把流动状态转化时的流速称为临界流速，由层流转变为紊流时的流速称为上临界流速，以Vc′表示。由紊流转变为层流时的流速称为下临界速，以Vc表示。则表示。则。第八页，共七十二页，2022年，8月28日雷诺实验表明：①当流速大于上临界流速时为紊流；当流速小于下临界流速时为层流；当流速介于上、下临界流速之间时，可能是层流也可能是紊流，这与实验的起始状态、有无扰动等因素有关，不过实践证明，是紊流的可能性更多些。②在相同的玻璃管径下用不同的液体进行实验，所测得的临界流速也不同，黏性大的液体临界流速也大；若用相同的液体在不同玻璃管径下进行试验，所测得的临界流速也不同，管径大的临界流速反而小。第九页，共七十二页，2022年，8月28日二、流动状态的判别标准雷诺数综上可知，流体的流动状态是层流还是紊流，与流速、管径和流体的黏性等物理性质有关。雷诺根据大量的实验数据证明，流体的临界流速与流体的密度ρ和管径d成反比，而与流体的动力黏度μ成正比。他引出一个比例系数或这个比例系数，上式可写成等式称为临界雷诺数，是一个无量纲数。第十页，共七十二页，2022年，8月28日经过雷诺实验和他以后的许多学者如席勒（LudwigSchiller）的精密实验结果指明，对于非常光滑、均匀一致的直圆管，下临界雷诺数等于2320。但对于一般程度的粗糙壁管值稍低，约为2000，所以在工业管道中通常取下临界雷诺数。上临界雷诺数不易测得其精确数值，一般取为13800。于是得无数实验证明，不管流速多少、管内径多大、也不管流体的运动黏度如何，只要雷诺数相等，它们的流动状态就相似。所以雷诺数是判别流体流动状态的准则数，即：第十一页，共七十二页，2022年，8月28日当流体流动的雷诺数时，流动状态为层流；当时，则为紊流；当时，流动状态可能是层流，也可能是紊流，处于极不稳定的状态，任意微小扰动都能破坏稳定，变为紊流。显然，上临界雷诺数在工程上一般没有实用意义，故通常都采用下临界雷诺数作为判别流动状态是层流或紊流的准则数。即：是层流是紊流第十二页，共七十二页，2022年，8月28日工程中实际流体（如水、空气、蒸汽等）的流动，几乎都是紊流，只有黏性较大的液体（如石油、润滑油、重油等）在低速流动中，才会出现层流。流体在非圆形管道中流动时，可用水力半径R作为特征长度，其临界雷诺数则为雷诺数之所以能作判别层流和紊流的标准，可根据雷诺数的物理意义来解释。黏性流体流动时受到惯性力和黏性力的作用，这两个力用量纲可分别表示为惯性力黏性力第十三页，共七十二页，2022年，8月28日

由此可知雷诺数是惯性力与黏性力的比值。雷诺数的大小表示了流体在流动过程中惯性力和黏性力哪个起主导作用。雷诺数小，表示黏性力起主导作用，流体质点受黏性的约束，处于层流状态；雷诺数大表示惯性力起主导作用，黏性不足以约束流体质点的紊乱运动，流动便处于紊流状态。第十四页，共七十二页，2022年，8月28日三、不同流动状态的水头损失规律如果将两根测压管接在雷诺实验装置中玻璃管B的前后两端，如图6-7所示，可测出有效截面1-1和2-2间的能量损失，并找出管中平均流速与能量损失之间的关系。列截面1-1和2-2的伯努利方程由于玻璃管是等截面管，所以，可见，测压管中的水柱高差即为有效截面1-1和2-2间的压头损失。并令，另外玻璃管是水平放置的，即，于是上式可写成第十五页，共七十二页，2022年，8月28日将测得的平均流速和相应的压头损失，在对数坐标上表示出，如图所示。先做层流到紊流的试验，当流速逐渐增加时，与成正比增大，如图中的OAB直线。当流速增加到一定程度时层流变为紊流，突然从B点上升到C点。以后再增大流速时，要比

增加得快，如图中的CD线，其斜率比OAB线的斜率大，此后若将流速逐渐减小，则与的关系曲线沿DCAO线下降。A点和B点各为相应的下临界流速和上临界流速，ABC为过渡区。第十六页，共七十二页，2022年，8月28日由实验所得的图可知，当时，即层流时，与的一次方成正比；当时，即紊流时，与Vm成正比。m值与管壁粗糙度有关：对于管壁非常光滑的管道m＝1.75；对于管壁粗糙的管道m＝2.0。所以紊流中的压头损失比层流中的要大。从上述讨论可以得出，流型不同，其能量损失与速度之间的关系差别很大，因此，在计算管道内的能量损失时，必须首先判别其流态（层流，紊流），然后根据所确定的流态选择不同的计算方法。第十七页，共七十二页，2022年，8月28日第三节圆管中的层流黏性流体在圆形管道中作层流流动时，由于黏性的作用，在管壁上流体质点的流速等于零，随着流层离开管壁接近管轴时，流速逐渐增加，至圆管的中心流速达到最大值。本节要讨论圆管中的速度分布，内摩擦力分布，流量和水头损失的计算等问题。一、分析层流运动的两种方法第一种方法是从N-S方程式出发，结合层流运动的数学特点建立常微分方程。第二种方法是从微元的受力平衡关系出发建立层流的常微分方程。第十八页，共七十二页，2022年，8月28日1.N-S方程分析法（1）只有轴向运动P1P1P2P2VVyzxττlRr第十九页，共七十二页，2022年，8月28日第二十页，共七十二页，2022年，8月28日（2）流体运动定常，不可压缩第二十一页，共七十二页，2022年，8月28日（3）速度分布的轴对称性。在管中的过流断面上，各点的流速是不同的，但圆管流动是对称的，因而速度uy沿x方向，z方向以及任意半径方向的变化规律相同，且只随r变化。（4）等径管路压强变化的均匀性。单位长度上的压强变化率可以用任何长度上的压强变化的平均值表示。（5）管路中质量力不影响流体的流动性能。第二十二页，共七十二页，2022年，8月28日第二十三页，共七十二页，2022年，8月28日当r＝0时，管轴线上的流体速度有最大值则圆管层流的运动常微分方程第二十四页，共七十二页，2022年，8月28日2.受力平衡分析法在层流中切应力可用牛顿内摩擦定律来表示，即P1P1P2P2VVyzxττlRr第二十五页，共七十二页，2022年，8月28日二、圆管层流的速度分布和切应力分布为了求出速度分布，现将式积分整理得根据边界条件确定积分常数，在管壁上，，则代入上式得斯托克斯公式第二十六页，共七十二页，2022年，8月28日表明在过流断面上的流速与半径成二次旋转抛物面关系，如图所示。在管轴上，流速达到最大值：

圆管中层流的速度分布

根据牛顿内摩擦定律说明在层流的过流断面上，切应力与半径成正比，切应力的分布规律见图，称为切应力的K字形分布。图中箭头表示慢速流层作用在快速流层上的切应力的方向

管壁处的切应力为圆管层流的切应力分布第二十七页，共七十二页，2022年，8月28日

三、圆管层流的流量和平均流速现求圆管中层流的流量：在圆管中半径r处取厚度为dr的一个微小圆环，其断面积为管中流量为第二十八页，共七十二页，2022年，8月28日管中的流量为

这就是层流管流的哈根-泊肃叶（Hagen-Poiseuille）流量定律。该定律说明：圆管中流体作层流流动时，流量与单位长度的压强降和管半径的四次方成正比。它与精密实验的测定结果完全一致，所谓N-S方程的准确解主要是通过这一公式得到确认。这一定律验证了层流理论和实践结果之间完美的一致性。计算流体的动力黏度第二十九页，共七十二页，2022年，8月28日

即圆管中层流流动时，平均流速为最大流速的一半。工程中应用这一特性，可直接从管轴心测得最大流速从而得到管中的流量，这种测量层流的流量的方法是非常简便的。这说明圆管层流中最大速度是平均速度的两倍，其速度分布很不均匀。第三十页，共七十二页，2022年，8月28日四、圆管层流的沿程损失流体在等径圆管中作层流流动时，流体与管壁及流体层与层之间的摩擦，将引起能量损失，这种损失为沿程损失。根据伯努利方程可知，等径管路的沿程损失就是管路两端压强水头之差，即在雷诺实验中曾经指出，层流沿程损失与速度的一次方成正比，现在知道其比例常数k1，理论分析和实验结果是一致的。工程计算中，圆管中的沿程水头损失习惯用下式表示。第三十一页，共七十二页，2022年，8月28日令λ称为层流的沿程阻力系数或摩阻系数，它仅与雷诺数有关。上式是计算沿程损失的常用公式，称为达西（H.Darcy）公式。用泵在管路中输送流体，常常要求计算用来克服沿程阻力所消耗的功率。若管中流体的重度和流量均为已知，则流体以层流状态在长度为l的管中运动时所消耗的功率为第三十二页，共七十二页，2022年，8月28日五、层流起始段圆管层流的速度抛物线规律并不是刚入管口就能立刻形成的，而是要经过一段距离，这段距离叫做层流起始段。在起始段内，过流断面上的均匀速度不断向抛物面分布规律转化，因而在起始段内流体的内摩擦力大于完全扩展了的层流中的流体内摩擦力，反映在沿程阻力系数上，成为在液压设备的短管路计算中，L很有实际意义。为了简化计算，有时油压短管中常取起始段的长度计算公式这样就适当修正了起始段的影响第三十三页，共七十二页，2022年，8月28日第四节圆管中流体的紊流流动

一、运动要素的脉动与时均化

流体质点在运动过程中，不断地互相掺混，引起质点间的碰撞和摩擦，产生了无数旋涡，形成了紊流的脉动性，这些旋涡是造成速度等参数脉动的原因。紊流是一种不规则的流动状态，其流动参数随时间和空间作随机变化，因而本质上是三维非定常流动，且流动空间分布着无数大小和形状各不相同的旋涡。因此，可以简单地说，紊流是随机的三维非定常有旋流动。流动参数的变化称为脉动现象。从本章第二节中的雷诺实验可知，当雷诺数大于上临界雷诺数时，管内流动便会出现杂乱无章的紊流，流体运动的参数，如速度、压强等均随时间不停地变化。在紊统流动时，其有效截面上的切应力、流速分布等与层流时有很大的不同。第三十四页，共七十二页，2022年，8月28日在流场中的某一空间点如用高精度的热线热膜风速仪来测量流体质点的速度，则可发现速度是随时间而脉动的，如图所示。从图中可见紊流中某一点的瞬时速度随时间的变化极其紊乱，似乎无规律可循。但是在一段足够长时间内，即可发现这个变化始终围绕着某一平均值，在其上下脉动，这就反映了流体质点掺混过程中脉动现象的实质，揭示了紊流的内在规律性。

脉动速度时间间隔T内，速度的平均值称为时均速度，定义为第三十五页，共七十二页，2022年，8月28日于是流场的紊流中某一瞬间，某一点瞬时速度可用下式表示。其中，ux′称为脉动速度，由于ux′流体质点在紊流状态下作不定向的杂乱无章的流动，脉动速度ux′有正有负。但是在一段时间内，脉动速度的平均值为零，即第三十六页，共七十二页，2022年，8月28日对于其他的流动要素，均可采用上述方法，将瞬时值视为由时均量和脉动量所构成，即在实际工程和紊流试验中，广泛应用的普通动压管只能测量它的时均值，所以在研究和计算紊流流动问题时，所指的流动参数都是时均参数，如时均速度，时均压强等。为书写方便起见，常将时均值符号上的“一”省略。我们把时均参数不随时间而变化的流动，称为准定常紊流。第三十七页，共七十二页，2022年，8月28日

二、混合长度理论紊流的混合长度理论是普朗特在1925年提出的，它比较合理地解释了脉动对时均流动的影响，为解决紊流中的切应力，速度分布及阻力计算等问题奠定了基础，是工程中应用最广的半经验公式。在黏性流体层流流动时，切向应力表现为由内摩擦力引起的摩擦切向应力。在黏性流体紊流流动中，与层流一样，由于流体的黏性，各相邻流层之间时均速度不同，从而产生摩擦切向应力。另外，由于流体有横向脉动速度，流体质点互相掺混，发生碰撞，引起动量交换，因而产生附加切应力因此紊流中的切向应力是由摩擦切向应力和附加切应力两部分组成。1.摩擦切向应力摩擦切向应力可由牛顿内摩擦定律式求得第三十八页，共七十二页，2022年，8月28日2．附加切向应力附加切向应力可由普朗特混合长度理论推导出来。按普朗特的动量传递理论，这一现象可用动量定理解释为这些动量交换值应等于外力（即摩擦力）的冲量。摩擦阻力与动量的关系为

混合长度示意图第三十九页，共七十二页，2022年，8月28日上式中，两部分应力的大小随流动的情况而有所不同，当雷诺数较小时，t1占主导地位。随着雷诺数增加，t2作用逐渐加大，当雷诺数很大时，即在充分发展的紊流中，t2远远大于t1，t1可以忽略不计。第四十页，共七十二页，2022年，8月28日

三、圆管紊流的速度分布根据卡门实验，混合长度l与流体层到圆管管壁的距离y的的函数关系可以近似表示为1.速度分布在壁面附近时K为实验常数，通常称为卡门通用常数，可取为0.4。第四十一页，共七十二页，2022年，8月28日上式就是混合长度理论下推导的紊流流速分布规律。由此可知，在紊流运动中，过流断面上的速度成对数曲线分布，管轴附近各点上的速度大大平均化了。根据实测，紊流的过流断面上，平均速度v是管轴处流速umax的0.75～0.87倍。紊流速度的对数分布规律比较准确，但公式复杂不便使用。根据光滑管紊流的实验曲线，紊流的速度分布也可以以近似地用比较简单的指数公式表示为当Re数不同时，对应的指数n也不相同，n＝1/4～1/10第四十二页，共七十二页，2022年，8月28日2.层流底层，水力光滑管与水力粗糙管黏性流体在管中作紊流流动时，管壁上的流速为零，从管壁起流速将从零迅速增大，在紧贴管壁处一极薄层内，速度梯度很大，黏性摩擦切应力起主要作用，处于层流状态，称为层流底层，距管壁稍远处有一黏性摩擦切应力和紊流附加切应力同样起作用的薄层，称为层流到紊流的过渡区；之后便发展成为完全紊流，称为紊流核心。如图所示。层流底层的厚度并不是固定的，它与流体的运动黏度，流体的运动速度，管径及紊流的沿程阻力系数有关。层流底层的厚度在紊流水流中通常只有十分之几毫米。层流底层的厚度可由下列两个半经验公式计算管道中

明渠中紊流结构1层流底层；2过渡区；3紊流核心第四十三页，共七十二页，2022年，8月28日从上式可以看出，层流底层的厚度取决于流速的大小，流速越高，层流底层的厚度越薄，反之越厚。层流底层虽然很薄，但是它对紊流流动的能量损失以及流体与管壁之间的热交换起着重要的影响。例如层流底层的厚度越薄，换热就越强，流动阻力也越大。任何管子由于材料、加工、使用条件和年限等影响，管道内壁总是凹凸不平，其管壁粗糙凸出部分的平均高度Δ称为管壁的绝对粗糙度，而把Δ与管内径d的比值称为管壁的相对粗糙度。第四十四页，共七十二页，2022年，8月28日从式可知，层流底层的厚度随着雷诺数的减小而增厚，当δ＞Δ时，则管壁的粗糙凸出的高度完全被层流底层所掩盖，如图所示。这时管壁粗糙度对流动不起任何影响，液体好象在完全光滑的管道中流动一样。这种情况下的管道称为“水力光滑”管，简称为“光滑管”。当δ＜Δ时，即管壁的粗糙凸出部分突出到紊流区中，如图所示。当流体流过凸出部分时，在凸出部分后面将引起旋涡，增加了能量损失，管壁粗糙度将对紊流流动发生影响。这种情况下的管道称为“水力粗糙”管，简称“粗糙管”。在这里需要说明的是，。对同一绝对粗糙度Δ的管道，当流速较低时，其层流底层厚度δ可能大于Δ，当流速较高时，其层流底层厚度δ可能小于Δ，因此同一根管道，在不同的流速下，可能是光滑管也可能是粗糙管第四十五页，共七十二页，2022年，8月28日四、圆管紊的水头损失由于所讨论的是均匀流，管壁处的摩擦力仍可由下式计算Τ0的成因很复杂，目前仍不能用解析法求得，只能从实验资料的分析入手来求解。实验指出：Τ0与均速，雷诺数，管壁绝对粗糙度与管子半径的比值都有关系，可由下式表示称为紊流的沿程阻力系数，只能由实验确定第四十六页，共七十二页，2022年，8月28日第五节圆管流动沿程阻力系数的确定层流流动的沿程阻力系数的计算公式已在第四节中用理论分析的方法推导出。由于紊流流动的复杂性，管壁粗糙度又各不相同，所以紊流流动的沿程阻力系数λ值还不能与层流一样完全从理论上来求得，而依靠对实验测得的数据进行整理归纳，得到经验公式。有许多学者和工程师做过λ值的实验研究工作，在这类实验研究中，以1933年发表的德国尼古拉兹（J．Nikuradse）实验最有系统、范围最广，具有一定的代表性。管壁的绝对粗糙度Δ不能表示出管壁粗糙度的确切状况及其与流动阻力的关系，而相对粗糙度Δ/d可以表示出管壁粗糙状况与流动阻力关系，是不同性质或不同大小的管壁粗糙状况的比较标准。第四十七页，共七十二页，2022年，8月28日

一、尼古拉兹实验各种管道的管壁都有一定的粗糙度，但管壁的粗糙度是一个既不易测量也无法准确确定的数值。为了避免这个困难，尼古拉兹采用人工方法制造了各种不同粗糙度的圆管，即用漆胶将颗粒大小一样的砂粒均匀地贴在管壁上，砂粒直径表示管壁粗糙突出高度。实验时采用砂粒直径Δ（即管壁的绝对粗糙度）与圆管直径d之比Δ/d表示以直径计算的管壁的相对粗糙度，用三种不同管径的圆管（25mm、50mm、l00mm）和六种不同的值Δ/d（1/30、1/60、1/120、1/252、1/504、1/1014）在不同的流量下进行实验。对每一个实验测量出断面平均流速v和沿程阻力损失hf，再由公式计算出沿程阻力系数λ与雷诺数Re。为了便于分析起见，将所有的实验结果画在同一对数坐标纸上，以lgRe为横坐标，以lg100λ为纵坐标，并以Δ/d为参变数，即属于同一Δ/d的实验点用线连起来。Re从6×102~106，包括层流在内，这个实验结果反映了圆管流动中的全部情况，如图所示。现在将尼古拉兹实验曲线分成五个区域加以分析：第四十八页，共七十二页，2022年，8月28日尼古拉兹实验曲线第四十九页，共七十二页，2022年，8月28日1．第Ⅰ区域层流区当Re<2320（lgRe<3.36）时，所有实验点都落在同一条直线ab上。这说明在层流流动时，沿程阻力系数λ与管壁的粗糙度无关，而仅与雷诺数Re有关，即λ＝f（Re）图中的直线ab恰好满足此方程，说明沿程损失hf与过流断面平均流速v一次方成正比，实验进一步证实了层流理论分析的正确性。

第五十页，共七十二页，2022年，8月28日2．第Ⅱ区域临界区层流到紊流的过渡区

2320<Re<4000（lgRe＝3.36～3.6），当雷诺数超过2320时，流动状态开始发生变化，实验点落在直线bc附近，集中在一个很狭小的三角形区域内，这区域就是上、下临界雷诺数之间的不稳定区域，也就是层流到紊流的过渡区。第五十一页，共七十二页，2022年，8月28日3．第Ⅲ区域紊流水力光滑管区4000<Re<22.2（d/Δ）8/7，各种不同的实验点都落在同一倾斜直线cd上，在这区域内沿程阻力系数λ仍与粗糙度Δ无关，而仅与Re有关，即λ＝f（Re）。这是由于层流底层的厚度还较大，足以掩盖粗糙突出高度Δ的影响，这区域就是紊流水力光滑管区。但是不同相对粗糙度所占该直线上区段的长短也不同,值越大所占区段越短,值越小所占区段越长。这是由于在相同的雷诺数下，即在同样的层流底层厚度的情况下，较大的粗糙突出高度Δ先露出层流底层，变为水力粗糙管。第五十二页，共七十二页，2022年，8月28日对于4000<Re<105时，布拉休斯（H.Blasius）归纳了大量的实验数据，得出下列计算式

在105<Re<3×106范围内，尼古拉兹结合普朗特的理论分析得到的公式为更通用的公式是这就是光滑管的普朗特阻力公式，即图中的cd线。

第五十三页，共七十二页，2022年，8月28日4．第Ⅳ区域紊流水力粗糙管过渡区

当雷诺数Re继续逐渐增加时，层流底层的厚度逐渐减小，相对粗糙度大的实验点先脱离直线cd，进入Ⅳ区，较小的实验点也随着Re的增加先后脱离直线cd，进入Ⅳ区。也就是说，水力光滑管先后相继变为水力粗糙管。在这个过渡区内。λ值与Re及Δ/d都有关，即，情况比较复杂，计算λ的经验公式也比较多，如可用柯列布茹克（Colebrook）提出的经验公式

第五十四页，共七十二页，2022年，8月28日柯列布茹克公式不仅适用于过渡区，也适用于Re数从4000到10的整个紊流的Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ三个区域。柯列布茹克公式比较复杂，它有一个简化的形式，称为阿里特苏里公式

第五十五页，共七十二页，2022年，8月28日5．第Ⅴ区域紊流水力粗糙管区Re＞597（d/Δ）9/8随着雷诺数继续增加，各种相同的实验点所连成的线先后进入区域Ⅳ后部的Ⅴ区域，所有的线都是平行于横坐标的直线，也就是说同一相对粗糙度的圆管有相同的λ值，而与Re无关，仅与相对粗糙度Δ/d有关，这是因为此时层流底层的厚度已经非常薄，管壁粗糙度的作用已大大超过了层流底层内流体的黏性作用。在水力粗糙区λ值仅是Δ/d的函数，而同一相对粗糙度的圆管中λ是一个常数，沿程损失与平均流速的平方成正比，所以这个区域称为平方阻力区。

第五十六页，共七十二页，2022年，8月28日平方阻力区的λ值可按尼古拉兹归纳的公式进行计算，即由式可知，在这区域中，要使两个流动的沿程阻力系数λ值相等，只要使这两个流动（模型与实型）的相对粗糙度Δ/d相等即可，无需雷诺数Re相等。因此紊流粗糙管平方阻力区又称为“自动模化区”，简称“自模区”。以上介绍了尼古拉兹用人工粗糙度的管子所进行的实验。由此实验可知，流动在图中不同的区域里，沿程阻力系数λ值的计算公式是不同的。因此在计算沿程损失时，应先判别流动处在哪个区域，然后采用相应的公式去计算λ值。

第五十七页，共七十二页，2022年，8月28日二、莫迪图尼古拉兹的实验曲线是用各种不同的人工均匀砂粒粗糙度的圆管进行实验得到的，这与工业管道内壁的自然不均匀粗糙度有很大差别。因此在进行工业管道的阻力计算时，不能随便套用图去查取λ值。莫迪（F.Moody）根据光滑管、粗糙管过渡区和粗糙管平方阻力区中计算λ的公式绘制了莫迪实用曲线，如图所示。第五十八页，共七十二页，2022年，8月28日该图按对数坐标绘制，表示λ与Δ/d，Re之间的函数关系。整个图线分为五个区域，即层流区、临界区（相当于尼古拉兹曲线的过渡区）、光滑管区、过渡区（相当于尼古拉兹曲线的紊流水力粗糙管过渡区）、完全紊流粗糙管区（相当于尼古拉兹曲线的平方阻力区）。利用莫迪曲线图确定沿程阻力系数λ值是非常方便的。在实际计算时根据Re和Δ/d，从图中查得值λ，即能确定流动是在哪一区域内。第五十九页，共七十二页，2022年，8月28日第六节非圆形截面管道的沿程损失计算在工程上大多数管道都是圆截面的，但也常用到非圆形截面的管道，如方形和长方形截面的风道和烟道。此外，锅炉尾部受热面中的管束（如空气预热器）也属非圆形截面的管道。通过大量试验证明，圆管沿程阻力的计算公式仍可适用于非圆形管道中紊流流动沿程阻力的计算，圆管截面的特征长度是直径d，非圆形截面的特征长度是水力半径R，而且已知两者的关系为d＝4R。因此，只要将达西公式中的d改为4R便可应用

计算λ的公式可以这样处理：将圆管直径d用4R代替，将圆管流动的雷诺数用非圆管流动的雷诺数的4倍置换,布拉休斯公式可改写为第六十页，共七十二页，2022年，8月28日工程上为了能将达西公式广泛应用于非圆形截面的均匀流动，常将其改写为

由此，流量Q及速度v的计算公式为式中，i为单位长度管道上的沿程损失；c称为蔡西系数；K称为流量模数。上述三式由蔡西首先提出，称为蔡西公式。用蔡西公式进行计算第六十一页，共七十二页，2022年，8月28日第七节边界层理论基础边界层理论是普朗特在1904年提出的。该理论将雷诺数较大的实际流体看作由两种不同性质的流动所组成。一种是固体边界附近的边界层流动，黏滞性的作用在这个流动里不能忽略，但边界层一般都很薄。另一种是边界层以外的流动，在这里黏滞性左右可以忽略，流动可以按简单的理想流体来处理。普朗特这种处理实际流体运动的方法，不仅使历史上许多似是而非的流体力学疑问得以澄清，更重要的是，为近代流体力学的发展开辟了新的途径，所以，边界层理论在流体力学中有着极其深远的意义。一、边界层的概念实际流体与固体相接触时，固体边界上的流体质点必然贴附在边界上，不会与边界发生相对运动，因此，平板上质点的流速必定为零，在其附近的质点由于黏性的作用，流速也有不同程度的减小，形成了横向的流速梯度，离板越远流速越接近于原有的来流流速u0。如果规定在u＝0.99u0的地方作为边界层的界限，则在该界限以外，由于流速梯度甚小，已完全可以近似看作为理想流体。因此，边界层的厚度定义为从平板壁面至u＝0.99u0处的垂直距离，以δ表示。第六十二页，共七十二页，2022年，8月28日边界层开始于平板的首端，越往下游，边界层越发展，即黏滞性的影响逐渐从边界向流区内部发展。在边界层的前部，由于厚度较小，流速梯度更大，因此黏滞力作用较大，这时的边界层内的流动将属于层流状态，这种边界层称为层流边界层。之后，随着边界层厚度增大，流速梯度减小，黏性作用也随之减小，边界层内的流态将从层流经过过渡段变为紊流，边界层也将转变为紊流边界层。二、平板边界层的厚度边界层内由过渡段转变为紊流的位置称为边界层的转折点xc，相应的雷诺数称为临界边界层雷诺数Rec，其值大小与来流的紊动强度及壁面粗糙度等因素有关，由实验得到值Rec为当平板很长时，层流边界层和过渡段的长度与紊流边界层的长度相比，是很短的。通过理论分析和实验都证实了层流边界层的厚度和紊流边界层的厚度分别为层流边界层紊流边界层第六十三页，共七十二页，2022年，8月28日三、边界层分离边界层分离是边界层流动在一定条件下发生的一种极重要的流动现象。不论是边界缓变还是边界突变或局部突出时边界层分离原因本质上是一样的，都是由流体流动减速增压而导致的。边界层分离现象还会导致物体的绕流阻力，绕流阻力是指物体在流场中所受到的流动方向向上的流体阻力（垂直流动方向上的作用力为升力）。根据实际流体边界层理论，可以分析得出绕流阻力实际上由摩擦阻力和压强阻力（或称压