九年级数学上册284垂径定理新版冀教版

九年级数学上册284垂径定理新版冀教版第1页/共24页学习新知

赵州桥是我国隋代建造的石拱桥,距今约有1400年的历史,是我国古代人民勤劳和智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?(结果保留小数点后一位)

牛牛文库文档分享第2页/共24页在自己课前准备的纸片上作图:1.任意作一条弦AB.2.过圆心O作弦AB的垂线,得直径CD交AB于点E.3.观察图形,你能找到哪些线段相等?哪些弧相等?4.沿着CD所在的直线折叠,观察有哪些相等的线段、弧.5.图形中的已知是什么?你得到的结论是什么?你能写出你的证明过程吗?

牛牛文库文档分享第3页/共24页如图所示,在☉O中,CD为直径,AB为弦,且CD⊥AB,垂足为E.求证AE=BE,证明:如图所示,连接OA,OB.在△OAB中,∵OA=OB,OE⊥AB,∴AE=BE,∠AOE=∠BOE.∵∠AOC=180°-∠AOE,∠BOC=180°-∠BOE,∴∠AOC=∠BOC.

牛牛文库文档分享第4页/共24页垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.几何语言:在☉O中,CD为直径,CD⊥AB,∴AE=BE,

牛牛文库文档分享第5页/共24页垂径定理的推论如图所示,在☉O中,直径CD与弦AB(非直径)相交于点E.【思考】(1)若AE=BE,能判断CD与AB垂直吗?

与(或

与)相等吗?说明你的理由.(2)若=(或

=),能判断CD与AB垂直吗?AE与BE相等吗?说明你的理由.

牛牛文库文档分享第6页/共24页解:(1)CD⊥AB,(或).理由是:连接OA,OB,如图所示,则△OAB是等腰三角形,∵AE=BE,∴CD⊥AB.由垂径定理可得(2)CD⊥AB,AE=BE.理由是：∵

,∴∠AOD=∠BOD,又∵OA=OB,OE=OE,∴△AEO≌△BEO,∴∠AEO=∠BEO,AE=BE,∴CD⊥AB.

牛牛文库文档分享第7页/共24页追加思考:(1)垂径定理中的条件和结论分别是什么?用语言叙述.(2)上面思考(1)(2)中的条件和结论分别是什么?(3)如果不要求“弦不是直径”上述结论还成立吗?

牛牛文库文档分享第8页/共24页在☉O中,设直径CD与弦AB(非直径)相交于点E.若把AE=BE,CD⊥AB,中的一项作为条件,则可得到另外两项结论.

牛牛文库文档分享第9页/共24页(教材164页例)如图所示,已知CD为☉O的直径,AB为弦,且AB⊥CD,垂足为E.若ED=2,AB=8,求直径CD的长.思考:1.如何把圆的半径转化为三角形中的线段?(连接半径,构造直角三角形)2.构造的直角三角形中三边之间有什么特点?(根据垂径定理得三角形一边是弦长的一半,另两边的长正好相差ED长)

牛牛文库文档分享第10页/共24页3.直角三角形中已知一边、另外两边之间的关系,如何求另两边长?(设未知数,用勾股定理列方程求解)

牛牛文库文档分享第11页/共24页解:如图所示,连接OA.设☉O的半径为r.∵CD为☉O的直径,AB⊥CD,∴AE=BE.∵AB=8,∴AE=BE=4.在Rt△OAE中,OA2=OE2+AE2,OE=OD-ED,即r2=(r-2)2+42.解得r=5,从而2r=10.所以直径CD的长为10.

牛牛文库文档分享第12页/共24页赵州桥是我国隋代建造的石拱桥,距今约有1400年的历史,是我国古代人民勤劳和智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?(结果保留小数点后一位)

牛牛文库文档分享第13页/共24页解:如图所示,用

表示主桥拱,设

所在圆的圆心为O,半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC,D为垂足,OC与

相交于点C,连接OA.根据垂径定理知D为AB的中点,C为

的中点,CD就是拱高.由题设可知,AB=37.4m,CD=7.2m,所以AD=AB=×37.4=18.7(m),OD=OC-CD=R-7.2(m).在Rt△OAD中,由勾股定理,得OA2=AD2+OD2,

牛牛文库文档分享第14页/共24页即R2=18.72+(R-7.2)2.解得R≈27.9(m).因此,赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.【思考】1.在圆中解决有关弦的问题,常作什么辅助线?2.在圆中解决有关弦的问题,常用什么方法?

牛牛文库文档分享第15页/共24页[知识拓展]

1.由垂径定理可以得到以下结论:(1)若直径垂直于弦,则直径平分弦及其所对的两条弧.(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.(3)垂直且平分一条弦的弦是直径.(4)连接弦所对的两条弧的中点的线段是直径.综上所述,可以知道在①过圆心,②垂直于弦,③平分弦,④平分弦所对的劣弧,⑤平分弦所对的优弧这五项中满足其中任意两项,就可以推出另外三项,简称“5.2.3”定理.

牛牛文库文档分享第16页/共24页2.利用垂径定理及其推论可以证明平分弧、平分弦,证明垂直,证明一条线段是直径.3.利用垂径定理的推论可以确定圆心的位置:在圆中找两条不平行的弦,分别作两条弦的垂直平分线,两条垂直平分线的交点即是圆心.4.由于垂直于弦的直径平分弦,因此可以在圆中构造直角三角形,利用勾股定理列方程求弦长(或半径).5.圆心到弦的距离叫做弦心距.

牛牛文库文档分享第17页/共24页检测反馈1.如图所示,AB是☉O的直径,CD是弦,CD⊥AB于点E,则下列结论不一定成立的是(

)A.∠COE=∠DOE B.CE=DEC.OE=BE D.解析:由垂径定理可知B,D均成立;由△OCE≌△ODE可得A也成立.不一定成立的是OE=BE.故选C.C

牛牛文库文档分享第18页/共24页2.如图所示,已知☉O的半径为13,弦AB长为24,则点O到AB的距离是 (

)A.6 B.5 C.4 D.3解析:过点O作OC⊥AB于C,∵OC过点O,∴AC=BC=AB=12,在Rt△AOC中,由勾股定理,得OC==5.故选B.B

牛牛文库文档分享第19页/共24页3.如图所示,☉O的直径为10,弦AB的长为6,P是AB上一动点,则线段OP的长的取值范围是

.

解析:当弦与OP垂直时,OP的值最小,连接OA,由勾股定理可得OP==4;当点P与点A或点B重合时,OP的值最大,此时OP为☉O的半径5.故填4≤OP≤5.4≤OP≤5

牛牛文库文档分享第20页/共24页4.如图所示,AB是☉O的弦,半径OC⊥AB于点D.(1)若AB=8cm,OC=5cm,求CD的长;(2)若OC=5cm,OD=3cm,求AB的长;(3)若AB=8cm,CD=2cm,求☉O的半径.解:连接OA,则AO=OC.∵OC⊥AB,∴∠ODA=90°.

牛牛文库文档分享第21页/共24页(1)∵OC⊥AB,∴AD=AB=4cm,在Rt△OAD中,OA=5cm,OD===3(cm),∴CD=OC-OD=2cm.(2)在Rt△OAD中,OA=5cm,OD=3cm,AD===4(cm),∵OC⊥AB,∴AB=2AD=8cm.