结构的极限荷载

结构的极限荷载第一页，共三十一页，2022年，8月28日结构的弹性分析和设计：12.1概述基本假定：第一，结构的材料服从虎克定律，应力与应变成正比；

第二，结构的变形和位移都是微小的。内力计算和位移计算都可以应用叠加原理弹性设计时的强度条件：结构的塑性分析和设计：充分估计结构在超越屈服极限以后的承载能力。塑性设计时的强度条件：极限状态与极限荷载：结构变形随荷载增加而增大。当荷载达到某一临界值时，不再增加荷载变形也会继续增大，这时结构丧失了进一步的承载能力，这种状态称为结构的极限状态，此时的荷载称为极限荷载，第二页，共三十一页，2022年，8月28日计算假定：材料为理想弹塑性材料。

弹性阶段：OA段应力与应变成正比，σ=Eε；

塑性阶段：AB段，应力达到屈服极限σy，应变达εy=σy/E时；AB平行于ε轴，应力σ=σy为常量而应变ε可无限增长。

卸载规律：塑性阶段的某一点C卸载，相应的路径如图中平行于AO的虚线CD所示，即卸载的规律与弹性阶段相同。

残余应变：当应力减至零时，材料有残余应变，如图中OD。本章采用比例加载的假定：所有的荷载均为单调增加，不出现卸载现象；

在加载过程中，所有的荷载均保持固定的比例，因而可以用同一个参数（荷载因子）的倍数来表示。12.1概述第三页，共三十一页，2022年，8月28日12.2极限弯矩和塑性铰极限弯矩

承受纯弯曲作用的等截面梁，且截面有一根对称轴，弯矩M作用在梁的对称面内。

实验表明，在梁的变形过程中，无论弹性阶段还是塑性阶段，梁的任一横截面始终保持为平面，即在塑性阶段仍然可以沿用“平截面假定”。

随着弯矩的增大，梁的各部分逐渐由弹性阶段发展到塑性阶段。第四页，共三十一页，2022年，8月28日12.2极限弯矩和塑性铰(1)弹性阶段，如图(b)所示：(2)弹塑性阶段，如图(c)、(d)、(e)所示：弯矩增加到屈服弯矩My后，上边缘开始屈服；随着M继续增大，弹性区逐渐缩小，塑性区逐渐扩大；

在这一过程中，中性轴逐渐偏离形心轴而下移；中性轴与形心轴重合。极限弯矩第五页，共三十一页，2022年，8月28日12.2极限弯矩和塑性铰(3)极限状态，如图(f)所示：

弯矩增加的极限状态是弹性区终于消失，上下两个塑性区连成一片，整个截面上正应力的绝对值都达到了屈服极限。极限状态的弯矩是截面所能承受的最大弯矩，记作Mu，称为极限弯矩。极限弯矩第六页，共三十一页，2022年，8月28日12.2极限弯矩和塑性铰设极限状态截面受拉区和受压区面积分别为A1和A2，由平衡条件可知

在极限状态下，截面的受拉区面积和受压区面积相等，中性轴重合于截面的等面积轴，可得极限弯矩：S1和S2分别为受拉区面积A1和受压区面积A2对等面积轴的静矩；WS称为截面的塑性抵抗矩；极限弯矩极限弯矩第七页，共三十一页，2022年，8月28日12.2极限弯矩和塑性铰截面的形式系数反映截面在弹性阶段之后抵抗更大弯矩的潜力对于宽度和高度各为b和h的矩形截面，矩形截面的极限弯矩为屈服弯矩的1.5倍对于圆形截面，α=1.70；对于常用的在腹板对称面内受弯的工字形截面，α可以统一地取为1.15。极限弯矩第八页，共三十一页，2022年，8月28日例：已知材料的屈服极限，求图示截面的极限弯矩。100mm20mm解:A1形心距下端0.045m,A2形心距上端0.01167m,A1与A2的形心距为0.0633m.12.2极限弯矩和塑性铰第九页，共三十一页，2022年，8月28日12.2极限弯矩和塑性铰12.2.2塑性铰的概念塑性铰普通铰

在极限状态下，截面上各点的正应力均达到了屈服极限，因此不能继续增大。但是，在极限弯矩的作用下，截面各点的正应变却可以在符合平截面假定的条件下继续增大，从而使得截面两侧的杆件绕着这个截面发生有限的相对转动，类似于杆件在该处铰接的情况，这时称该截面处出现了一个塑性铰。塑性铰与普通铰的区别：塑性铰能传递弯矩，普通铰不能；塑性铰是单向铰，截面两侧只能在极限弯矩方向上发生相对转动，普通铰可以自由发生相对转动。塑性铰在卸载时会消失，普通铰不会；塑性铰随荷载分布而出现于不同截面，普通铰的位置则是固定的。第十页，共三十一页，2022年，8月28日12.2极限弯矩和塑性铰12.2.2塑性铰的概念破坏机构结构由于出现塑性铰而形成的机构称为破坏机构。破坏机构可以是整体性的，也可能是局部的。第十一页，共三十一页，2022年，8月28日12.3静定梁的极限荷载My=Wσy=bh2σy/6，Mu=WSσy=bh2σy/4

弹性阶段：FP<FPy=4My/l弹塑性阶段：FPy<FP<FPu塑性区从跨中向两端扩展，从上、下边缘向中性轴扩展，但上、下两个塑性区尚未连成一片，弹性区仍是连续的。第十二页，共三十一页，2022年，8月28日12.3静定梁的极限荷载塑性阶段：FP=FPu=4Mu/l破坏机构计算静定梁极限荷载的步骤：确定塑性铰的数量。静定梁出现1个塑性铰即形成破坏机构；

确定塑性铰的位置。静定梁的塑性铰总是出现在M/Mu取得最大值的截面；利用平衡条件求该截面的弯矩并令其等于极限弯矩，就可以求得极限荷载。第十三页，共三十一页，2022年，8月28日例12-1已知变截面简支梁的极限弯矩为Mu(x)=Mu(1+0.5x/l)，梁受全跨均布荷载作用，求荷载集度的极限值qu。x2+4lx-2l2=0梁各截面的弯矩破坏机构=12.3静定梁的极限荷载第十四页，共三十一页，2022年，8月28日12.3静定梁的极限荷载例：已知屈服应力为。求极限荷载。Pl/2l/210020解：极限弯矩为梁中最大弯矩为令，得也可列虚功方程Pu/2Pu本例中，截面上有剪力，剪力会使极限弯矩值降低，但一般影响较小，可略去不计。第十五页，共三十一页，2022年，8月28日12.4超静定梁的极限荷载12.4.1单跨超静定梁的极限荷载

梁端部的弯矩绝对值最大，因此最先达到屈服值My。矩形截面α=1.5，则极限荷载为屈服荷载的2倍，可见超静定梁在弹性极限后的承载潜力很大。逐渐加载法（增量法）第十六页，共三十一页，2022年，8月28日12.4超静定梁的极限荷载12.4.1单跨超静定梁的极限荷载如果仅仅要求计算极限荷载，则无须追踪上述过程，而只要考虑极限状态下的平衡条件。破坏机构

静力法。由问题的对称性极易判断破坏机构中三个塑性铰的位置，并画出极限状态下的弯矩图，利用平衡条件便可求得极限荷载。虚功法（机动法）。与静力法相同，首先判断塑性铰的位置，确定破坏机构图。然后假设虚位移状态：虚功原理第十七页，共三十一页，2022年，8月28日12.4超静定梁的极限荷载12.4.1单跨超静定梁的极限荷载梁中的塑性铰总是出现在M/Mu取得最大值的截面，可能出现塑性铰的位置有：固定支座或滑动支座；集中力的作用点；阶梯型梁的截面改变处等。例12-2试求图示变截面梁的极限荷载。破坏机构1破坏机构3破坏机构2真实穷举法第十八页，共三十一页，2022年，8月28日12.4超静定梁的极限荷载Pl/3l/3Pl/3例：求图示等截面梁的极限荷载。极限弯矩为Mu。解：1.用穷举法求解共有三种可能的破坏机构：（1）A、B出现塑性铰（2）A、C出现塑性铰（3）B、C出现塑性铰第十九页，共三十一页，2022年，8月28日12.4超静定梁的极限荷载12.4.2连续梁的极限荷载连续梁极限荷载，补充两条假定：

梁的各跨均为等截面杆（不同跨的杆件截面可以不同）；

梁所受的荷载方向都相同。

工程中的连续梁大部分都满足这两条假定。单跨独立破坏相邻跨联合破坏在各跨等截面、荷载方向相同条件下，破坏机构只能在各跨内独立形成。可能的破坏机构第二十页，共三十一页，2022年，8月28日例12-3试求图示连续梁极限荷载(q为荷载因子)，各跨截面极限弯矩从左到右依次为1.5Mu、Mu、2Mu。12.4超静定梁的极限荷载12.4.2连续梁的极限荷载作各跨独立破坏时的弯矩图，图中的三个矩形给出了各截面正负弯矩的界限。所作的弯矩图既不能越出这一界限，又必须在足够多的点上达到这一界限，以保证形成破坏机构。在支座截面，极限弯矩应取左右两个值中的较小者。第三跨弯矩图中，如截面E弯矩达到极限值，截面F的弯矩必然超出极限值，这是不允许的第二十一页，共三十一页，2022年，8月28日12.4超静定梁的极限荷载12.4.2连续梁的极限荷载其次，利用平衡条件反求各跨的破坏荷载。第一跨：第二跨：第三跨：例12-3试求图示连续梁极限荷载(q为荷载因子)，各跨截面极限弯矩从左到右依次为1.5Mu、Mu、2Mu。第二十二页，共三十一页，2022年，8月28日例：求图示连续梁的极限荷载。各跨分别是等截面的,AB、BC跨的极限弯矩为Mu，CD跨的极限弯矩为3Mu。解：先分别求出各跨独自破坏时的可破坏荷载.（1）AB跨破坏时0.8PPPq=P/aaaaaa2a0.8PPPq=P/a（2）BC跨破坏时0.8PPPq=P/a（3）CD跨破坏时有三种情况：第二十三页，共三十一页，2022年，8月28日例：求图示连续梁的极限荷载。各跨分别是等截面的,AB、BC跨的极限弯矩为Mu，CD跨的极限弯矩为3Mu。0.8PPPq=P/aaaaaa2a0.8PPPq=P/a解：先分别求出各跨独自破坏时的可破坏荷载.（1）AB跨破坏时（2）BC跨破坏时（3）CD跨破坏时0.8PPPq=P/a0.8PPPq=P/a第二十四页，共三十一页，2022年，8月28日12.5比例加载的一般定理及其应用12.5.1可接受荷载和可破坏荷载单向机构条件：结构的整体或部分出现了数量足够的塑性铰，形成了破坏机构，能在荷载作用下发生单向运动，荷载通过其运动作正功。

平衡条件：结构整体或任一局部均满足静力平衡条件。

弯矩极限条件：结构任一截面的弯矩的绝对值均不大于该截面的极限弯矩（设截面受正负弯矩时的极限弯矩相等）。极限状态必须满足的三个条件：可破坏荷载可接受荷载第二十五页，共三十一页，2022年，8月28日12.5比例加载的一般定理及其应用12.5.2一般定理定理1：极小定理(上限定理)极限荷载是所有可破坏荷载中的最小值极限荷载是所有可接受荷载中的最大值极限荷载值只有一个确定值。定理2：极大定理(下限定理)定理3：惟一性定理12.5.3定理的应用确定极限荷载的上下限。求极限荷载的近似值。求极限荷载的精确值。

穷举法：列出所有破坏机构，对这些机构求相应的可破坏荷载，根据极小定理，其中最小的就是极限荷载试算法：选择最有可能的破坏机构，依据惟一性定理，如该荷载既是可破坏荷载又是可接受荷载即为极限荷载第二十六页，共三十一页，2022年，8月28日12.5比例加载的一般定理及其应用12.5.3定理的应用求极限荷载的精确值。

穷举法：列出所有破坏机构，对这些机构求相应的可破坏荷载，根据极小定理，其中最小的就是极限荷载试算法：选择最有可能的破坏机构，依据惟一性定理，如该荷载既是可破坏荷载又是可接受荷载即为极限荷载

以例12-2为例。如果在对机构1求得FP1=7.5Mu/l后，作相应弯矩图，可发现它满足弯矩极限条件，这样就可肯定FPu=FP1，而不必再考虑其他破坏机构了。另一方面，容易判断相应于机构2和3的弯矩图都不满足弯矩极限条件。第二十七页，共三十一页，2022年，8月28日12.5比例加载的一般定理及其应用12.5.3定理的应用例12-4对图示超静定梁：（1）考虑图示破坏机构，求极限荷载的近似值。（2）求极限荷载的精确值。解：(1)作图12.13b所示破坏机构的弯矩图可破坏荷载由平衡条件还可求得弯矩最大值为将荷载q+和弯矩图均按比例缩减可接受荷载极限荷载的近似值误差只有0.8%第二十八页，共三十一页，2022年，8月28日12.5比例加载的一般定理及其应用12.5.3定理的应用例12-4对图示超静定梁：（1）考虑图示破坏机构