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文档简介
23个函数与导函数类型专题1、函数第1题已知函数,若,且,,求的取值范围.[解析]=1\*GB2⑴将不等式化成模式由得:,化简得:=1\*GB3①=2\*GB2⑵构建含变量的新函数构建函数:(,且)其导函数由求得:即:=2\*GB3②=3\*GB2⑶确定的增减性先求的极值点,由得:即:=3\*GB3③满足=3\*GB3③式的,即:的极值点在时,由于有界,而无界故:即:在时,,单调递减;那么,在时,单调递增.满足=3\*GB3③式得恰好是=4\*GB2⑷在由增减性化成不等式在区间,由于为单调递减函数,故:应用不等式:得:即:,即:的最大值是代入=1\*GB3①式得:,即:,即:=4\*GB3④=5\*GB2⑸在由增减性化成不等式在区间,由于为单调递增函数,故:由于极限,故:,代入=1\*GB3①式得:=5\*GB3⑤=6\*GB2⑹总结结论综合=4\*GB3④和=5\*GB3⑤式得:.故:的取值范围是本题的要点:求出的最小值或最小极限值.特刊:洛必达法则解析=1\*GB2⑴由=1\*GB3①式,设函数当时,用洛必达法则得:,则当时,用洛必达法则得:,则当时,用洛必达法则得:其中,的最小值是,所以本题结果是,即:=2\*GB2⑵关于极限将函数以为中心,以泰勒级数展开因为:;;;;;……,代入泰勒公式:得:于是:上面用泰勒级数证明了.2、函数第2题已知函数,,,连续,若存在均属于区间的,且,使,证明:[解析]=1\*GB2⑴求出函数的导函数函数:=1\*GB3①其导函数:=2\*GB3②=2\*GB2⑵给出函数的单调区间由于,由=2\*GB3②式知:的符号由的符号决定.当,即:时,,函数单调递增;当,即:时,,函数单调递减;当,即:时,,函数达到极大值.=3\*GB2⑶由区间的增减性给出不等式由均属于区间,且,得到:,若,则分属于峰值点的两侧即:,.所以:所在的区间为单调递增区间,所在的区间为单调递减区间.故,依据函数单调性,在单调递增区间有:=3\*GB3③在单调递减区间有:=4\*GB3④=4\*GB2⑷将数据代入不等式由=1\*GB3①式得:;;代入=3\*GB3③得:,即:,即:=5\*GB3⑤代入=4\*GB3④式得:,即:,即:=6\*GB3⑥=5\*GB2⑸总结结论结合=5\*GB3⑤和=6\*GB3⑥式得:.证毕.本题的要点:用导数来确定函数的单调区间,利用单调性来证明本题.特刊:特值解析由=3\*GB2⑶已得:,,且:,若:,则:即:,故:当:,时,当:,时,故:处于这两个特值之间,即:3、函数第3题已知函数.若函数的图像与轴交于两点,线段中点的横坐标为,试证明:.[解析]=1\*GB2⑴求出函数导函数函数的定义域由可得:.导函数为:=1\*GB3①=2\*GB2⑵确定函数的单调区间当,即时,,函数单调递增;当,即时,,函数单调递减;当,即时,,函数达到极大值.=2\*GB3②=3\*GB2⑶分析图像与轴的交点,求出区间由于,若与轴交于两点,则其极值点必须.即:,即:=3\*GB3③考虑到基本不等式及=3\*GB3③式得:即:,即:,即:结合,即:得:=4\*GB3④=4\*GB2⑷求出点以及关于极值点的对称点两点分居于极值点两侧,即:,设:,,则,且(因)设:,则与处于相同得单调递减区间.于是:,即:故:=5\*GB3⑤将替换成代入就得到:=6\*GB3⑥=5\*GB2⑸比较点的函数值,以增减性确定其位置构造函数:将=5\*GB3⑤=6\*GB3⑥式代入上式得:=7\*GB3⑦其对的导函数为:=8\*GB3⑧由于=4\*GB3④式及,所以.即:是随的增函数,其最小值是在时,即:由=7\*GB3⑦式得:,故:.当时,,即:由于和在同一单调递减区间,所以由得:即:,即:或=9\*GB3⑨=6\*GB2⑹得出结论那么,由=9\*GB3⑨式得:即:.证毕.本题的关键:首先求得极值点,以为对称轴看的对称点就可以得到结论.具体措施是:设点,利用函数的单调性得到特刊:本题点评本题的解题思路:=1\*GB2⑴函数图象与轴有2个交点,则在之间应该有函数的极值点,于是得到极值点;=2\*GB2⑵以极值点为对称轴,以等宽度()得到“对称点C”(仅横坐标对称),这样,C和B处于同一个单调区间;=3\*GB2⑶利用单调性比较C和B点的函数值,出现不等式.4、函数第4题已知函数.若,求的最大值.[解析]=1\*GB2⑴求出函数的解析式由于和都是常数,所以设,,利用待定系数法求出函数的解析式.设:,则:其导函数为:,则:所以:,,函数的解析式为:=1\*GB3①=2\*GB2⑵化简不等式即:,故:=2\*GB3②=3\*GB2⑶构建新函数,并求其极值点构建函数=3\*GB3③其导函数:=4\*GB3④要使=2\*GB3②式得到满足,必须.即:,或的最小值等于0故当取得极值时有:,由=4\*GB3④式得极值点:此时的由=3\*GB3③得:=5\*GB3⑤=4\*GB2⑷求的最大值由=5\*GB3⑤式得:,则:=6\*GB3⑥令:,则=6\*GB3⑥式右边为:()其导函数为:=7\*GB3⑦当,即:时,,单调递增;当,即:时,,单调递减;当,即:时,,达到极大值.此时,的极大值为:=8\*GB3⑧=5\*GB2⑸得出结论将=8\*GB3⑧代入=6\*GB3⑥式得:,故:的最大值为本题的关键:利用已知的不等式得到关于的不等式即=6\*GB3⑥式,然后求不等式=6\*GB3⑥式的极值.5、函数第5题已知函数的最小值为,其中.若对任意的,有成立,求实数的最小值.[解析]=1\*GB2⑴利用基本不等式求出利用基本不等式或,得:即:,即:已知的最小值为,故,即:或者,将的端点值代入,利用最小值为,求得=2\*GB2⑵用导数法求出函数的导函数为:=1\*GB3①当,即时,,函数单调递减;当,即时,,函数单调递增;当,即时,,函数达到极小值.依题意,的最小值为,故当时,即:,故:函数的解析式为:=2\*GB3②=3\*GB2⑶构建新函数当时,有,即:构建函数:=3\*GB3③则函数,即的最大值为.实数的最小值对应于的最大值点.=4\*GB2⑷确定的单调区间和极值于是由=3\*GB3③式得导函数为:=4\*GB3④当时,由=3\*GB3③式得函数;则是极值点,同时也是区间的端点.当时,即:当,即时,,函数单调递增;当,即时,,函数单调递减;当,即时,,函数达到极大值.故:从开始单调递增,直到达到的极大值,再单调递减,所以是个极小值.是个极大值,也是最大值.=5\*GB2⑸求出最大值点将最值点代入=3\*GB3③式得:()由的最大值为得:即:,即:,此时,即:,即:=6\*GB2⑹给出结论由于,也是端点,结合=4\*GB2⑷的结论,所以:在区间单调递减,是个极大值,也是最大值.由得出实数的最小值为:故:实数的最小值.本题关键:用构建新函数代替不等式,通过求导得到极值点.特刊:特值解析由=3\*GB3③式,要求函数.由=3\*GB3③式可看出时,由得:,令我们只要求出在极值点的值就好.用洛必达法则:对应于的,即:实数的最小值.6、函数第6题已知函数,(),当在一定范围时,曲线上存在唯一的点,曲线在点的切线与曲线只有一个公共点,就是点,求点的坐标.[解析]=1\*GB2⑴确定曲线的切线方程曲线:=1\*GB3①其导函数:=2\*GB3②设点的坐标为:,则切线方程为:=3\*GB3③=2\*GB2⑵构建新函数,并求导构建函数,则切线与曲线的交点就是的零点.则:=4\*GB3④其导函数:=5\*GB3⑤由=2\*GB3②得:,,代入=5\*GB3⑤式得:=6\*GB3⑥=3\*GB2⑶分析时函数的单调性和极值当时:若,则,,故:,单调递增;若,则,,故:,单调递减;若,则,,故:,达到极小值.由=4\*GB3④式得:的极小值.此时,的零点与点的取值有关,因此点的取值不唯一,所以的零点就不唯一.故当时,不满足点唯一的条件.=4\*GB2⑷分析时函数的切线当时:由=6\*GB3⑥式,的情况分两种:a>即:,此时与=2\*GB2⑵的情形相同,点的取值不唯一.b>,即:,此时,,即:=7\*GB3⑦=7\*GB3⑦式的解是曲线与直线的交点.曲线恒过点,直线也恒过点,当曲线过点的切线斜率等于时,其这个切线就是曲线的切线.故:曲线过点的切线斜率为:于是:,即:,即:=5\*GB2⑸得到切点的坐标当时,就存在.由于在其定义域内是凸函数,所以与其切线的交点是唯一的.将代入=1\*GB3①式得:得到和,这就是点的唯一坐标.=6\*GB2⑹结论切点的坐标:,本题要点:利用图象法解超越方程=7\*GB3⑦.特刊:本题点评本题的关键是解:,即:;明显的一个解,,不满足“唯一点”的要求;解析得到另一个满足的解是关键;本题利用图像法得到,即:,这个方法是本题的亮点.7、函数第7题已知函数,其中.在函数的图象上取定两点,,且,而直线的斜率为.存在,使成立,求的取值范围.[解析]=1\*GB2⑴的斜率与的导函数由、两点的坐标得到直线的斜率:=1\*GB3①函数的导函数为:=2\*GB3②=2\*GB2⑵构建新函数,并求导判断是否成立,即判断是否不小于.所以,构建函数:,若,则成立.则:=3\*GB3③导函数:=4\*GB3④=3\*GB2⑶求在区间端点的函数值由=3\*GB3③式得:=5\*GB3⑤=6\*GB3⑥=4\*GB2⑷确定的零点存在利用基本不等式:,当且仅当时取等号.即:=7\*GB3⑦将=7\*GB3⑦式应用于=5\*GB3⑤式得:()将=7\*GB3⑦式应用于=6\*GB3⑥式得:()则,证明其存在性.函数在区间是连续的,其导函数也存在.由=4\*GB3④式得:,即函数为单调递增函数.是单调函数,则证明其唯一性.由和以及函数零点存在定理得,函数必过零点,且是唯一零点.=5\*GB2⑸求在区间的零点位置设函数在区间的零点位置在,则有由=3\*GB3③式得:()即:=7\*GB3⑦且:=6\*GB2⑹求在区间的由=4\*GB3④式得:函数为单调递增函数,故:在区间,;在区间,;在时,.故,的区间为,即:本题要点:构建函数关系式=3\*GB3③,由其导数得出单调性、增减性,得出零点.特刊:本题点评本题的实质是拉格朗日中值定理:如果函数在闭区间连续,在开区间可导,则必存在,使得.8、函数第8题已知函数.证明:当时,[证明]=1\*GB2⑴构建新函数,并求导构建函数=1\*GB3①导函数=2\*GB3②即:=3\*GB3③函数满足,,现在只要证明,当时,,则.=2\*GB2⑵化掉=2\*GB3②式中的根号项.要保持不等号的方向不变,只有即:或.(代表某个不含根号的式子)由于有和的两种选项,所以采用化掉的方法.由均值不等式:得:代入=3\*GB3③式得:即:=4\*GB3④=3\*GB2⑶求函数的极值点当取极值时,.故由=4\*GB3④式得:,即:=5\*GB3⑤令,()(因为)则=5\*GB3⑤式为:,即:=6\*GB3⑥分解因式法:故有:,及,即:由于,所以舍掉负值,故取所以有:,,即:,由于所以函数在两个相邻极值点之间是单调的.=4\*GB2⑷由单调性证明不等式由=1\*GB3①式得:,即:,由于在区间,是单调的,故:于是,函数在时达到极大值,然后递减,直到时达到极小值.就是说在区间,,函数单调递减.即:,故:.证毕.本题要点:构建函数,由两个相邻极值点之间的区间是单调的,以及两个相邻极值点之间的函数值的大小关系,得出:函数在这个区间为单调递减,由此来证明本题.本题的难点在于处理=5\*GB3⑤式或者=6\*GB3⑥式.特刊:数值解析由=1\*GB3①式构建函数=1\*GB3①其导数为方程=2\*GB3②式=2\*GB3②直接解方程=2\*GB3②比较困难,可以化简一下.在区间,,故:,即:代入=2\*GB3②式得:令:,则:即:,即:故:,.即:在区间存在满足.这时候,分别将和代入=2\*GB3②式得:上面的计算说明的另一个零点在区间,那么对于本题,由于,,所以在区间,为单调递减函数.即:在区间,.即:9、函数第9题已知,为正整数,抛物线与轴正半轴相交于点.设抛物线在点处的切线在轴上的截距为,求证:当时,对所有都有:.[证明]=1\*GB2⑴先求点的坐标将,代入抛物线得:=2\*GB2⑵求过点的切线方程抛物线的导数为:=1\*GB3①故点的切线方程为:即:=2\*GB3②=3\*GB2⑶求切线在轴上的截距为由=2\*GB3②式,当时,.故:=3\*GB3③=4\*GB2⑷分析待证不等式,即:,即:,即:,即:,即:将=3\*GB3③式代入上式得:,即:=4\*GB3④证明了=4\*GB3④式,就证明了不等式=5\*GB2⑸数值分析由=4\*GB3④式当时,;当时,,即;当时,,即;(,)因为,对=4\*GB3④式两边求对数得:=5\*GB3⑤满足上式得:的最小值,就是的最大值.=6\*GB2⑹构建新函数构建函数:,求的最大值.求导得:当时,即:,即:=6\*GB3⑥令,则.代入=6\*GB3⑥式得:=7\*GB3⑦=7\*GB2⑺求的最大值虽然解方程=7\*GB3⑦比较困难,但得到其取值范围还是可以的.由=7\*GB3⑦式得:,即:即:,即:于是满足=5\*GB3⑤式的的最大值是代入=4\*GB3④式得:=8\*GB3⑧=8\*GB2⑻证明结论满足=8\*GB3⑧式,就满足=4\*GB3④式,由=4\*GB2⑷得证.当时,对所有都有:.证毕.特刊:本题点评本题有3个关键点:=1\*GB2⑴求抛物线在点处的切线,得到:;=2\*GB2⑵分析法解析待证不等式,得到:或;=3\*GB2⑶设得到,解析得:,即:.只要通过这3个关键点,问题得以解决.10、函数第10题已知函数,为的导数.设,证明:对任意,[解析]=1\*GB2⑴求函数的解析式函数的导函数为:=1\*GB3①函数得:=2\*GB3②=2\*GB2⑵构造新函数由基本不等式(仅当时取等号)得:代入=2\*GB3②式得:()令:=3\*GB3③则上式为:=4\*GB3④=3\*GB2⑶分析的单调性,并求其极值由=3\*GB3③式得导函数为:=5\*GB3⑤当,即时,,单调递减;当,即时,,单调递增;当,即时,,达到最大值.的最大值是在,由=3\*GB3③式得:=6\*GB3⑥=4\*GB2⑷证明结论故由=4\*GB3④式和=6\*GB3⑥式:即:对任意,.证毕.本题要点:运用基本不等式,求函数的极值.特刊:本题点评本题组合函数包含了函数的导函数,形似复杂,其实就是“纸老虎”,因为得到的解析式并不难.在得到不等式时采用了“指数不等式”,这是本题的一个关键点,不是难点.构造新函数并分析其增减区间,这是难点.遗憾的是:小于的是的最大值.11、函数第11题已知是实数,函数,,和是、的导函数.设,且,若在以为端点的开区间上恒成立,求的最大值.[解析]=1\*GB2⑴构建新函数函数的导数为:=1\*GB3①函数的导数为:=2\*GB3②构建函数:=3\*GB3③则已知条件化为:在开区间上恒成立,等价于=4\*GB3④=2\*GB2⑵确定的取值范围已知,若,则区间;故:此时区间包括点.由=1\*GB3①=2\*GB3②式得:,,所以不满足=4\*GB3④式,即:不成立.故:,与同处于区间.=3\*GB2⑶确定的取值范围由于,,,即:要满足=4\*GB3④式,在时,则必须有:,即:,即:,即:,结合得:=5\*GB3⑤=4\*GB2⑷确定的最大值.由于区间是以为端点,,,而所以若,则,所以:,即:,故:,代入=5\*GB3⑤式得:故:=6\*GB3⑥故:的最大值就是由=6\*GB3⑥式决定的区间长度,即本题的要点:确定,确定的取值范围=5\*GB3⑤式.特刊:结合图形ABxyC由=3\*GB3③式,ABxyC画曲线和,且,.当时得A点横坐标为开区间的左端点,且,为开区间的右端点.由得:.由图形可知的最大值12、函数第12题已知函数(),若时,求的最小值.[解析]=1\*GB2⑴求出函数的导函数由函数得:导函数为:=1\*GB3①依题意,若时,即在区间的最大值为0.所以,只要求出区间的最大值,使之为0,就解决问题.=2\*GB2⑵由函数极值点得出相应的结果由极值点的导数为0得:所以当在区间时,函数在区间单调递减故满足的条件.于是:由于,,所以,即:故:,即:求三角函数定义域得:,故:.结合,于是,即的最小值是.特刊:本题解析我们知道对数不等式有:,本题可以看出:和,即:可见,处于随变化范围之内,所以求的范围.本题要求时,即:.通过本题,我们得到一个加强的不等式:13、函数第13题已知函数(),,若曲线和曲线都过点,且在点处的切线相互垂直.若时,,求的取值范围.[解析]=1\*GB2⑴求出函数和的导函数函数的导函数:=1\*GB3①函数的导函数:=2\*GB3②=2\*GB2⑵由求出和由曲线过点得:由曲线过点得:=3\*GB2⑶由点处的切线相互垂直条件得出与的关系式由点处的切线相互垂直,即切线斜率的乘积等于,即:由=1\*GB3①得:,由=2\*GB3②得:代入上式得:=3\*GB3③=4\*GB2⑷构建新函数构建函数:,即:于是:,即:=4\*GB3④当时,等价于.=5\*GB3⑤=5\*GB2⑸化简求解条件只要满足,,就一定满足=5\*GB3⑤式.于是由=3\*GB2⑶得:=6\*GB3⑥将=3\*GB3③式代入=6\*GB3⑥式得:,即:而=4\*GB3④式已得:,所以只要满足就可以满足=5\*GB3⑤式.=6\*GB2⑹化解要,即:将=1\*GB3①=2\*GB3②式代入上式得:=7\*GB3⑦由=3\*GB3③得:,将上式和基本不等式,代入=7\*GB3⑦式得:=8\*GB3⑧只要右边不小于,就满足要求.即:即:已知,所以.已知=5\*GB2⑸中,所以,由基本不等式得:代入=8\*GB3⑧式得:=9\*GB3⑨=6\*GB2⑹解析=9\*GB3⑨式若:,即:=10\*GB3⑩=1\*romani.当时,显然上式成立,则由=9\*GB3⑨式得成立;=2\*romanii.当时,由=10\*GB3⑩式得:,即:由=3\*GB3③式得:,且已得,故:=3\*romaniii.当时,由=10\*GB3⑩式得:而,故:由于,,这两者之和为定值,由“一正二定三相等”得:当,即时,为极大值.此时为极小值,故此时.由=3\*GB3③式得:,即:综上,由和得:可以满足=5\*GB3⑤式条件.本题由切线互相垂直得到=3\*GB3③式,构建函数得到=5\*GB3⑤式,不等关系得到=9\*GB3⑨式,重点是分析=9\*GB3⑨式得到的取值范围.特刊:本题点评由曲线和曲线都过点,得到:,;由在点处的切线相互垂直,得到=3\*GB3③式:;由时,,得到=5\*GB3⑤式:;关键是:只要满足,,就一定满足=5\*GB3⑤式.后面的技术是:将化成=9\*GB3⑨式:;分别讨论,和,同时满足此3条件的.14、函数第14题已知函数.当时,求的取值范围. [解析]=1\*GB2⑴分析题意设,,则,的意思,就是的图象在的图象之上.设在处,与的图象相切,此时,设值为,只要,的图象永在的图象之上.=2\*GB2⑵由切点的关系来建模由于点在曲线上,故:=1\*GB3①同时点在曲线上,故:=2\*GB3②由=1\*GB3①=2\*GB3②式得:=3\*GB3③它们在图象相切,故:,即:故:=4\*GB3④=3\*GB2⑶解超越方程=4\*GB3④式方程=4\*GB3④是一个超越方程,令(),即:代入=4\*GB3④得:或=5\*GB3⑤由于定义域为,所以,即:,故:=6\*GB3⑥由基本不等式(仅当时取等号)或(仅当时取等号)代入=5\*GB3⑤式可得:,即:,即:=7\*GB3⑦由=6\*GB3⑥=7\*GB3⑦得:=8\*GB3⑧事实上,方程的解是:.=4\*GB2⑷解出极值点的由=3\*GB3③式得:,即:,即:()=9\*GB3⑨故:,所以:当时,由=1\*GB2⑴的分析,本题答案是:,即,本题答案:特刊:本题点评严格来说,解超越方程得,,本题答案是;实际上,函数的零点就是.本题解析=3\*GB3③式是关键,得到;由基本不等式,得到;结合两式,故:;第=4\*GB2⑷步解出极值点的的范围,标准答案有点勉强.这启示我们,在不会解超越方程时,采用取范围的策略.下面是极值点附近的函数图.(零点在,)15、函数第15题设函数,其中,求时的取值范围.[解析]的图象是开口向下的抛物线,于是当时,,,即:,即:故:的取值范围是,本题就是分析二次函数题.16、函数第16题已知,函数.若函数在区间的图像上存在两点,在点和点处的切线相互垂直,求的取值范围.[解析]去绝对值号=1\*GB2⑴对,,其导数:即:在区间,函数单调递增;=2\*GB2⑵对,,其导数:即:在区间,函数单调递减;=3\*GB2⑶对,,函数达到极小值0.一个绝对值的极小值不小于0.=4\*GB2⑷若点和点处的切线相互垂直,即:=1\*GB3①则点和点分居于两个不同的单调区域.设,则,于是=1\*GB3①式就是:,即:即:=2\*GB3②=4\*GB2⑷解析=2\*GB3②式得=5\*GB3⑤式由=2\*GB3②式得:=3\*GB3③因为,所以,代入=3\*GB3③式得:,即:,即:=4\*GB3④因为,所以,结合=4\*GB3④式得:即:,故:=5\*GB3⑤=5\*GB2⑸解析=3\*GB3③式得=7\*GB3⑦式因为,所以,即:,代入=3\*GB3③式得:,即:=6\*GB3⑥因为,所以代入=6\*GB3⑥式得:,即:=7\*GB3⑦综上=5\*GB3⑤和=7\*GB3⑦式得,的取值范围是.本题要点:由已知条件演绎出=2\*GB3②式,由=2\*GB3②式演绎出的取值范围.特刊:本题点评自从得到=2\*GB3②式后,=4\*GB2⑷解析=2\*GB3②式得=5\*GB3⑤式和=5\*GB2⑸解析=3\*GB3③式得=7\*GB3⑦式,都是逻辑推理,没有什么计算.所以本题是“函数与逻辑”综合性的题目,这是本题的特点.17、函数第17题已知函数,为常数且.若条件1:满足;条件2:.则满足这2个条件,称为函数的二阶周期点,如果有两个二阶周期点,试确定的取值范围.[解析]=1\*GB2⑴函数去绝对值号得出和当时,,记:=1\*GB3①当时,,记:=2\*GB3②条件1:=3\*GB3③条件2:=4\*GB3④=2\*GB2⑵在及时解析=1\*GB3①式对二阶周期点,当,函数用=1\*GB3①式:;当时,复合函数仍用=1\*GB3①式:故:,条件1:,即:,即:;条件2:,即:,即:.此时,条件1和条件2对立,函数不能同时满足,故没有二阶周期点.=3\*GB2⑶在及时解析=1\*GB3①式对二阶周期点当,函数用=1\*GB3①式:当时,函数用=2\*GB3②式:故:,条件1:,即:;条件2:,即:,即:.则:=5\*GB3⑤=4\*GB2⑷在及时解析=5\*GB3⑤式将条件1:代入得:即:,即:,即:=6\*GB3⑥将代入得:即:,即:,即:故:=7\*GB3⑦结合=6\*GB3⑥式和=7\*GB3⑦式及得:所以,=5\*GB3⑤式为一个二阶周期点,记为:此时,的取值范围是,二阶周期点=5\*GB2⑸在及时解析=2\*GB3②式对,函数用=2\*GB3②式:对时,应用=1\*GB3①式得:故:,条件1:,即:;条件2:,即:.则:,即:,即:且i>将代入得:即:,即:,即:即:ii>将代入得:即:,即:,即:结合i>和ii>及,得:所以,为另一个二阶周期点,记为:此时,的取值范围是,二阶周期点=6\*GB2⑹在及时解析=2\*GB3②式对,函数用=2\*GB3②式:对时,应用=2\*GB3②式得:即:=8\*GB3⑧条件1:,即:当时,上式即:条件2:,即:此时,函数不能同时满足条件1和条件2,故没有二阶周期点.综上,如果有两个二阶周期点,则的取值范围是.本题要点:两个条件要同时满足;分类讨论特刊:本题点评在得到=1\*GB3①=2\*GB3②式之后,列出两个条件=3\*GB3③=4\*GB3④,然后分别讨论,得到:=1\*GB2⑴在及时,条件1为,条件2为,无解;=2\*GB2⑵在及时,条件1为,条件2为;=3\*GB2⑶在及时,条件1为,条件2为,故;=4\*GB2⑷在及时,条件1为,条件2为.经过分析得:二阶周期点=5\*GB2⑸在及时,条件1为,条件2为,无解.18、函数第18题已知函数,,当时,若恒成立,求实数的取值范围.[解析]=1\*GB2⑴解读题意由于,所以有().故可以考虑将函数化为幂函数来解决.由于,,,,构建函数:则题目化为:当时,,求实数的取值范围.=2\*GB2⑵将函数化为幂函数形式构建函数:,满足条件1:=1\*GB3①构建函数:,条件1成为:=2\*GB3②则:导函数:=3\*GB3③要满足时,必须是:故由=3\*GB3③式:=4\*GB3④=3\*GB2⑶解析=4\*GB3④式因为=4\*GB3④式,记,则:当时,是的单调递增函数.故:,则由=4\*GB3④式:;且:,则由=4\*GB3④式:.由于,所以满足区间时,取的最大值,,则:=4\*GB2⑷构建函数化解由于是偶函数,且函数在中的不等号方向是:,即:,即:应构建函数,且也是偶函数.构建函数:,满足条件2:=5\*GB2⑸构建函数构建函数:,条件2成为:则:,导函数:=5\*GB3⑤要满足时,必须是:故由=5\*GB3⑤式:,则:=6\*GB3⑥当时,当时,由=6\*GB3⑥式得:取满足=6\*GB3⑥式得的最大值,=6\*GB2⑹构建函数:构建函数:即:因为,则:=7\*GB2⑺构建函数,求的范围构建函数:若,因为,所以于是:要使,则,故:此时,若要,即:,则:,即所以,当时,若恒成立,实数的取值范围.本题的实质是:将函数化为幂级数形式进行.基本上初等函数是连续函数,当时,都可以用幂级数形式来表达,即:特刊:本题点评这类函数题的判断,一般用两点即可:=1\*GB2⑴在点的函数值和;=2\*GB2⑵在点的导数值和.本题,,即:.其导数值,即:=1\*GB3①,即:=2\*GB3②由于,函数的级数一般是收敛的,若使恒成立,则必,即:,即:.19、函数第19题已知函数,其中是实数.设,为该函数图像上的两点,且.若函数的图像在点处的切线重合,求的取值范围.[解析]函数的导函数为:如果图像在点处的切线重合,则点分处于两个不同区间.因,故点在区间,点在区间.=1\*GB2⑴设过点的切线方程为:=1\*GB3①则:=2\*GB3②=3\*GB3③将=2\*GB3②=3\*GB3③式代入=1\*GB3①式得:即:=4\*GB3④=2\*GB2⑵设过点的切线方程为:=5\*GB3⑤则:=6\*GB3⑥,=7\*GB3⑦将=6\*GB3⑥=7\*GB3⑦式代入=5\*GB3⑤式得:,即:=8\*GB3⑧=3\*GB2⑶由两个切线方程重合得,=4\*GB3④式与=8\*GB3⑧式相等.即:由,得:,即:,故:由得:,即:,故:由得:=9\*GB3⑨=4\*GB2⑷求的取值范围由=9\*GB3⑨式可知,随,单调递增则有最小值,当,时,最小值.故:,即:本题答案:的取值范围是本题重点是:两个方程系数相等;由区间得出和的取值范围,代入求得的极值.特刊:本题点评本题第=3\*GB2⑶、第=4\*GB2⑷是重点,首先用,及得到的区间:,;然后用区间和求得的最小值.20、函数第20题设函数,,其中为实数.若在上是单调减函数,且在上有最小值,求的取值范围.[解析]函数的导函数为:=1\*GB3①函数的导函数为:=2\*GB3②=1\*GB2⑴由在上是单调减函数得:代入=1\*GB3①式得:,即:考虑到,故:,即:=2\*GB2⑵由在上有最小值,是最值点为则:,代入=2\*GB3②式得:,即:,即:考虑到,故:,即:,综上,的取值范围特刊:本题点评本题看如何建模.原题:若在上是单调减函数,建模:;原题:在上有最小值,建模:,;原题:求的取值范围,建模:.由此得到:.由于,即:,故:.21、函数第21题设函数(其中).当时,求函数在上的最大值.[解析]函数的最大值出现在两个地方:一个是区间的端点,另一个是导数的地方.=1\*GB2⑴在区间端点处,函数值为:=1\*GB3①=2\*GB2⑵在区间端点处,函数值为:=2\*GB3②因为:,所以:即:因
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