概率论与数理统计259

《概率论与数理统计》综合复习资料一、填空题1、一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（有放回）。则第一次取到次品，第二次取到正品的概率为；恰有一次取到次品的概率为；两次都取到次品的概率为。2、由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记作事件）的概率为4/15，刮风（记作事件B）的概率为7/15，刮风又下雨（记作事件C）的概率为1/10。则：P(A|B)；P(AB)。3、一批产品共有8个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。则：（1）第一次取到正品，第二次取到次品的概率为（2）恰有一次取到次品的概率为；。4、设、为事件，P(A)0.6，P(AB)0.3，则。5、一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。则：（1）两次都取到正品的概率为_______；（2）至少取到一个正品的概率为6、一个袋子中有5只黑球3只白球，从袋中任取两只球，若以表示：。“取到的两只球均为白球”；P(A)表示：“取到的两只球同色”。则；P(B)。f(x)分布为0，x0P{X3}，则；X的分布函数ex，x07、设X的概率F(x)。二、选择题，且0P(A)1，P(B)0，则有。1、设事件满足(A)(B)(D)（）2、对于随机变量X、Y，若EXYEXEY，则。(A)X与Y独立(B)D(XY)DXDY(C)D(XY)DXDYDXY()与不独立3、设X~N(3,1)，Y~N(2,1)，且相互独立，则X2Y7~。(A)N(0,5)N(0,6)(B)N(0,3)(D)N(0,4)(C)4、设A和B是任（A）P(AB)P(A)意概率不为零的互斥事件，则结论正确的是。（B）A与不互斥B（C）P(AB)P(A)P(B)（D）A与B互斥0.4，则D(XY)=5、设DX25，DY9，。xy（A）22（B）8（C）14（D）28p1P{X2}，均服从正态分布X~N(，22)，Y~N(，32)，记6、设和p2P{Y3}，则对任何实数都有仅对的个别值有。；；对任何实数都有对任何实数都有；。7、某人射击中靶的概率为3/5，如果射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率。()(3)3()(3)22555(2)235()(2)3C()558、设与()不独立9、设随机变量X的密度函数为独立同分布,记,，则必然。()不相关()相关()独立f(x)Cx3,0x10,其它则常数C=。341/41/310、设每次试验成功的概率为1/3，则在3次重复试验中恰有1次成功的概率为()1/27()26/27()4/9()。19/27三、解答题B1、在某城市中发行三种报纸A、B、C，经调查，订阅报的有50%，订阅报的有30%，订阅C报的有20%，同时订阅及B报的有10%，同时订阅及C报的有8%，同时订阅B及C报的有5%，同时订阅A、B、C报的有3%，试求下列事件的概率：（1）只订阅及B报；（2）恰好订阅两种报纸。2、甲、乙两人各自同时向敌机射击，已知甲击中敌机的概率为0.8，乙击中敌机的概率为0.5，求下列事件的概率：（1）敌机被击中；（2）甲击中乙击不中；（3）乙击中甲击不中。3、在电源电压不超过200，200~240和超过240伏的三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2,假定电源电压X~N(220,252)，试求：（1）该电子元件被损坏的概率；（2）电子元件被损坏时，电源电压在200~240伏的概率。（提示：(0.8)0.788）。4、设为总体的一个样本，且X的概率分布为P{Xk}(1p)k1p,k1,2,3,。为来自总体的一个样本观察值，求p的极大似然估计值。5、有朋友远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为3/10、1/5、1/10、2/5，而乘火车、轮船、汽车、飞机迟到的概率分别为1/4、1/3、1/12、1/8。求：(1)此人来迟的概率；(2)若已知来迟了，6、已知某种型号的雷管在一定刺激下发火率为4/5，今独立重复地作刺激试验，直到发火为止，则消耗的雷管数的概率7、一袋中装有3个球，分别标有1、2、3，从这袋中任取一球，此人乘火车来的概率。分布。不放回袋中，再任取一球。用、分别表示第一次、第二次取得的球上的，试求：（1）随机向量(X，Y)的概率分布；(X，Y)（2）关于和关于的边缘概率分布；（3）和是否相互独立？为什么？8、设X，X，，X为的一个样本，12nX~f(x,)(1)x,0x10,其它其中1为未知参数，求的极大似然法估计。9、设的概率分布为0121/31/61/2求：（1）的分布函数；（2）、、。10、设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，又知第一、二、三家工厂生产的产品分别有2%、4%、5%的次品，现从箱中任取一件产品，求：（1）次是品的概率；（2）若已知取到的次是品,它是第一家工厂生产的概率。其中1/2第是一家工厂生产的，其余两家各生产1/4，取到的11、设二维随机变量（X，Y）的概率分布为f(x,y)ey,0xy0,其它1）随机变量X的密度函数f(x)；求：（X（2）概率P{XY1}。12、设的分布密度为，求：数学期望EX和方差DX。13、某工厂三个车间生产同一规格的产品，其产量依次占全厂总产量的25%、35%、40%，如果各车间生产产品的次品率依次为5%、4%、2%。现从待出厂的产品中随机地取一件，求：（1）取到的是次品的概率；（2）若已知取到的是次品，它是第一车间生产的概率。14、设相互独立随机变量X、Y的概率分布分别为12e，y0，1x32y(x)(y)20，其它；0，y0求：E(XY)和E(2X3Y)。215、设随机变量X的概率分布为X－1012p0.30.20.40.1k1）EX、DX；求：（（2）Y2X1的概率分布；16、设随机变量的分布函数为F(x)a1Arctanx(x)求：（1）系数a；（2）X落在区间（（3）随机变量X的概率密度。（提示：－1，1）中的概率；Arctanx为反正切函数）《概率论与数理统计》综合复习资料参考答案一、填空题1、答案：5/362、答案：3/143、答案：8/454、答案：0.75、答案：15/226、答案：3/2810/3619/3016/451/3665/6613/281ex，x01eF(x)7、答案：3；0，x0二、选择题题目12345678910C答案BCAAADCBB三、解答题1、解：（1）P(ABC)P(ABC)P(ABABC)P(AB)P(ABC)0.10.030.07（2）P(ABCABCABC)P(ABC)P(ABC)P(ABC))0.070.020.050.142、解：设事件表示：“甲击中敌机”；事件表示：“乙击中敌机”；事件表示：“敌机被击中”。则（1）P(C)P(AB)1P(AB)1P(AB)10.10.9（2）P(AB)P(A)P(B)0.8(10.5)0.4（3）P(AB)P(A)P(B)(10.8)0.50.13、解：设：“电源电压不超过200伏”；：“电源电压在200—240伏”；：“电源电压超过240伏”；：“电子元件被埙坏”。由于，所以由题设,,,所以由全概率公式由条件概率公式4、解：构造似然函数nnLppxpp(1p)（)(,)x1iii1i1nxnip(1p)i1nnlnLnlnp(xn)ln(1p)ii1nxndlnLnii1dpp1p，解得pn/nx，因此的极大似然估计值为i令i1pˆn/nx。ii15、解：设事件表示：“此人来迟了”；事件A分别表示：i“此人乘火车、轮船、汽车、飞机来”（，4）。2分4A，且i，A、A、A、A两两互不相容1234则i1（1）P(A)4P(A)P(A|A)iii131111121110453101258531P(A)P(A|A)1044P(A)P(A|A)3（2）=111/58jjj16、解：的可能取值为1，2，。记表示“第次试验雷管发火”则表示“第次试验雷管不发火”从而得p1P{X1}P(A1)5414pP{X2}P(AA)P(A)P(A)5521212p3P{X3}P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)(1)2455pP{Xk}P(A1A2Ak1Ak)(1)k14k55依次类推，得消耗的雷管数的概率分布为41P{Xk}()k1（k1，2，3，）557、解：（1）的取值为，由概率乘法公式可得同理可得此外事件，，都是不可能事件，所以,于是（，）的概率分布表为1021/6031231/61/601/61/61/6（2）关于的边缘概率分布123pi1/31/31/3关于Y的边缘概率分布Y123pj1/31/31/3（3）和不相互独立，由于PiPjP。ij8、解：设为观测值，则构造似然函数L()(1)n(x)nii1lnLnln(1)nlnxii1dlnLnd1nlnx0i令i1n解得的极大似然估计为ˆ1nlnxii19、解：（1）；；。10、解：设事件表示：“取到的产品是次品”；事件A表示：“取到的产品是第家工厂生产的”i（则）。，且，两两互不相容，（1）由全概率公式得P(A)3P(A)P(A|A)iii112141513210041004100400（2）由贝叶斯公式得P(A)P(A|A)=113P(A)P(A|A)jjj11221004131340011、解：（1）时，=0；时，=故随机变量的密度函数=（2）11xxdx2x(2x)dx112、解：=0=于是13、解：设事件表示：“取到的产品是次品”；事件“取到的产品是第车间生产的”A表示：i（则）。，且，两两互斥，由全概率公式得P(A)3P(A)P(A|A)iii1255354402691001001001001001002000P(A)P(A|A)=113P(A)P(A|A)jjj12552569100100692000知EX312；DX11