中考数学重难点突破专题二：作图问题

专题二作图问题类型1尺规作图1．(2017·兰州)在数学课本上，同学们已经探究过“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：已知：直线l和l外一点P.求作：直线l的垂线，使它经过点P.作法：如图：(1)在直线l上任取两点A、B；(2)分别以点A、B为圆心，AP，BP长为半径画弧，两弧相交于点Q；(3)作直线PQ.参考以上材料作图的方法，解决以下问题：(1)以上材料作图的依据是：______________________________________________(2)已知：直线l和l外一点P.求作：⊙P，使它与直线l相切．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑)解：(1)到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上(2)如图⊙P即为所求．2．(2017·六盘水)如图，MN是⊙O的直径，MN＝4，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为eq\o(AN,\s\up8(︵))的中点，P是直径MN上一动点．(1)利用尺规作图，确定当PA＋PB最小时P点的位置(不写作法，但要保留作图痕迹)．(2)求PA＋PB的最小值．解：(1)如图1所示，点P即为所求；(2)由(1)可知，PA＋PB的最小值即为A′B的长，连接OA′、OB、OA，∵A′点为点A关直线MN的对称点，∠AMN＝30°，∴∠AON＝∠A′ON＝2∠AMN＝2×30°＝60°，又∵B为eq\o(AN,\s\up8(︵))的中点，∴eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(BN,\s\up8(︵))，∴∠BON＝∠AOB＝eq\f(1,2)∠AON＝30°，∴∠A′OB＝60°＋30°＝90°，又∵MN＝4，∴OA′＝OB＝eq\f(1,2)MN＝eq\f(1,2)×4＝2.∴在Rt△A′OB中，A′B＝2eq\r(2)，∴PA＋PB的最小值为2eq\r(2).3．(2017·舟山)如图，已知△ABC，∠B＝40°.(1)在图中，用尺规作出△ABC的内切圆O，并标出⊙O与边AB，BC，AC的切点D，E，F(保留痕迹，不必写作法)；(2)连接EF，DF，求∠EFD的度数．解：(1)如图1，⊙O即为所求．(2)如图2，连接OD，OE，∴OD⊥AB，OE⊥BC，∴∠ODB＝∠OEB＝90°，∵∠B＝40°，∴∠DOE＝140°，∴∠EFD＝70°.4．(2017·海宁模拟)小明在“课外新世界”中遇到这样一道题：如图1，已知∠AOB＝30°与线段a，你能作出边长为a的等边三角形△COD吗？小明的做法是：如图2，以O为圆心，线段a为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N，在弧MN上任取一点P，以点M为圆心，MP为半径画弧，交弧CD于点C，同理以点N为圆心，NP为半径画弧，交弧CD于点D，连结CD，即△COD就是所求的等边三角形．(1)请写出小明这种做法的理由；(2)在此基础上请你作如下操作和探究(如图3)：连结MN，MN是否平行于CD？为什么？(3)点P在什么位置时，MN∥CD？请用小明的作图方法在图1中作出图形(不写作法，保留作图痕迹)．解：(1)如图2，连结OP，由题意可得eq\o(MC,\s\up8(︵))＝eq\o(MP,\s\up8(︵))，∴∠COM＝∠POM，eq\o(PN,\s\up8(︵))＝eq\o(DN,\s\up8(︵))，∴∠PON＝∠DON，∴∠POM＋∠PON＝∠COM＋∠DON＝30°，∴∠COD＝2∠MON＝60°，∴△OCD是等边三角形；(2)不一定，只有当∠COM＝15°，CD∥MN，理由：∵∠COM＝15°，∠MON＝30°，∴∠CON＝45°，∵∠C＝60°，∴∠OEC＝75°，∵ON＝OM，∴∠ONM＝∠OMN＝75°，∴∠OEC＝∠ONM，∴CD∥MN；(3)当P是eq\o(MN,\s\up8(︵))的中点时，MN∥CD；如图3所示．类型2网格作图和其他5．(2017·枣庄)如图，在网格(每个小正方形的边长均为1)中选取9个格点(格线的交点称为格点)，如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为(B)A．2eq\r(2)＜r＜eq\r(17)B.eq\r(17)＜r＜3eq\r(2)C.eq\r(17)＜r＜5D．5＜r＜eq\r(29)解：给各点标上字母，如图所示．AB＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，AC＝AD＝eq\r(42＋12)＝eq\r(17)，AE＝eq\r(32＋32)＝3eq\r(2)，AF＝eq\r(52＋22)＝eq\r(29)，AG＝AM＝AN＝eq\r(42＋32)＝5，∴eq\r(17)＜r＜3eq\r(2)时，除点A外恰好有3个在圆内．6．我们约定，若一个三角形(记为△A1)是由另一个三角形(记为△A)通过一次平移，或绕其任一边的中点旋转180°得到的，则称△A1是由△A复制的．以下的操作中每一个三角形只可以复制一次，复制过程可以一直进行下去．如图1，由△A复制出△A1，又由△A1复制出△A2，再由△A2复制出△A3，形成了一个大三角形，记作△B.以下各题中的复制均是由△A开始的，通过复制形成的多边形中的任意相邻两个小三角形(指与△A全等的三角形)之间既无缝隙也无重叠．(1)图1中标出的是一种可能的复制结果，小明发现△A∽△B，其相似比为__1∶2__．在图1的基础上继续复制下去得到△C，若△C的一条边上恰有11个小三角形(指有一条边在该边上的小三角形)，则△C中含有__121__个小三角形；(2)若△A是正三角形，你认为通过复制能形成的正多边形是__正三角形或正六边形__；(3)请你用两次旋转和一次平移复制形成一个四边形，在图2的方框内画出草图，并仿照图1作出标记．解析：(1)△A－△A1是经过旋转所得，△A1－△A2是经过旋转所得，△A2－△A3是经过平移所得．由于△B是由4个△A组成，因此S△B＝4S△A，因此相似比为2∶1.当△C的一条边上有11个小三角形时，那么它们的相似比为11∶1，面积比121∶1，即△C中有121个这样的小三角形；故答案为：1∶2，121.(2)正三角形或正六边形．(3)如图．7．阅读理解：如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与点A、点B重合)，分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：(1)如图①，∠A＝∠B＝∠DEC＝55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；(2)如图②，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝2，且A，B，C，D四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；拓展探究：(3)如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．解：(1)点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．理由：∵∠A＝55°，∴∠ADE＋∠DEA＝125°，∵∠DEC＝55°，∴∠BEC＋∠DEA＝125°，∴∠ADE＝∠BEC.∵∠A＝∠B，∴△ADE∽△BEC.∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点．(2)如图如下：(3)∵点E是四边形ABCD的边AB上的一个强相似点，∴△AEM∽△BCE∽△ECM，∴∠BCE＝∠ECM＝∠AEM，由折叠可知：△ECM≌△DCM，