《概率论与数理统计》课后习题解答

《概率论与数理统计》课后习题解答习题一3.设A,B,C表示三个事件，用A,8,C的运算关系表示下列各事件:A发生,B与C不发生；A与8都发生，而C不发生；A,B,C都发生；A,B,C都不发生；A,8,C中至少有一个发生；A,B,C中恰有一个发生；A,B,C中至少有两个发生；A,B,C中最多有一个发生.解：(1)ABC；(2)ABC；(3)ABCi(4)ABC；(5)AUBUC：(6)ABC+ABC+ABC； (7)ABUACU^C；(8)A8LMCU8C或ABUACUBC.在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码.求最小的号码为5的概率；求最大的号码为5的概率.解：设事件A表示“最小的号码为5”，事件B表示“最大的号码为5”，由概率的古典定义得(1)P(A)=⑵P(8)=~*批产品共有200件，其中有6件废品，求：任取3件产品恰有1件是废品的概率；任取3件产品没有废品的概率；任取3件产品中废品不少于2件的概率.解：设事件凡表示“取出的3件产品中恰有i件废品”。=0丄2,3),由概率的古典定义得

(1)P(4)=R0.0855；(2)(1)P(4)=R0.0855；(2)P(&)=*FW,9122；(3)P(A2+A)=C*yC：«0.0023.(3)。200从0,1,2,...,9这十个数字中任意取出三个不同的数字，求下列事件的概率:A表示“这三个数字中不含0和5”；8表示“这三个数字中包含0或5”；C表示“这三个数字中含0但不含5”.解：由概率的古典定义得心)=混;「㈤=1-"鬲心"己知P(A)=0.5,P(8)=0.6,P(44)=0.8,求P(AB)和P(AB).解：P(AB)=P(A)P(BIA)=0.5x0-8=04P(AB)=P(A\jB)=1-P(AU8)=1-[P(A)+P(B)一P(AB)]=1一(0・5+0.6-0.4)=0.3己知P(B)=0.4,P(AUB)=0.6,求P(4万).解：的価二些=箜些旦队四里LIP(B) 1-P(B) 1-0.4 3某种品牌电冰箱能正常使用10年的概率为0.9,能正常使用15年的概率为0.3,现某人购买的该品牌电冰箱己经正常使用了10年，问还能正常用到15年的概率是多少？解：设事件AB分别表示“该品牌电冰箱能正常使用10,15年”，依题可知P(A)=0.9,P(AB)=P(B)=0.3,则所求的概率为P(B|P(B|A)=P(AB)P(A)0.316^9_312-某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨最后一个号码.(1)求他拨号不超过三次而接通的概率；件件A,A构成一个完备事件组，且坠毁七显然，事件构成一个完备事件组，由二项概率公式计算得坠毁七显然，事件构成一个完备事件组，由二项概率公式计算得（2）若已知最后一个数字是奇数，那么他拨号不超过三次而接通的概率又是多少？解：设事件A分别表示“他拨号不超过三次而接通七事件B分别表示“最191(1)191(1)"=苛苛6813—X—X—=—9810141431(2)P(A|^)=-+-x-+-x-x-13-一盒里有10个电子元件,其中有7个正品,3个次品.从中每次抽取一个，不放回地连续抽取四次，求第一、第二次取得次品且第三、第四次取得正品的概率.解：设事件&表示“第，次取得次品”3=1,234）,则所求的概率为p（A4=p（A）p（4丨4）«（&IA盅）P（AIAAA）3276 1= X—X—X—= 1098720一仓库中有10箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱、3箱、2箱，三厂产品的次品率依次为0.1,0.2,。.3,从这10箱中任取一箱，再从这箱中任取一件产品，求取得正品的概率.解：设事件A^2^3分别表示“产品是甲，乙，丙厂生产的”，事件B表示“产品是正品”，显然，事件片,&，4构成一个完备事件组，且5 3 2P（a）=尚=0.5,P（A2）=-=0.3,P（4）=-=0.2P（8|A】）=1-0.1=0.9,P（BI&）=1-0.2=0.8,P（BIA）=1-0.3=0.7由全概率公式得3p（R）=ZP（Aj）P（B14）=0.5X0.9+03x0.8+0,2x07=0,83甲、乙、丙三门高炮同时独立地各向敌机发射一枚炮弹，它们命中敌机的概率都是0.2.飞机被击中1弹而坠毁的概率为0.1,被击中2弹而坠毁的概率为0.5,被击中3弹必定坠毁.（1） 求飞机坠毁的概率；（2） 已知飞机已经坠毁，试求它在坠毁前只被命中1弹的概率.解：设事件表示“飞机被击中，弹而坠毁”（£=123）,事件8表示“飞机P(4)=C；(0.2)1(0.8)2=0.384,P(A2)=Cj(0.2)2(0.8)1=0.096,P(A.)= (0.2)3=0.008P(BIA】)=0.l,P(8|&)=0.5,P(BI&)=1由全概率公式得3P(B)=ZP(A)P(8IA,)=0.384x0.1+0.096x0.5+0.008x1=0.0944i=l由贝叶斯公式得°,聞Z=1设甲袋中装有5个红球,4个白球;乙袋中装有4个红球,5个白球.先从甲袋中任取2个球放入乙袋中，然后从乙袋中任取一个球，求取到是白球的概率.解：设事件&表示“从甲袋取出的2个球中有，个白球”任=0丄2),事件8表示“从乙袋中取出的一个球是白球。显然.事件凡,冬,&构成一个完备事件组,尸(8|片)=书，(i=0,1,2),由全概率公式得组,P(8)= 泪(8IA)= •詈=H=05354i=0 t=0 1丄V已知男子有5%是色盲患者,女子有0.25%是色盲患者.现在从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解：设事件A表示“此人是男性”，事件B表示“此人是色盲患者”，显然，事件A久构成一个完备事件组，且P(A)=P(A)=0.5,P(BIA)=5%,P(B|A)=0.25%由贝叶斯公式得P(A\B)= P(A)P(81。) = °。x5% 二竺a0.9524P(A)P(B|A)+P(A)P(8|4)0.5x5%+0.5x0.25%21设机器正常时生产合格品的概率为98%,当机器发生故障时生产合格品的概率为30%,而机器正常(即不发生故障)的概率为95%.某天,工人使用该机器生产的第一件产品是合格品，求机器是正常的概率.解：设事件A表示“该机器正常”，事件8表示“产品是合格品”，显然，事P(A)=95%,P(A)=1一P(A)=5%,P(B\A)=98%,P(B\A)=30%由贝叶斯公式得P(AIB)= P(A)P(8|4) __ 95%x98% °984P(A)P(B|A)+P(A)P{B|A)95%x98%+5%x30%三人独立地去破译一个密码，他们能够译出的概率分别是丄丄丄问能将密码534译出的概率是多少？解：设事件分别表示“第一人，第二人，第三人破译出密码”，显然事件A,B,C相互独立，且P(A)=Lp(B)=；P(C)=L,则所求的概率为*5 <3 4*-—— 1113p(AUBUc)=i-p(A)p(s)p(c)=i-(i--)a--)a--)=-加工某一零件共需经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别是0.02,0.03,0.05和0.03.假设各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率.解：设事件&表示“第，道工序加工出次品”0=1,2,3,4),显然事件A,&,&,a相互独立，且P(A)=0.02,P(&)=0.03,P(&)=0.05,P(A4)=0.03,则所求的概率为-P(石)P(瓦)尸(為)P(瓦)=1-(1-0.02)(1-0.03)0-0.05)(1-0.03)=0.124设第一个盒子里装有3个蓝球,2个绿球,2个白球;第二个盒子里装有2个蓝球,3个绿球,4个白球.现在独立地分别从两个盒子里各取一个球.求至少有一个蓝球的概率；求有一个蓝球一个白球的概率；已知至少有一个蓝球，求有一个蓝球一个白球的概率.解：设事件A.4表示“从第一个盒子里取出的球是篮球，白球”，事件眞,&表示“从第二个盒子里取出的球是篮球，白球”，显然事件&与与相互独立3 7 9 4(Z=1,2;"1,2),且P(A})=-,P(A2)=-,P(B})=-yP(B2)=~,则所求的概率为— — 3 2 5用)=1p(a)p(E)=i(17)d；)=mP(B2+B,)= )P(B2)+P(A2)P(B{)=|x^+|x^=i|；/9/yo3地片坊+厶捐)1(凡十用)]=旦丝澹響地#(A+0)P(AB2+A2g,)%=16"P(A+3)一％一35设一系统由三个元件联结而成(如图1-5)，各个元件独立地工作，且每个元件能正常工作的概率均为p(O<p<l).求系统能正常工作的概率.解：设事件片表示“第i个元件正常工作”(Z=123),事件8表示“该系统正常工作”，显然，事件相互独立，且P(4)=P，则所求的概率为P(B)=FKAUA2M3]=^M1^UA2A3)=P(A1A3)+P(A2A3)-P(A1A2A3)=P(H)p(&)+p(&)p(a3)-P(A)p(&)p(A)=2p2_p324.一批产品中有20%的次品，进行放回抽样检査，共取5件样品.计算：这5件样品中恰有2件次品的概率；这5件样品中最多有2件次品的概率.解：设事件A表示“该样品是次品”，显然，这是一个伯努利概型，其中h=5,P(A)=20%,P(A)=80%,由二项概率公式有^(2)=C/(20%)2(80%)3=0.2M8£片(幻=£c；(20%)*(8O%)S-*=0.942k=0Jt=o习题二离散型随机变量X的概率函数为：P(X=Z)=Q2',i=LZ,10。；P(X=i)=2d」=L2,,分别求(1)、(2)中G的值。TOC\o"1-5"\h\z100 10。 Ozt/I_^100X 1解：(1)£p(x“=£T=(一-)=1，解得a=--00-；；=1 f=i l—L —1)100 a> 1(2)£P(X=i)=£2al= =1f解得fl=—•打 打l-« 3对某一目标进行射击，直到击中为止，若每次射击命中率为p,求射击次数的概率分布。解：设随机变量X表示“直接击中目标时的射击次数”，显然，X可取1,2,…，故X的概率分布为：P(X=k)=p(l-pV「',k=1,2,…一大楼装有5个同类型的供水设备。调查表明在任一时刻*,每个设备被使用的概率为0.1,且各个设备的使用是相互独立的。求在同一时刻被使用的设备数的概率分布，并求在同一时刻：恰有2个设备被使用的概率；至少有3个设备被使用的概率；最多有3个设备被使用的概率；至少有1个设备被使用的概率。解：设随机变量X表示“在同一时刻被使用的设备数”，显然，X〜B(n,p),其中以=5,p=0.1,故X的概率分布为月(幻=P(X=A)=C；(0.1)*(0.9)i,k=0,1,2,…,5恰有2个设备被使用的概率为尺(2)二«(0.1)2(0"=0.0729至少有3个设备被使用的概率为5 5Z与(*)=ZC：(。1)*(。，9)5"=0.0086k=3 k=3最多有3个设备被使用的概率为£吕㈤=丈C：(。.D*(。,9)J=0.9995A=O A=Q至少有1个设备被使用的概率为5£只(上)=1-R(0)=1-(0.9)5=0.4095*=17,设随机变量X 当x为何值时，概率P(X=x)取得最大值?解，因概率P(X=x)取得最大值，则P(X=x)>P(X=x+l)p(x=x)>p(x=x-r)P(X=x)>P(X=x+l)p(x=x)>p(x=x-r)9 'c；p*(l-p)iNC尸pZ(l-p)”Fi艮卩叩+p-l〈尤〈叩+p,故工=叩+p-l及叩+p,当〃p+p是整数；[np4-p] ，当np+p不是整数.8,设随机变量X的分布函数为0x<-5丄50x<-5丄53Io21-5《无＜一20<x<2x>2求：(1)X的概率分布。(2)概率P(X>一3),P(|X|<3)。解；(1)依题可知，随机变量X可取-5-2,0,2,则X的概率分布为X-5一202PxW)51To£5丄24(2)P(X〉-3)=P(X=—2)+P(X=0)+P(X=2)=gP(|X|<3)=P(X=-2)+P(X=0)+P(X=2)=—5

9,设随机变量X的概率密度为-exx<02—0v<240x>2求X的分布函数。解：随机变量X的分布函数为-ex2 ,x<0;-+—,0<x<2;-ex2 ,x<0;-+—,0<x<2;241,2<x・J-“2 ,x<0;尸⑴=rfwt尸⑴=rfwt=<」一如己冰2<X.j-co2 Jo410,设X的分布函数为0x<0F(x)=Ax S丄arctaul字丄 S丄arctaul字丄arctax丄a21x>l求，(1)系数(2)X的概率密度；(3)概率P(0.5<X<0.8)o解：(1)由于F⑴是连续函数，有limF(x)=F01=1,而X—>1F(l-0)=limAx2=A,F(1+0)=lim1=1,故A=l;11-(2)X-f(x)=F\x}=2x,0<x<l;0,其它.12,己知X的概率密度为12,己知X的概率密度为f(x)=cAe^x0Z>0，求常数c及(3)P(0.5<X<0.8)=P(0.5<X<0.8)=F(0.8)一尸(0.5)=039•411.随机变量X的概率密度为/(x)=宀，求系数A及X的分布函数。1+x2解：由于f{x)dx=1,有广一心=Aarctan尤|*=泓=1,解得A=—；」一°°1+尤 兀随机变量X的分布函数为

P{a1<X<a\V).解：由于jf(x)dx=1,有［cXe~^dx=-ce~^\^'=ce~Ac=1,解得c=e":P(q-1vX<。+1)= =「'人凌(心拓=_/(d|；i=1-产七13.随机变量13.随机变量X的分布函数为F(x)=＜當0Cv5求F(3<X<6)。3^=3^=1625"25P(3<X<6)=P(3<X<6)=F(6)-F(3)=1某种电子元件的使用寿命X(单位：h)的概率密度为/a)=x/a)=x20100 x>100x<100求在150h内:3个电子元件中没有1个损坏的概率;3个电子元件中只有1个损坏的概率;3个电子元件全损坏的概率。解：设随机变量F表示“在150h内，3个电子元件中损坏的元件数”，显然,r-B(n9p),卄亠 r-B(n9p),卄亠 rl50 fl50100其中n=3,p=P(X<150)=|f{x)dx=|普dx=J* J1OOv2100xhoo-3(1)3个电子元件中没有1个损坏的概率为：当(0)=见(!)。§)3=島；⑵3个电子元件中只有1个损坏的概率为：少1)=。；(!)'(：产=；；(3)3个电子元件全损坏的概率为:(3)3个电子元件全损坏的概率为:件爲(再。=宀一个袋内装有5个白球，3个红球。第一次从袋内任意取一个球，不放回，第二次又从袋内任意取两个球，X,表示第j次取到的白球数3=1,2)。求(1)(XPX2)的联合概率分布及边缘概率分布；(2)户(孤=0,乂2。0)，P(Xi=X2)。

解:(1)依题可知，随机变量％可取0,1,随机变量X2可取0,1,2,而cyc2~y以工*)=峑丄・5-**(x=0J；y=0X2)8Cr则(X.X2)的联合概率分布，X］与況2的边缘概率分布分别为01iPx\(为)015535628288155551561428iPxQ»32815285141(2)P(Y=0,X?。0)=p(0,l)+p(0,2)=§3P(X|=X2)=p(0,0)+p(l,l)=so设X与丫相互独立，证明W对任意实数不,易5，力5<巧涵<>2)，事件(xt<X<x2)与事件(yt<Y<y2)相互独立。解：因X与，相互独立,则F(x,y)=Fx(x)Fy(y),(x,yeR),而P(X|<X<x2,y)<y<^2)=F(x2，力)一F(X|况)一F{x2必)+F(xi,y{)=玲(工2)呂(力)-旦3而(，2)-旦(尤2海(，1)+万*(尤1)耳(、1)=[旦(工2)-Fx3)][E(%)-耳(弟]=P0 VW力)故事件(玉＜X＜冬)与事件(乂＜Y匕力)相互独立。设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为2^(6-x-y)0<x<2,2<y<4-0 其它求:(1)常数切(2)P(Xvl,Pv3)；(3)P(Xvl.5)；(4)P(X+F<4)。解：(1)由于匚匚兀3)如V=l，有£(6-x-y)dy=f2k[6y—xy~—yP(X<1,7<3)=|J/(x,y)dxdy=,"£(6-x-y)dy]^dx=f4^(3-x)dx=4k(3x-—x2)|^=16^=1P(X<1,7<3)=|J/(x,y)dxdy=,"£(6-x-y)dy=1f[6yxy1'2]；心=1「(7x)dx=(JxI/)緝=38Jo 2 2 8」。2 82 2 °8(3)P(XvL5)=ITf3,洒dy=!『虹(6-尤-泌

=§員6，_1-护払=覆。-”=扌(3(3)P(XvL5)(4)p(x+y<4)=|£^£，6-4-'縛4£[6了-打-。2]；-.弦二土£(妒-8工+12)必=土(?疽-4x2+12x)|J=：•1&设二维随机变量(X,V)的联合概率密度为击宀50x2+y2>R2则称(X,Y)在圆域{(x,y)|x2+/</?2}±服从均匀分布。试判断X与卜是否相互独立。解：X~f解：X~fx(x)=^f(x.y)dy=<x<R9其它.义』R—R〈x<R,状0，其它同理，Y^f同理，Y^fY(y)=二』中—寸，-R<y<R,威° ，其它显然，f(x.y)^fx(x)fY(y),故X与丫不独立。习题三1.甲乙两台机器一天中出现次品的概率函数分别为解：依题有，1.甲乙两台机器一天中出现次品的概率函数分别为解：依题有，E(X)=0x04+1x03+2x02+3x04=1顼*)=0x0.3+1x0.5+2x0.2+3x0=0.9显然，E(X)>E(Y),即甲机器的平均次品数比乙机器的平均次品数大，故乙机器较好Q某种电子元件的寿命X(单位：h)的概率密度为—、(c^xe^yx>0;y(x)=(0, x<0;其中a>0为常数.求这种电子元件的平均寿命.解：E(X)=^xf(x)dx=卩尤，Q2xe^dx=「”ax'd^e^)=-邳々-以广一『(-2axe~llx)dx=pIxd^-e^)=一2炬一以I广—广(—2e*)载=—纟彳以ir=-a a设随机变量X的概率密度为0<x<1;

其它；已知E(X)=0.75,求L及。的值.解：依题可知,「f{x}dx=1J-co#3)「f{x}dx=1J-co#3)办=0.75J-00kxaJjc=1Iox^kx^dx=0.75o丄广財-^-=1a+1 。+1財―^=0.75a+2 °a+2k_3a=2设1。只同种电器元件中有两只废品，装配仪器时，从这批元件中任取一只，若是废品，则扔掉重新任取一只，若仍是废品，则再扔掉重新任取一只•试求在取到正品之前已取出的废品数X的概率分布与数学期望.解：依题可知，随机变量X可取0丄2,而oa 2SRp(x=o)=p(o)=-=-,p(x=i)=xi)=-x-=-,P(X=2)=p(2)=109 45P(X=2)=p(2)=109 45故随机变量X的概率分布为X012p(w)458451454 8 1 2E(X)=0x-+1x_+2x-=-5.设随机变量X~e(l),试求E(X+e'2Xy5.解：依题可知，X〜須⑴= 且£0)=：原=1,而♦E(e~2X)=^e~2xf(x)dx=^e'2x•e~xdx=『疽、农=-|e_3x|广=：故E(X+e~2X)=E(X)+E(e-2X)=l+-=~,设随机变量X~F以)，且有印X-1)(X-2)]=1,求/L解：依题可知，E(X)=4,D(X)=L,则E(X2)=D(X)+[E(X)]2=2+而E[(X-1)(X-2)]=E(X2-3X+2)=£(X2)-3E(X)+2=Z+A2-32+2=1艮卩人2一24+1=(九一I)?=0,解得4=1.掷&颗骰子，求点数之和的数学期望.解：设随机变量X表示“〃颗骰子的点数之和。X,表示“第,•颗骰子的点

数”。=1,2,…显然，x*…乂相互独立，且x=£x,・，而X,的概率分布为X123456P国）丄6丄6丄6丄6丄6丄6显然，顼％)=丈&!=；,故E(X)=E(^Xj)=£e(X‘)=：n.k=\b2 2=i /=i 2设随机变量X的概率密度为1+払1-尤,0,-1+払1-尤,0,其它；求D(X).解：因E(X)=Jxf{x)dx=x(l+x)dx+£x(l-x)dx= +?了3)巴+(1X2一!]3)|[j=°E(X2)=厂冷六尤)办=『产2(]+x)亦+f]2([一X)火

二(：尤3+^-X4)|^ ~~^4)Io=7j4 3 4o故D(X)=E(X2)-[E(X)]2=io设随机变量X的概率密度函数为e)=2(1e)=2(10<x<l;0,其它；6分,6分,ii求E(X),D(X)解：E(X)^^2x(l-x)dx=-° 38*)二£2而-])&=!“D(X)=N(X2)_[E(X)]2=46

II.设随机变量X的分布函数为0,x<-1;G+barcsin无-1<x<l;Lx>V9试确定常数冬8,并求E(X)及D(X).解：因F(x)为连续函数，则limF(x)=F(-l)=0,x->-llimF(x)=F(1)=1,limF(x)=F(1)=1,即XTl1a=—2b=-冗0 ,x<-l;1a=—2b=-冗0 ,x<-l;11

—+—2 711arcsinx,—1<x<1;,X~f(x)=F'(x)=勿J]_尤x>l1=,-1<x<1;02,其它.E(X)=xf(x)dx=「一dx=0

JJt^41-x2= 衣=_23_膈+2「J.办21l22 "1= 江]H——arcsinxL=—7T4勿o2所以，Q(X)=E(X2)_[£(X)]2=—习题四1.设X〜0(5,22),求下列概率(l)P(2<X<5);(2)P(|x|<2);(3)P(X>3);(4)P(—3<X<9).TOC\o"1-5"\h\zJ—Ay_c5—5 v_c解：(1)P(2<X<5)=P(^—= ^<0)2 2 2 2=0(0)一①(一1.5)=0(0)+6(1.5)-1=0.5+0.9332-1=04332(2)P(\X\<2)=P(-2<X<2)=2 2 2X_5=P(-3.5< <-1.5)=①(一1.5)-0>(-35)=0>(3.5)一中(1.5)=0.99977—0.9332=0.0666X—53—SX_5P(X〉3)=P(—^> =P(—^>-1)=1-0(-1)=①⑴=0,8413TOC\o"1-5"\h\z2 2 2_3_5X-59一5 X_5P(-3<X<9)=P(—)=P(-l<^-^<2)2 2 2 2=①(2)-<D(Y)=<D(2)+0(4)-1=0.9772+0.999968—1=0,9772已知某次测试的成绩X~N(73q2),95分以上的同学占2.28%.求(1)介于80分与90分之间的同学的比例;(2)小于60分的同学的比例.TOC\o"1-5"\h\zY-7305-73 9S_73解：因P(X>95)= > )=1-0(^—^)=128%=0.0228aa a即0)(—)=0.9772,查表得—=2,则<7=11,故X-4(73,112).I)P(8O<X<9。)二県<改兰〈哄)=P(2<4史)]] 11 ]] L1 ]] ]]=<D(L55)一①(0.64)=0.9394-0.7389=0.2005⑵P(X<6。)=尸(、<砰)=尸(、<-苔)2T18)=1-①(1・18)=1-0.881=0.119己知随机变量X~N(2,t/),且P(|X—3|V1)=O.44,求P(|X-2|>2).解：因P(\X-3|<1)=P(2<X<4)=aaa2=0)(-)-0(0)=0.44<y2即(D(-)=044+<D(0)=0.94,则aP(|X-2>2)=P(>-)=2-20(-)=2-2x0.94=042I(TICT CT4・已知随机变量X~N("2),且P{X<-1)=P(X>3)=0(-1)求解：依题有P(X<-1)= <丄廿)=0)(丄义)=0(-1)cr的X"=P(X一气3-与=1中(3-与=小(3-")=小(])CT(T (7 a1+//由此可得，[b3-"-b=1=1解得尹=如=2.6.设随机变量X〜N(O,1),求E(X，.解：因E(X)=O,Z)(X)=1,则E(X2)=D(X)+[E(X)]2=L11.一加法器同时收到48个噪声电压Xj(i=l,2,,48),设它们是相互独立的随48机变量，且都在区间[0,10]上服从均匀分布，记X=£Xj,求P(X>180).;=]解：依题可知，卩=叫)==5,宀D(X,)=(1。“与,由独立同分布中心极限定理得48P(X>18O)=P(£x.i=l48>18O)=P(¥">端型)y/ncryjncr=1-①(1802皆)=1一①(_3)=中(3)=0§986512,一部件包括100个部分，每部分的长度是一个随机变量，它们相互独立，且服从同一分布，其数学期望为2mm,均方差为0.05mm.规定总长度200mm误差在1mm内算合格品，试求产品合格的概率.解：设随机变量％表示“第z•个部分的长度。i=l,2,,100.100则X[,X»,Xi。。相互独立,卩=E(X*)=2,cr=』D(Xj)=0.05且X=£X,表示“该部件的总长度”，由独立同分布中心极限定理得职一奸°」)=汽|窍"矗)=2中(；^)一】=20(2)-1=2x0.9772-1=0.955413,掷硬币900次，试求:至少出现TE面480次的概率；出现正面在420次到480次之间的概率.解：设随机变量X表示“掷900次硬币中出现正面的次数”，则X~8(900,：),叩=450,J叩(1—时=15,由棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理得X-450480—450(1)P{X>480)=P(—>I)知一①(2)=1-0.9772=0.0228(2)P(420<X<480)=P(X—45015(2)P(420<X<480)=P(X—45015302①(2)-l=2x0.9772-1=0.954414,一船舶在某海区航行，己知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于3。的概率p=~.若船舶遭受了90000次波浪冲击，问其中有29500-30500次纵摇角度大3于3。的概率是多少？解：设随机变量X表示“在90000次波浪冲击中纵摇角大于3。的次数二则X~B(9000oJ),np=30000,J@(l-p)=100V2,由棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理得P(29500<X<30500)=P(P(29500<X<30500)=P(10CK/2 10(X/2

=2x0.9998-1=0.999616.设有30个电子器件0,%・.。30,它们的使用情况如下：4损坏，Z)2接着使用；损坏，接着使用等等,设器件以的使用寿命服从参数人=0.1(单位:疽)的指数分布,令T为30个器件使用的总时数，问T超过350h的概率是多少?解：设随机变量7；•表示“第「个电子器件的使用寿命。，=1,2,…,30.依题可知，7],&,・・・,弓0相互独立,¥〜^(0.1),//=£(?；.)=1=10,0-2=知，7],&,・・・,弓0相互独立,303。7=1y/n(r3。7=1y/n(r>拜当52严*°)10j3030P(T>350)= >350)=P(i=\00=1—0(0.91)=1-0.8186=0.1814习题六1.设总体X的概率密度为1.设总体X的概率密度为了（展）=(9+1)?0<x<10其它，其中0>-1,,X〃为来自总体X的样本，求参数8的矩估计量。解:总体的一阶原点矩为玉=顏*）=匸矶工；。）治；=£（。+1）/+芯 0+1解:1«而样本的一阶原点矩为A]=4£x,.=V,用样本的一阶原点矩估计总体的一阶原点矩，即有M衣，由此得。的矩估计量为0=告1.3.设总体X〜UQ8），现从该总体中抽取容量为10的样本，样本观测值为:0.5,1.3,0.6,1.7,2.2,1.2,0.&1,5,20,1,6试求参数。的矩估计值。解：总体的一阶原点矩为v】=E（X）=%,而样本的一阶原点矩为1“ _n A^-tx^X,用样本的一阶原点矩估计总体的一阶原点矩，即有叽又,七 2由此得。的矩估计量为0=2更，其矩估计值为&=2元=2x土（0.5+1.3+0.6十1.7+2.2+1.2+0£+1.5+2.0+1.6）=2.686.设也，刘，弘为来自总体X的一组样本观测值，求下列总体概率密度中0(1)的最大似然估计值。(1)0其它(2)y，>°（°已知）;0其它(3)了(x；8)=V歹丄令x>0x<0解：（1）似然函数为丄（。）=卩/（玉渺）=，=[日阪尸,0〈改＜丄（。）=卩/（玉渺）=，=[0,其它因为0不是丄⑹的最大值，考虑£（0）=丘阪尸,0＜毛＜10=12…/）顽两边取对数，WlnL=^[ln^+(^-l)lnxJfl解方程爲^乡土一+岫）"，即芸+名心药fl解方程爲^乡土一+岫）"，即芸+名心药解得少=一7_^,即为0的最大似然估计值。i=l（2）似然函数为朋渺)」n°‘!=1朋渺)」n°‘!=1i=t「时七一好5＞0。_1,2厂，力）0'其它因为0不是丄（。）的最大值，考虑0。）=口伽皓是-气改＞0任=12…M）!=1两边取对数，得lnL=£[inC+lna+(a-l)lnXj-阪；]f=i解方程器=我-/。'艮崂-字=。解方程器=我-/。'艮崂-字=。解得少=亠，即为0的最大似然估计值。?=1（3）似然函数为« riXiI由泓＞0。=1,2,…,M）而）=卩了（新）=句歹e，亀它

2ew\Xi>0。=1,2,…g):=1u两边取对数,得lnL=Z两边取对数,得lnL=Z(m也X=1-2砧蓦）解方程帶=2号芸）=。'即-弁隸宀。解得。=寸『，即为。的最大似然估计值。t2n8.若总体X服从参数为；I的泊松分布，即P(X=x)=—e~A9x=l,2,；2>0

xl知此，兴为样本观测值，求参数2的矩估计值和最大似然估计值。解：（1）总体的一阶原点矩为v,=£（%）=/而样本的-阶原点矩为小忐XL私用样本的一阶原点矩估计总体的一阶原点矩，即有。+1=刀，由此得。的矩估计量为0=刀-1・♦ 2Xi（2）似然函数为丄3）=[jl-;=|xi1取对数lnL（4）=£（wln；i_；l_lnw!）住I解方程骂