高三考前模拟考试试卷（一）数学（文）试题

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

(1)已知集合4={幻％<1},集合5={x|y=ln(l—x2)},则

(A)AcB=(—l,l)(B)Au8=0(C)=(D)AUB=U

(2)已知复数z满足z(l—i)=|l+i|,则z所对应的点位于

(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限

(3)记｛SJ是为正项等差数列｛«„｝的前n项和.若S5=a1,a,=1,则数列｛a,,｝的公差d为

(A)-2(B)-1(C)1(D)2

(4)我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石,

验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为

(A)134石(B)169石(C)338石(D)1365石

x+3y<3

(5)设x,y满足约束条件，x>0,则2=》+》的最大值为

y>0

(A)0(B)1(C)2

(6)如图所示，程序据图(算法流程图)的输出结果为

(A)

(7)已知直线+—2a=0被圆。:炉+产一2公=0截得的弦长为2,则。=

(A)±1(B)±V2(C)±垂)(D)±75

(8)将函数y=2sin(2尤的图像向右平移3个周期后，所得函数图像的一个对称中心为

⑷信⑻停°)卜停(D)(r°)

(9)函数y=xcosx+sinx的图像大致为

(10)如图是一个四面体的三视图，这个三视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯

视图的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为

248

(A)-(B)-(C)-(D)2

333

(11)已知A48c中，AB=2,A=-,BC边上的中线AO=、后，则AC=

3

(A)2(B)4(C)6(D)8

(12)设函数/(x)=dlnx—依2-x,若不等式仅有i个正整数解，则实数。的

取值范围是

(A)-l,]n2一;(B)f—1,In2——

(C)In2—-,In3—-(D)

|ln2--,ln3--

I23

第n卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

(13)已知向量a与向量，的夹角为60°,且6=则向量方在向量a方向上的投影

为.

(14)已知函数/(x)=ar+e*在x=0处的切线与x轴平行，则。=.

(15)已知抛物线C的方程为y2=2px(〃>0),直线/过抛物线的焦点F,与抛物线交于A,

8两点，且|AF|=3忸同，则直线/的倾斜角为.

（16）已知面面ABC。，四边形4BCO为边长为3的正方形，且,

PE=BE=1,则P-ABC。外接球的表面积为.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分12分）设正项数列｛《,｝的前”项和为｛S,,｝,且％=1,当“22时，

a”=+JS“T，

（I）求数列｛%｝的通项公式；

（H）设数列也｝满足*+*+恭+/=4,，求也｝的前〃项和人

（18）（本小题满分12分）某商场对甲、乙两种品牌的牛奶进行为期100天的营销活动，威调

查这100天的日销售情况，用简单随机抽样抽取10天进行统计，以它们的销售数量（单位：

件）作为样本，样本数据的茎叶图如图.已知该样本中，甲品牌牛奶销量的平均数为48件，

乙品牌牛奶销量的中位数为43件，将日销量不低于50件的日期称为“畅销日”.

（I）求出的值；

（II）以10天的销量为样本，估计100天的销量，请完成这两种品牌100天销量的2x2列联

表，并判断是否有99%的把握认为品牌与“畅销（I）日”天数相关.

,n（ad-bc\

附：K2=-一，、,'，、/~~-（其中〃=a+b+c+d为样本容量）

（Q+/?）（c+d）（Q+c）（0+d）

P（K2"o）0.0500.0100.001

甲品牌乙品牌

313134

322412X5

7y1523

5361

（第18题）

3.8416.63510.828

k。

畅销日天数非畅销日天数合计

甲品牌

乙品牌

合计

(19)(本小题满分12分)已知四棱锥S-A8CO中，底面A3CQ是边长为2的菱形,

ZBA£>=60°,SA=SD=BS3=J7,点E是棱A。的中点，点尸在棱SC上，且

—=A,SA//平面3EF.

SC

(I)求实数/I的值；

(II)求三棱锥F-EBC的体积.

(20)(本小题满分12分)已知椭圆C:三+今=l(a>方>0)的离心率为e=竽，且椭圆

(I)求椭圆C的方程；

(II)已知直线/的斜率存在，且过椭圆C的右焦点，与椭圆C交于两个交点A,B两点,

过A作x轴的对称点为4,求证直线A'B恒过定点.

(21)(本小题满分12分)已知/(x)=lnx，

(I)令/(x)=/(x)+q(0<x43),若尸(x)的图象上任意一点？(天,乂))处切线的斜率

上工工恒成立，求实数a的取值范围；

2

(II)当a>0时，设函数g(x)=(》2-2x)/(x)+以2_》，且函数g(x)有且仅有一个零

点，若e2<x<e,g(x)4〃z,求利的取值范围.

请考生在(22)、(23)三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，

则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

(22)(本小题满分10分)选修4-4:极坐标系与参数方程

已知直线/过P(1,O),并且倾斜角为曲线C的极坐标方程为°=8cos。,

(I)求直线/的参数方程和曲线C的直角坐标方程；

(H)设直线/与曲线C交于A,B两点、,求|R4|+|P目的值.

(23)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

已知/(%)=,一。|+x—

(I)求证〃x)N2；

(II)当。=1,求解不等式_/(彳)24一工

参考答案及试题解析

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

一、选择题

(1)已知集合4={刈》<1},集合8={x|y=ln(l—/)},则

(A)AnB=(-l,l)(B)Au3=0(C)AuB=(-l,l)(D)AuB=U

【命题的意图】本小题主要考查解不等式、集合的运算、对数的定义域等知识，考查运算求

解能力、化归与转化的思想.

【试题解析】因为3=(—1,1),所以Ac3=(—1,1),故选A.

【变式题源】(2017年全国卷1.文1)已知集合4={%|尤<2},3={x|3—2x>0},则

(A)=jx|x<-||(B)Ac3=0(C)AuB="x|x<-|l<D)AuB=R

(2)已知复数z满足z(l-i)=|l+小则z所对应的点位于

(A)第一象限(B)第二象限.(C)第三象限(D)第四象限

【命题的意图】本小题主要考查复数的模、复数的四则运算、复平面等基础知识，主要考查

运算求解能力、化归与转化的思想.

【试题解析】因为z=2-=-2(l+‘)-=1+"所以z所对应点为(1,1),位于第一象限，

1-1(1-0(1+/)'7

故选A.

【变式题源】(2017年全国卷3.文2)复平面内表示复数z=i(—2+i)的点位于

(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限

(4)记{S,,}是为正项等差数列{。“}的前〃项和.若§5=。；，％=1,则数列{〃"}的公差"

为

(A)-2(B)-1(C)1(D)2

【命题的意图】本小题主要考查等差数列《，与5”的公式以及等差中项公式等基础知识，主要

考查运算求解能力、化归与转化的思想.

【试题解析】因为Ss=d，得5q=d，因为M>0,所以4=5,则有1=与刍=2,

故选D.

【变式题源】(2015年全国卷1.文7)已知｛q｝是公差为1的等差数列，错误!未找到引用源。

｛S,,｝为｛q｝的前〃项和.若演=4s4,则为=

1719

(A)—(B)—(C)10(D)12

22

(4)我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石,

验得米内夹谷，抽样取米--把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为

(A)134石(B)169石(C)338石(D)1365石

【命题的意图】本小题主要考查几何概型，意在考查利用概率知识解决实际问题的能力.

【试题解析】由——=——，得XX169,故选B.

2541534

【变式题源】(2010年全国卷1.文14)设函数y=/(幻在区间(0,1］上的图像是连续不断的

一条曲线，且恒有OW/(x)Wl,可以用随机模拟方法计算由曲线y=/(x)及直线x=0,

x=i,y=O所围成部分的面积S,先产生两组(每组N个)区间(0,1］上的均匀随机数

x,%2%和y%h，由此得到N个点a，y)(j=l,2..JV).再数出其中满足

X<f(x)(z=1,2.....N)的点数N「那么由随机模拟方法可得5的近似值为.

x+3y<3

(5)设x,y满足约束条件<A:>0,则2=%+旷的最大值为

y>0

(A)0(B)1(C)2(D)3

【命题的意图】本小题主要考查线性规划，意在考查数形结合能力、运算求解能力.

【试题解析】不等式组表示的平面区域为如图中阴影部分所示，平移直线了=-X,当直线经

过(3,0)时，z=x+y取得最大值，此时2皿=3+0=3,故选D.

x+3y<3

【变式题源】（2017年全国卷1.文7）设x,y满足约束条件，x-y>\,则2=工+,的最

y>0

大值为

(A)0(B)1(C)2(D)3

(6)如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为

3(B)1(C)U25

(A)(D)

461224

【命题的意图】本小题主要考查程序框图的知识，意在考查学生分析问题和解决问题的能力.

【试题解析】①当〃=2,S=0,5=0+-=-,〃=4；②当"=4,5=-+-,〃=6；

2224

③当〃=6,S=—I1—>〃=8；所以S=—I1--=—,故选C.

24624612

【变式题源】（2015年全国卷1.文9）执行右面的程序框图，如果输入的，=0.01,则输出的〃=

(A)5(B)6(C)10(D)12

(7)已知直线/:x+gy—2a=0被圆C:d+y2-2方=。截得的弦长为2,则。=

(A)±1(B)±V2(C)±6(D)±75

【命题的意图】本小题主要考查直线与圆的位置关系，意在考查数形结合能力、运算求解能

力.

【试题解析】圆的方程可化为(尤则圆心到直线的距离为

卜一2al7a2—1,解得。=士逐，故选D.

百

【变式题源】(2016年全国卷1.文15)设直线y=x+2。与圆C:f+y2—2ay—2=0相交

于A,8两点，若|A8|=2百，则圆C的面积为.

(8)将函数y=2sin[2x+?)的图像向右平移;个周期后，所得函数图像的一个对称中心为

【命题的意图】本小题主要考查三角函数的图像与性质，考查数形结合能力.

TTjrIT

【试题解析】函数y=2sin|^2x+-的周期为n，所以将函数y=2sinl2x+-向右平町

个单位长度后，得到函数的图象对应的解析式为)，=2sin[2(x—(1+3,即

y=2sin(2x-^],所以一个对称中心为(£71,()],故选C.

I3j166)

【变式题源】(2016年全国卷1.文6)将函数)，=2sin(2x+V的图像向右平吟个周期后,

所得图像对应的函数为

(B)y=2sinf2x+-1-

(A)y=2sin2x+—

•I4J

(C)y=2sin2x---(D)y=2sin2x---

*I4\3)

(9)函数)=xcosx+sinx的图像大致为

【命题的意图】本小题主要考查函数的图像，考查数形结合能力.

TT

【试题解析】结合给出的函数图象，代入特殊值，利用排除法求解.当x=上时，y=l>Q,

2

7t

排除C.当天=一耳时，y=-l,排除B；或利用y=xcosx+sinx为奇函数，图象关于原点

对称，排除B.当％=兀时，y=-n<0,排除A.故选D.

【变式题源】(2013年全国卷1.文9)函数/(幻=(1-85%对11%在[-凡加的图象大致为

ABCD

(10)如图是一个四面体的三视图，这个三视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯

视图的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为

(A)-(D)2

3

【命题的意图】本小题主要考查三棱锥的体积公式,意在考查空间想象能力.

【试题解析】四面体的直观图如图，所以体积为

V=lx[1x1x21x2=-,故选A.

3(2J3

【变式题源】(2016年全国卷3.文10)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出

的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为

(A)18+36石(B)54+18石(C)90(D)81

(11)已知A4BC中，AB=2,A=2,边上的中线贝ijAC=

3

(A)2(B)4(C)6(D)8

【命题的意图】本小题解三角形的相关知识，意在考查运算求解能力、化归与转化能力.

24

【试题解析】如图=——,AE=2瓦,由余弦定理知

3

AE2=AB'+BE2-2AB-BE-cosZABE,得(2屈了=2?+5后?-2x2J3Ecos年，得

BE=6,故选C.

jrI

【变式题源】(2016年全国卷3.文8)在A4BC中，B=-,BC边上的高等于1忸C|,则

sinA=

3

(A)—(B)—

1010©#⑸噜

(⑵设函数/(司=9111%一。(：2一%,若不等式/(x)<0仅有1个正整数解，则实数。的

取值范围是

(A)-l,ln2--|(B)|-I,ln2--(C)In2--,ln3--|(D)fln2—!-,ln3--

L2；I2」［23)I23」

【命题的意图】本小题本小题主要考查导数及其应用等基础知识；考查推理论证能力、运算

求解能力；考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想.

【试题解析】函数〃x)的定义域为{x|x>0},不等式/(x)<0,即-inx—a?—xvO,

两边除以x,则xlnx〈⑪+1,注意到直线/：y=ox+l恒过定点(0,1),不等式/(x)<0仅

有1个正整数解，即函数y=xlnx图象上仅有1个横坐标为整数的点落在直线/:y=办+1的

上方，由图象可知，这个点为(1,0).可得/(1)<0,/(2)>0,即—I<a41n2—].故选

B.

【变式题源】(2015年全国卷3.理12)设函数/(x)="(2x-l)—宙:+a,其中a<l,若存

在唯一的整数天，使得/(/)<0,则。的取值范围是

333333

(A)(B)(C)(D)—,1

Te2e'42e2e

第II卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

(13)已知向量。与向量占的夹角为60°,且b=(l,J5),则向量方在向量a方向上的投影

为,

【命题的意图】本小题主要考查向量的夹角、模、数量积、投影等基础知识.

【试题解析】因为向量6在向量a方向上的投影为M|cos60°=2xg=l,故答案为1.

【变式题源】(2017年漳州市二检理13)己知向量a,b满足a-b=2,且8=Q够*，则a+6

在方方向上的投影为.

(14)已知函数〃x)=av+e*在x=0处的切线与x轴平行，则°=

【命题的意图】本小题主要考查导数的公式、导数的几何意义，意在考查运算求解能力、化

归与转化能力.

【试题解析】f\x)=a+ex,则/'(0)=a+l=0,可得a=-l

【变式题源】(2017年全国卷1.文14)已知函数/(x)=tz?+x+l的图像在点的处

的切线过点(2,7),则a=

(15)已知抛物线C的方程为y2=2px(p>0),直线/过抛物线的焦点F,与抛物线交于A,

B两点，且|AF|=3忸F|,则直线/的倾斜角为.

【命题的意图】本小题主要考查抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系，意在考查运算求

解能力、化归与转化能力.

112

【试题解析】因为「二二又|明=3网,可得|AF|=2p,忸耳=4，则

\AF\|BF|p

阴=型=^_,因为0＜。＜万，可得sin8=立，故。=工或。=女.

13sin20233

【变式题源】（2017年全国卷1.文14）设F为抛物线C：V=3x的焦点，过尸且倾斜角为30°

的直线交于C于A,B两点，则|AB|=

(B)6(C)12(D)773

（16）已知面F钻_L面A8CD,四边形A8CO为边长为3的正方形，且PE_LA5,

PE=BE=l,则P-ABC。外接球的表面积为.

【命题的意图】本小题主要考查线面位置关系及外接球的表面积公式,

意在考查空间想象能力、运算求解能力.

【试题解析】将四棱锥P-A3C。补成三棱柱PA8-PC。，如图

PB=y/2,PA=#＞,的外接圆半径为叵，所以尸-4BCO

2

外接球的半径为/?=,所以P-ABCD外接球

的表面积为19乃.

【变式题源】（2017年全国卷1.文16）已知三棱锥5-ABC的所有顶点都在球0的球面上，SC

是球。的直径.若平面SC4J.平面SC3,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,

则球。的表面积为________.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分12分）设正项数列也｝的前八项和为⑸｝,且4=1,当"22时，

an=+，S"_i,

（I）求数列｛6,｝的通项公式；

（H）设数列也｝满足/+*+畀+/=%，求也｝的前〃项和乙

【命题的意图】本小题主要考查通过可与S,,的关系、递推关系求数列的通项，意在考查运算

求解能力、化归与转化能力.

【试题解析】(I)当，此2时，由%=底+6=，得s“—Si=6；+6;，因为S.>0,

所以

庖-卮=1,.............................................................

.....................................2分

故｛底｝是以"'=1为首项，公差为I的等差数列，所以卮=1+(〃-1)=〃，则有5,,=小,

3分

当〃22时，

an=rT=2n-l,....

...........4分

且q=1也适合

an=2n-l,.....

........5分

故数列｛q｝的通项公式的通项公式为

an=271-1........................6分

(II)①当”=1时，得与=%=1,所以

b,=2t...................7分

4%力

〃

一bbh

+一++

一=畤+墨+畀=%T②，①-②得

2犷2,,

h

寸=4-%=2,则有

包=2向，.8分

可得数列我｝的通项公式为

2,71=1

b=!9分

〃[2,1+\n>2

所以当〃=1时,

7]=2；....................................................

..10分

当”22时，7；,=2+23+24++2"+i=2+2二!-；―-=2,,+2-6>..........口分

且工=2也适合<=2"+2-6,故

T„=2"+2-6.........................................12分

【变式题源】（2015年全国卷1.理17）5.为数列｛4｝的前〃项和.已知。“>0,片+4错误!

未找到引用源。.

（I）求数列｛%｝的通项公式；

（H）设错误!未找到引用源。勿=」一，求数列｛包｝的前〃项和.

（2017年全国卷1.文17）设数列｛凡｝满足4+3生++（2〃-1）q=2".

（I）求数列｛4｝的通项公式；

（II）求数列错误!未找到引用源。的前〃项和.

2/7+1

（18）（本小题满分12分）某商场对甲、乙两种品牌的牛奶进行为期100天的营销活动，威调

查这100天的日销售情况，用简单随机抽样抽取10天进行统计，以它们的销售数量（单位：

件）作为样本，样本数据的茎叶图如图.已知该样本中，甲品牌

甲品牌乙品牌

牛奶销量的平均数为48件，乙品牌牛奶销量的中位数为43件，

313134

将日销量不低于50件的日期称为“畅销日”.322412x5

•y1ozo

5361

（I）求出的值；

（II）以10天的销量为样本，估计100天的销量，请完成这两（第18题）

种品牌100天销量的2x2列联表，并判断是否有99%的把握认为品牌与“畅销（I）日”天

数相关.

n[ad-bey

附：K2=(其中〃=a+b+c+d为样本容量)

(a+b)(c+d)(a+c)(O+d)

20.0500.0100.001

P(K>k0)

%3.8416.63510.828

畅销日天数非畅销日天数合计

甲品牌

乙品牌

合计

18.【命题的意图】本题主要考查茎叶图、平均数，中位数，相关性检验等基础知识，考查数

据分析与处理、运算求解能力，解决实际问题的能力，考查化归与转化思想及统计思想.

【试题解析】(I)因为甲品牌牛奶销量的平均数为48件

31+33+42+42+43+51+57+63+65go才§

所以1

10

分

解得y=33

分

又因为乙品牌牛奶销量的中位数为43件

42+40+x,_

所以----------二434

2

分

解得x=45

分

(II)

畅销日天数非畅销日天数合计

甲5050100

乙3070100

合计80120200

分

-T。％黑篙）若心〉63…”分

所以有99%的把握认为品牌与“畅销日”天数有关........................12

分

【变式题源】（2017全国2卷文19）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量

对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品产量（单位：kg）的某频率直方图

如图所示.

（I）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg”，

估计A的概率；

（H）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.

箱产量V50kg箱产量..50kg

旧养殖法

新养殖法

（山）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法的箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）.

附:

P[K\.k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

n(ad-be?

K2=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

(19)(本小题满分12分)已知四棱锥S—A5c。中，底面是边长为2的菱形,

/84。=60",SA=SD=非,S3=«，点E是棱的中点，点F在棱SC上，且

—=2,SA//平面BE尸.

SC

(I)求实数2的值；

(II)求三棱锥E—E5C的体积.

【命题的意图】本题主要考查线面位置关系、立体的体积；

【试题解析】解：(I)连接AC,设ACc8E=G,连接尸G,

因为SA//平面EF3,SAu平面SAC,平面SACc平面8所=FG

所以

SA//FG,

..................................3分

(II)解法一：在ASAD中，£为的中点，

所以AE=EO=』AO=1,又因为S4=S£>=逐，

2

所以SELA。，SE=qSA-AE2=2,

在AE4B中，EA=],ZEAB=60°,AB=2,所以£8=百，

所以S2+£,所以

SE工BE,..........................................................................................................................8分

又因为E,

所以SEA.平面

A,..............................................................................................................................

.............9分

因为S=-,所以

3

2

CF=—CS,....................................................................................................................10分

3

所以尸到平面ABCD的距离等于S到平面ABCD的距离的三2倍，

3

24

即所以F到平面ABCD的距离等于-SE=-,

33

因为$阴二齐菱形,^=4,

%BCE=-xV3x-=^...............................................................12分

F-BCE339

【变式题源】（2014年全国卷2.文18）如图，四棱锥P-A8CD中，底面ABCO为矩形，PA1

平面ABC。，E是PZ）的中点.（I）证明：P3//平面AEC；（U）设AP=1,AD=y/3,

A

三棱锥P-A8D的体积V=土，求A到平面PBC的距离.

4

（20）（本小题满分12分）已知椭圆C：W+/=l（a>〃>°）的离心率为e=［，且椭圆

过点

（1）求椭圆C的方程;

（II）已知直线/的斜率存在，且过椭圆C的右焦点，与椭圆C交于两个交点A,B两点、,

过A作x轴的对称点为A',求证直线AB恒过定点.

【命题的意图】本题主要考查曲线的方程、直线过定点问题.

【试题解析】（I）由题意得£=变,

且。2=42+02,可得a=血,

a2

b=\c=l,所以椭圆C的方程为

22

工+21=1...........................................................5分

21

（H）设直线/的方程为y=攵（x—1）,A（N，y）,B（x2,y2）»则A（5,—yj,联立方程

22[底

xy_玉+冗2=-----7

<T+T==^(l+2F)x2-4Jl2x+(2r-2U0，则有J-1+2内，且

,/'2k2-2

y=k(x-ln)=--------

iIx1xl+2k2

A(4的2-1碘逾)一2足8...................................

.....................7分

且直线A5的方程为

y=必+言…)

.....................8分

令y=0,得到

”2公—24左2

X=*_U+-%=%[2中2-(内+々)]=-X1+2/-1+2左2=2

%+必必+M%(不+为2-2)4/2

1+2左2

...................................11

分

故直线直线48恒过定点

(2，。)...........................................................................

...........12分

【变式题源】(2017年全国卷1.理20)已知椭圆C：3+左=l(a>/?>0),四点片(1,1),

£(()/)，A-1，与，Ui,g］中恰有三点在椭圆。上.

(I)求C的方程；

(II)设直线/不经过鸟点且与C相交于A,B两点.若直线6A与直线£8的斜率的和为

-1,证明：/过定点.

(21)(本小题满分12分)已知/(x)=Inx,

(I)令尸(x)=/(x)+/(0<x43),若/(x)的图象上任意一点尸(工,%)处切线的斜率

上4"!■恒成立，求实数a的取值范围；

2

(II)当a>0时，设函数g(x)=(V—2x)/(x)+ar2_x,且函数g(x)有且仅有一个零

点，若e~12<x<e,g^x)<m,求m的取值范围.

【命题的意图】导数的公式、导数的几何意义、函数的零点、参数的取值范围.

【试题解析】(I)由/(x)=/(x)+g(O<x43),则有F(x)=七一“在/e(O,3]上

恒成立，所以-xl+x0j,x0e(0,3],当天)=1时，f一~-+x0j=—>所以

\2/maxx2/max2

1

a>—...............................................

2

..............................4分

(II)因为x>0,令g(x)=(x?-2X)/(X)+QX?-x=0,则(Y-2x)lnx+or2=x,即

a\令〃⑺」-6-2>叫则〃'3=17；21门

......................................................7分

令r(x)=l-x-21nx,x>0，则=.J2,因为r(x)<0,所以f(x)在(0,+oo)上为

减函数，又因为r(l)="(1)=0,所以当0<x<l时，"(x)>0,当x>l时，〃'(x)<0,

所以〃(力在(0,1)上单调递增，在(l,+o。)上单调递减，所以〃(力亦=力⑴=1,因为a>0,

所以