理科数学考前必记的54个知识点

二、考前必记的54个知识点集合(1)集合间关系的两个重要结论①A⊆B包含A＝B和AB两种情况，两者必居其一，若存在x∈B且x∉A，说明A≠B，只能是AB.②集合相等的两层含义：若A⊆B且B⊆A，则A＝B；若A＝B，则A⊆B且B⊆A.[提醒]1任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.2对于集合A，B，C，如果A⊆B且B⊆C，则有A⊆C.3含有n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．4集合中元素的三大特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合之间关系的判断方法①AB⇔A⊆B且A≠B，类比于a<b⇔a≤b且a≠b.②A⊆B⇔AB或A＝B，类比于a≤b⇔a<b或a＝b.③A＝B⇔A⊆B且A⊇B，类比于a＝b⇔a≤b且a≥b.常见关键词及其否定形式关键词等于大于小于是一定是都是至少有一个至多有一个存在否定词不等于不大于不小于不是不一定是不都是一个也没有至少有两个不存在命题(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假性原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假[提醒]1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3在判断一些命题的真假时，如果不容易直接判断，则可以判断其逆否命题的真假．充分、必要条件记p，q对应的集合分别为A，B，则有①AB，p是q的充分不必要条件；②AB，p是q的必要不充分条件；③A＝B，p是q的充要条件；④A⃘B且A⊉B，p是q的既不充分也不必要条件．函数的定义域及相关的6个结论(1)如果f(x)是整式函数，那么函数的定义域是R.(2)如果f(x)是分式函数，那么函数的定义域是使分母不等于0的实数的集合．(3)如果f(x)是偶次根式函数，那么函数的定义域是使被开方数大于或等于0的实数的集合．(4)如果f(x)是对数函数，那么函数的定义域是使真数大于0的实数的集合．(5)如果f(x)是由几个代数式构成的，那么函数的定义域是使各式子都有意义的实数的集合．(6)如果f(x)是从实际问题中得出的函数，则要结合实际情况考虑函数的定义域．函数的值域求函数值域常用的7种方法(1)配方法：二次函数及能通过换元法转化为二次函数的函数类型．(2)判别式法：分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为x2A(y)＋xB(y)＋C(y)＝0的形式，再利用判别式加以判断．(3)换元法：无理函数、三角函数(用三角代换)等，如求函数y＝2x－3＋eq\r(13－4x)的值域．(4)数形结合法：函数和其几何意义相联系的函数类型，如求函数y＝eq\f(3－sinx,2－cosx)的值域．(5)不等式法：利用几个重要不等式及推论求最值，如a2＋b2≥2ab，a＋b≥2eq\r(ab)(a，b为正实数)．(6)有界性法：一般用于三角函数类型，即利用sinx∈[－1，1]，cosx∈[－1，1]等．(7)分离常数法：适用于解析式为分式形式的函数，如求y＝eq\f(x＋1,x－1)的值域．指数函数与对数函数解析式y＝ax(a>0且a≠1)y＝logax(a>0且a≠1)定义域R(0，＋∞)值域(0，＋∞)R图象关系指数函数对数函数奇偶性非奇非偶非奇非偶单调性0<a<1时，在R上是减函数；a>1时，在R上是增函数0<a<1时，在(0，＋∞)上是减函数；a>1时，在(0，＋∞)上是增函数[提醒]直线x＝1与所给指数函数图象的交点的纵坐标即底数，直线y＝1与所给对数函数图象的交点的横坐标即底数．函数零点的判断方法(1)利用零点存在定理判断法：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0.这个c也就是方程f(x)＝0的根．口诀：函数零点方程根，数形本是同根生，函数零点端点判，图象连续不能忘．(2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．(3)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．导数(1)基本初等函数的导数公式①(sinx)′＝cosx，(cosx)′＝－sinx.②(lnx)′＝eq\f(1,x)(x>0)，(logax)′＝eq\f(1,xlna)(x>0，a>0，且a≠1)．③(ex)′＝ex，(ax)′＝axlna(a>0，且a≠1)．(2)导数的四则运算法则①(u±v)′＝u′±v′⇒[f1(x)＋f2(x)＋…＋fn(x)]′＝f′1(x)＋f′2(x)＋…＋f′n(x)．②(uv)′＝vu′＋v′u⇒(cv)′＝c′v＋cv′＝cv′(c为常数)．③eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(u,v)))′＝eq\f(vu′－v′u,v2)(v≠0)．[提醒]1若两个函数可导，则它们的和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．2利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(xn)′＝nxn－1中n∈Q*，(cosx)′＝－sinx.3注意公式不要用混，如(ax)′＝axlna，而不是(ax)′＝xax－1.4导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形，即[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u′(x)±v′(x)±…±w′(x)．5一般情况下，[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x)，[f(x)·g(x)]′≠f′(x)＋g′(x)，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′≠eq\f(f′（x）,g′（x）)，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′≠f′(x)－g′(x)．eq\o(□,\s\up1(10))极值与最值(1)判断极大、极小值的方法当函数f(x)在点x0处连续时①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则f(x0)是极大值．②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则f(x0)是极小值．[提醒]1可导函数极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点，如函数f(x)＝x3，x＝0时就不是极值点，但f′(0)＝0.2极值点不是一个点，而是一个数x0，当x＝x0时，函数取得极值．在x0处有f′(x0)＝0是函数f(x)在x0处取得极值的必要不充分条件．3函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点函数值中的最大值，函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点函数值中的最小值．(2)极值与最值的区别与联系①区别：函数的极值函数的最值函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点使函数取得最大值，最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点函数的极值是通过比较极值点附近的函数值得出的函数的最值是通过比较整个定义域内的函数值得出的函数的极值可能不止一个，也可能一个没有函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个函数的极大值不一定大于函数的极小值函数的最大值一定大于函数的最小值②联系：(i)当连续函数在开区间内的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点；(ii)极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值．eq\o(□,\s\up1(11))定积分(1)由定积分的定义可得定积分eq\i\in(a,b,)f(x)dx是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量没有关系，即eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝eq\i\in(a,b,)f(t)dt＝eq\i\in(a,b,)f(u)du.(2)定积分满足性质：①eq\i\in(a,b,)kf(x)dx＝keq\i\in(a,b,)f(x)dx(k为常数)；②eq\i\in(a,b,)[f1(x)±f2(x)]dx＝eq\i\in(a,b,)f1(x)dx±eq\i\in(a,b,)f2(x)dx；③eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝eq\i\in(a,c,)f(x)dx＋eq\i\in(c,b,)f(x)dx(其中a<c<b)．[提醒]1eq\i\in(a,b,)xmdx＝eq\f(1,m＋1)xm＋1eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(b,a))(m∈Q*)；2eq\i\in(a,b,)cosxdx＝sinxeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(b,a))；3eq\i\in(a,b,)sinxdx＝(－cosx)eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(b,a)).eq\o(□,\s\up1(12))同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商的关系：tanα＝eq\f(sinα,cosα)(α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z)．[提醒]1公式常见变形：sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sinα＝±eq\r(1－cos2α)，cosα＝±eq\r(1－sin2α)，sinα＝cosαtanα，cosα＝eq\f(sinα,tanα)等．2对“同角”的理解：只要是同一个角，基本关系式就成立，不拘泥于角的形式，比如sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＋cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝1，tan3α＝eq\f(sin3α,cos3α)等都成立，但sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＋cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝1就不一定成立．eq\o(□,\s\up1(13))三角函数的诱导公式公式一：sin(2kπ＋α)＝sinα，cos(2kπ＋α)＝cosα，tan(2kπ＋α)＝tanα，k∈Z.公式二：sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα.公式三：sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα.公式四：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα.公式五：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sinα.公式六：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sinα.推广公式：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝－cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝sinα，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝－cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝－sinα.[提醒]奇变偶不变，符号看象限“奇、偶”指的是eq\f(π,2)的倍数是奇数，还是偶数，“变与不变”指的是三角函数名称的变化，“变”是指正弦变余弦(或余弦变正弦)．“符号看象限”的含义是：把角α看作锐角，看n·eq\f(π,2)±α(n∈Z)是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号．eq\o(□,\s\up1(14))三角函数的图象变换(1)y＝sinx的图象向左平移φ(φ>0)个单位得到y＝sin(x＋φ)的图象(当φ<0时，则向右平移|φ|个单位)．(2)y＝sinx的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的eq\f(1,ω)倍，得到y＝sinωx的图象．(3)y＝sinx的图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y＝Asinx的图象．[提醒]1由y＝sinωx的图象经过平移变换得到y＝sin(ωx＋φ)的图象，平移的单位不是|φ|，而是|eq\f(φ,ω)|.2函数图象平移、伸缩变换的实质是点的变化，所以可以借助三角函数图象上特征点坐标的变化寻找平移、伸缩变换的规律，一般借助于两个函数图象上的最高点或最低点的坐标来分析．eq\o(□,\s\up1(15))三角函数的对称性(1)曲线y＝sinx的对称中心为(kπ，0)，k∈Z，对称轴方程为x＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.(2)曲线y＝cosx的对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))，k∈Z，对称轴方程为x＝kπ，k∈Z.(3)曲线y＝tanx的对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))，k∈Z，无对称轴．(4)求曲线y＝Asin(ωx＋φ)(y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ))的对称中心(或对称轴)，只需令ωx＋φ等于对应的值，求出x即可．eq\o(□,\s\up1(16))三角恒等变换(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ.tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1∓tanαtanβ).sin(α＋β)sin(α－β)＝sin2α－sin2β(平方正弦公式)．cos(α＋β)cos(α－β)＝cos2α－sin2β.(2)二倍角公式sin2α＝2sinαcosα.cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).eq\o(□,\s\up1(17))正、余弦定理及其推论(1)正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R为△ABC外接圆的半径)⇔a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC⇔a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.(2)余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.(3)三角形内角和定理在△ABC中，有A＋B＋C＝π⇔C＝π－(A＋B)⇔eq\f(C,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(A＋B,2)⇔2C＝2π－2(A＋B)．(4)三角形面积公式S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)absinC(A，B，C是△ABC的三边a，b，c所对的角)eq\o(□,\s\up1(18))平面向量(1)平面向量共线的坐标表示的两种形式①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2＝x2y1，此形式对任意向量a，b(b≠0)都适用．②若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x2y2≠0，则a∥b⇔eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2).需要注意的是可以利用eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)来判定a∥b，但是反过来不一定成立．(2)有关数量积应用的常见结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则①a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.②|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).③cosa，b＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).eq\o(□,\s\up1(19))等差数列(1)等差数列的判断方法①定义法：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列．②通项公式法：an＝a1＋(n－1)d(其中a1，d为常数，n∈N*)⇔{an}为等差数列．③等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．④前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列．(2)等差数列前n项和的最大值、最小值的求法①通项公式法：当a1>0，d<0时，Sn有最大值，可由an≥0且an＋1≤0求得n，从而求出Sn的最大值；当a1<0，d>0时，Sn有最小值，可由an≤0且an＋1≥0求得n，从而求出Sn的最小值．②二次函数法：用求二次函数最值的方法求Sn的最值．值得注意的是n∈N*，因此等差数列前n项和取得最值时n的值可能不是一个值，也有可能是两个值．eq\o(□,\s\up1(20))等比数列的判断方法(1)定义法：eq\f(an＋1,an)＝q(q为常数且q≠0，n∈N*)或eq\f(an,an－1)＝q(q为常数且q≠0，n≥2)⇔{an}为等比数列．(2)等比中项法：aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)⇔{an}为等比数列．(3)通项公式法：an＝a1qn－1(其中a1，q为非零常数，n∈N*)⇔{an}为等比数列．[提醒]判断一个数列是否是等比数列，还有一种直观的判断方法，即前n项和公式法：若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0，q≠1)，则数列{an}是公比为q的等比数列．但此方法不能用于证明一个数列是等比数列．eq\o(□,\s\up1(21))数列中项的最值的求法(1)根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数f(n)＝an，利用求解函数最值的方法(多利用函数的单调性)进行求解，但要注意自变量的取值必须是正整数的限制．(2)利用数列的单调性求解，由不等式an＋1≥an(或an＋1≤an)求解出n的取值范围，从而确定数列单调性的变化，进而确定相应的最值．(3)转化为关于n的不等式组求解：若求数列{an}的最大项，则可解不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1；))若求数列{an}的最小项，则可解不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1，))求出n的取值范围之后再确定取得最值的项．eq\o(□,\s\up1(22))不等式的解法(1)分式不等式的解法分式不等式eq\f(f（x）,g（x）)>0(或<0)的求解可应用同解原理，转化为整式不等式求解．eq\f(f（x）,g（x）)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0)；eq\f(f（x）,g（x）)≥0(≤0)⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(g（x）≠0，,f（x）·g（x）≥0（≤0）.))[提醒]对于解分式不等式，将分式不等式转化成整式不等式时，如果不等式是含有等号的不等式形式，则很容易忘掉分母不为0的情形，从而导致出错；另一种可能出现错误的情形是在两边进行平方时，容易扩大或缩小不等式的范围．(2)指数、对数不等式的解法①解指数、对数不等式的依据是指数、对数函数的概念和性质，因而同底法是解指数、对数不等式的基本方法．当然最终的目的是将它们转化为代数不等式，其主要类型和解法有：(i)af(x)>aφ(x)⇔f(x)>φ(x)(a>1)或f(x)<φ(x)(0<a<1)．(ii)logaf(x)>logaφ(x)⇔f(x)>φ(x)>0(a>1)或0<f(x)<φ(x)(0<a<1)．②在解对数不等式时，要注意变形的等价性；也要注意底数大于零且不等于1，真数大于零的制约因素．(3)一元二次不等式的恒成立问题①在实数集R上，ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立，则a>0(a<0)，且Δ<0，反之也成立；ax2＋bx＋c≥0(≤0)恒成立，则a>0(a<0)，且Δ≤0，反之也成立．②若一元二次不等式在某一区间上恒成立，则可结合相应二次函数的图象，判断函数图象在这个区间上与对称轴的相对位置，列出不等式恒成立时满足的条件即可．③一般地，不等式恒成立的问题通常转化为函数的最值问题来解决．如f(x)≤a恒成立⇔f(x)max≤a，f(x)≥a恒成立⇔f(x)min≥a.eq\o(□,\s\up1(23))简单的线性规划(1)画二元一次不等式组表示的平面区域的基本要点①画线——画出不等式对应的方程所表示的直线(如果原不等式中含有等号，则画成实线，否则，画成虚线)．②定域——将某个区域位置明显的特殊点的坐标代入不等式，根据“同侧同号、异侧异号”的规律确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧．③求“交”——如果平面区域是由不等式组所确定的，则在确定了各个不等式所表示的区域后，再求这些区域的公共部分，这个公共部分就是不等式组所表示的平面区域．这种方法俗称“直线定界，特殊点定域”．(2)线性目标函数在约束条件下的最值问题①作图——画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l.②平移——将直线l平移，确定最优解所对应的点的位置．③求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．[提醒]最优解有时是唯一的，有时不是唯一的，甚至是无穷多的．(3)求解线性目标函数的最优整点解当线性目标函数的最优整点解不在可行域的顶点或边界处取得，此时不能直接代入顶点坐标求最值，可用下面的方法求解．①平移直线法：先在可行域内打网格，再描整点，平移目标函数所表示的直线，最先经过或最后经过的整点坐标就是最优整点解．②检验优值法：当可行域内整点个数较少时，也可将整点坐标逐一代入目标函数求值，经过比较得出最优整点解．③调整优值法：先求非整数点最优解及最优值，再借助不定方程知识调整最优值，最后筛选出最优整点解．eq\o(□,\s\up1(24))基本不等式(1)基本不等式的变形①根式形式：a＋b≥2eq\r(ab)(a>0，b>0)，当且仅当a＝b时，等号成立．②整式形式：ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(a，b∈R)，a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，(a＋b)2≥4ab(a，b∈R)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)≤eq\f(a2＋b2,2)(a，b∈R)，以上不等式当且仅当a＝b时，等号成立．③分式形式：eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(ab>0)，当且仅当a＝b时，等号成立．④倒数形式：a＋eq\f(1,a)≥2(a>0)，当且仅当a＝1时，等号成立；a＋eq\f(1,a)≤－2(a<0)，当且仅当a＝－1时，等号成立．(2)利用基本不等式求最值①对于正数x，y，若积xy是定值p，则当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(p).②对于正数x，y，若和x＋y是定值s，则当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)s2.③已知a，b，x，y为正实数，若ax＋by＝1，则有eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝(ax＋by)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))＝a＋b＋eq\f(by,x)＋eq\f(ax,y)≥a＋b＋2eq\r(ab)＝(eq\r(a)＋eq\r(b))2.④已知a，b，x，y为正实数，若eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)＝1，则有x＋y＝(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)＋\f(b,y)))＝a＋b＋eq\f(ay,x)＋eq\f(bx,y)≥a＋b＋2eq\r(ab)＝(eq\r(a)＋eq\r(b))2.[提醒]利用基本不等式求最大值、最小值时应注意“一正、二定、三相等”，即：①所求式中的相关项必须是正数；②求积xy的最大值时，要看和x＋y是否为定值，求和x＋y的最小值时，要看积xy是否为定值，求解时，常用到“拆项”“凑项”等解题技巧；③当且仅当各项相等时，才能取等号．以上三点应特别注意，缺一不可．eq\o(□,\s\up1(25))空间几何体的表面积和体积(1)直棱柱的侧面积：S侧＝cl(c是底面周长，l为侧棱长)．正棱锥的侧面积：S侧＝eq\f(1,2)ch′(c是底面周长，h′为斜高)．正棱台的侧面积：S侧＝eq\f(1,2)(c＋c′)h′(c，c′分别是上、下底面周长，h′为斜高)．圆柱的侧面积：S侧＝cl＝2πrl(c是底面周长，l为母线长)．圆锥的侧面积：S侧＝eq\f(1,2)cl＝πrl(c是底面周长，l为母线长)．圆台的侧面积：S侧＝eq\f(1,2)(c＋c′)l＝π(r＋r′)l(c，c′分别是上、下底面周长，l为母线长)．球的表面积：S＝4πR2.(2)柱体的体积：V柱＝Sh(S为底面积，h是柱体的高)．锥体的体积：V锥＝eq\f(1,3)Sh(S为底面积，h是锥体的高)．球的体积：V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(1,3)S表R.eq\o(□,\s\up1(26))球的组合体(1)球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长．(2)球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长．(3)球与正四面体的组合体：棱长为a的正四面体的内切球的半径为eq\f(\r(6),12)a(正四面体高eq\f(\r(6),3)a的eq\f(1,4))，外接球的半径为eq\f(\r(6),4)a(正四面体高eq\f(\r(6),3)a的eq\f(3,4))．eq\o(□,\s\up1(27))证明空间位置关系的方法(1)线面平行：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,b⊂α,a⊄α))⇒a∥α，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,a⊂β))⇒a∥α，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,a⊥β,a⊄α))⇒a∥α.(2)线线平行：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,a⊂β,α∩β＝b))⇒a∥b，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b))⇒a∥b，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,a∥c))⇒c∥b.(3)面面平行：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊂α，b⊂α,a∩b＝O,a∥β，b∥β))⇒α∥β，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,a⊥β))⇒α∥β，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,γ∥β))⇒α∥γ.(4)线线垂直：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊂α))⇒a⊥b.(5)线面垂直：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊂α，b⊂α,a∩b＝O,l⊥a，l⊥b))⇒l⊥α，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝l,a⊂α，a⊥l))⇒a⊥β，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,a⊥α))⇒a⊥β，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,a⊥α))⇒b⊥α.(6)面面垂直：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊂β,a⊥α))⇒α⊥β，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥β,a⊥α))⇒α⊥β.[提醒]利用定理证明线面关系时要注意结合几何体的结构特征，尤其要注意灵活利用正棱柱、正棱锥等特殊几何体的性质，进行空间线面关系的相互转化．eq\o(□,\s\up1(28))空间向量的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则(1)a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3；(2)a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)；(3)a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(b≠0)；(4)|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))；(5)cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))·\r(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋beq\o\al(2,3)))(a≠0，b≠0)；(6)点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离d＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2＋（z2－z1）2).eq\o(□,\s\up1(29))空间向量的应用(1)夹角公式：设非零向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))·\r(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋beq\o\al(2,3))).推论：(a1b1＋a2b2＋a3b3)2≤(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋beq\o\al(2,3))．(2)异面直线所成的角：cosθ＝|cos〈a，b〉|＝eq\f(|a·b|,|a|·|b|)＝eq\f(|a1b1＋a2b2＋a3b3|,\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))·\r(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋beq\o\al(2,3)))，其中θ(0°<θ≤90°)为异面直线a，b所成的角，a，b分别表示异面直线a，b的方向向量．(3)直线AB与平面α所成的角θ满足：sinθ＝|cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，m〉|＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·m|,\a\vs4\al(|\o(AB,\s\up6(→))|·|m|))(m是平面α的法向量)．(4)二面角α­l­β的平面角θ满足：|cosθ|＝|cos〈m，n〉|＝eq\f(|m·n|,|m|·|n|)(m，n分别是平面α，β的法向量)．[提醒]在处理实际问题时，要根据具体图形确定二面角的平面角是锐角还是钝角，以确定角的大小．(5)点B到平面α的距离：d＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·n|,|n|)(n为平面α的法向量，A∈α，AB是平面α的一条斜线段)．eq\o(□,\s\up1(30))直线(1)直线方程的5种形式名称方程的形式常数的几何意义适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)(x0，y0)是直线上一定点，k是斜率不垂直于x轴斜截式y＝kx＋bk是斜率，b是直线在y轴上的截距不垂直于x轴两点式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)(x1，y1)，(x2，y2)是直线上两定点不垂直于x轴和y轴截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距不垂直于x轴和y轴，且不过原点一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)A，B都不为零时，斜率为－eq\f(A,B)，在x轴上的截距为－eq\f(C,A)，在y轴上的截距为－eq\f(C,B)任何位置的直线(2)两条直线的位置关系①已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，A2，B2全不为0)，则l1，l2相交⇔eq\f(A1,A2)≠eq\f(B1,B2)，l1∥l2⇔eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)≠eq\f(C1,C2)，l1，l2重合⇔eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)＝eq\f(C1,C2).当A1，B1，A2，B2中有0时，应单独讨论．②直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq\o\al(2,1)＋Beq\o\al(2,1)≠0，且Aeq\o\al(2,2)＋Beq\o\al(2,2)≠0)垂直⇔A1A2＋B1B2＝0.[提醒]讨论两条直线的位置关系时应注意斜率不存在或斜率为0的情况，当两条直线中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，它们也垂直．eq\o(□,\s\up1(31))圆(1)圆的四种方程①圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．②圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．③圆的参数方程：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a＋rcosθ,y＝b＋rsinθ))(θ为参数)．④圆的直径式方程：(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0(圆的直径的端点是A(x1，y1)，B(x2，y2))．(2)直线与圆的位置关系直线l：Ax＋By＋C＝0和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)有相交、相离、相切三种情况．可从代数和几何两个方面来判断：①代数方法(判断直线与圆的方程联立所得方程组的解的情况)：Δ>0⇔相交；Δ<0⇔相离；Δ＝0⇔相切；②几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，则d<r⇔相交；d>r⇔相离；d＝r⇔相切．(3)圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2>0)，则其位置关系的判断方法如下表：方法位置关系几何法代数法公切线的条数圆心距d与r1，r2的关系联立两圆方程组成方程组的解的情况外离d>r1＋r2无解4外切d＝r1＋r2一组实数解3相交|r1－r2|<d<r1＋r2两组不同的实数解2内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解1内含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)无解0eq\o(□,\s\up1(32))椭圆标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)图形几何性质范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a对称性对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)顶点A1(－a，0)，A2(a，0)；B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)；B1(－b，0)，B2(b，0)轴线段A1A2，B1B2分别是椭圆的长轴和短轴；长轴长为2a，短轴长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率焦距与长轴长的比值：e∈(0，1)a，b，c的关系c2＝a2－b2[提醒]椭圆的离心率反映了焦点远离中心的程度，e的大小决定了椭圆的形状，反映了椭圆的圆扁程度．因为a2＝b2＋c2，所以eq\f(b,a)＝eq\r(1－e2)，因此，当e越趋近于1时，eq\f(b,a)越趋近于0，椭圆越扁；当e越趋近于0时，eq\f(b,a)越趋近于1，椭圆越接近于圆．所以e越大椭圆越扁，e越小椭圆越圆．当且仅当a＝b，c＝0时，椭圆变为圆，方程为x2＋y2＝a2.eq\o(□,\s\up1(33))双曲线(1)双曲线的标准方程及几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形几何性质范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称性对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴线段A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a，虚轴长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率焦距与实轴长的比值：e∈(1，＋∞)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)xa，b，c的关系a2＝c2－b2[提醒]1离心率e的取值范围为(1，＋∞)．当e越接近于1时，双曲线开口越小；当e越接近于＋∞时，双曲线开口越大．2满足||PF1|－|PF2||＝2a的点P的轨迹不一定是双曲线，当2a＝0时，点P的轨迹是线段F1F2的中垂线；当0<2a<|F1F2|时，点P的轨迹是双曲线；当2a＝|F1F2|时，点P的轨迹是两条射线；当2a>|F1F2|时，点P的轨迹不存在．(2)双曲线的方程与渐近线方程的关系①若双曲线的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，则渐近线的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0，即y＝±eq\f(b,a)x.②若渐近线的方程为y＝±eq\f(b,a)x，即eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0，则双曲线的方程可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ.③若所求双曲线与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1有公共渐近线，其方程可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ>0，焦点在x轴上；λ<0，焦点在y轴上)．④焦点到渐近线的距离总是b.eq\o(□,\s\up1(34))抛物线(1)抛物线的标准方程及几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形几何性质对称轴x轴y轴顶点O(0，0)焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R离心率e＝1(2)抛物线焦点弦的常用结论设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α为直线AB的倾斜角，则①焦半径|AF|＝x1＋eq\f(p,2)＝eq\f(p,1－cosα)，|BF|＝x2＋eq\f(p,2)＝eq\f(p,1＋cosα).②x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2.③弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α).④eq\f(1,|FA|)＋eq\f(1,|FB|)＝eq\f(2,p).⑤以弦AB为直径的圆与准线相切．⑥S△OAB＝eq\f(p2,2sinα)(O为抛物线的顶点)．eq\o(□,\s\up1(35))直线与圆锥曲线的位置关系(1)弦长的求解方法设直线与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若直线AB的斜率存在(设为k)，则|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|；若k≠0，则|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|，其中|x1－x2|＝eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)，|y1－y2|＝eq\r(（y1＋y2）2－4y1y2).当直线AB的斜率不存在时，可直接求出直线与圆锥曲线的交点坐标，利用两点间的距离公式求弦长．(2)圆锥曲线中的最值问题①利用圆锥曲线的定义进行转化，一般在三点共线时取得最值．②求圆锥曲线上的点到已知直线的距离的最值，则当已知直线的平行线与圆锥曲线相切时，两平行线间的距离即所求．③利用基本不等式求最值．eq\o(□,\s\up1(36))频率与概率的区别与联系(1)区别①频率具有随机性，在不同的试验中，同一事件发生的频率可能不同；②概率是频率的稳定值，是一个确定的常数，不管进行多少次试验，同一事件发生的概率是不变的．(2)联系①频率和概率都是用来刻画随机事件发生的可能性大小的量；②概率可看作频率在理论上的期望值，随试验次数的增加，频率可近似地作为这个事件的概率．eq\o(□,\s\up1(37))事件的关系与运算(1)包含关系：如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A，记作B⊇A(或A⊆B)．(2)相等事件：如果B⊇A且A⊇B，那么称事件A与事件B相等，记作A＝B.(3)并(和)事件：若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作A∪B(或A＋B)．(4)交(积)事件：若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)，记作A∩B(或AB)．(5)互斥事件：若A∩B为不可能事件(即A∩B＝∅)，那么称事件A与事件B互斥，其含义是事件A与事件B在任何一次试验中都不会同时发生．(6)对立事件：若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，其含义是事件A与事件B在任何一次试验中有且只有一个发生．[提醒]互斥事件与对立事件都是指两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生以外，还要求二者必须有一个发生．因此，对立事件一定是互斥事件，而互斥事件未必是对立事件．eq\o(□,\s\up1(38))概率的几个基本性质(1)任何事件A的概率都在0～1之间，即0≤P(A)≤1.(2)若A⊆B，则P(A)≤P(B)．(3)必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0.(4)当事件A与事件B互斥时，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．注意没有事件A与事件B互斥这一条件时，这个公式不成立．(5)若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＋P(B)＝1.[提醒]当一事件的概率不易直接求，但其对立事件的概率易求时，可运用(5)，即用间接法求概率．eq\o(□,\s\up1(39))古典概型的概率公式如果随机事件A包含的基本事件数为m，总的基本事件数为n，则P(A)＝eq\f(事件A包含的基本事件的个数,总的基本事件的个数)＝eq\f(m,n).[提醒]求解古典概型问题的步骤1判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件A.2分别计算总的基本事件的个数n和所求的事件A所包含的基本事件的个数m.3利用古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(m,n)，求出事件A的概率．eq\o(□,\s\up1(40))几何概型的概率公式在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：P(A)＝eq\f(构成事件A的区域长度（面积或体积）,试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）).[提醒]在几何概型中，“等可能”一词应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内的可能性大小仅与该区域的几何度量成正比，而与该区域的位置与形状无关．eq\o(□,\s\up1(41))几何概型与古典概型的差异名称古典概型几何概型相同点基本事件发生的可能性相等不同点①基本事件有有限个；②P(A)＝0⇔A为不可能事件；③P(B)＝1⇔B为必然事件①基本事件有无限个；②P(A)＝0⇔A为不可能事件；③P(B)＝1⇔B为必然事件eq\o(□,\s\up1(42))均值的相关结论(1)E(k)＝k(k为常数)．(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．(4)若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)．(5)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p.(6)若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np.[提醒]E(X)是一个常数，由X的分布列唯一确定，它描述X取值的平均状态作为随机变量X是可变的，可取不同的值．eq\o(□,\s\up1(43))方差的相关性质结论(1)D(k)＝0(k为常数)．(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(3)D(X)＝E(X2)－[E(X)]2.(4)若X1，X2，…，Xn两两独立，则D(X1＋X2＋…＋Xn)＝D(X1)＋D(X2)＋…＋D(Xn)．[提醒]1随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度，其中标准差与随机变量本身有相同的单位．2方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负的．eq\o(□,\s\up1(44))二项分布与正态分布(1)条件概率的计算公式：当P(B)>0时，在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P(A|B)＝eq\f(P（AB）,P（B）)；类似地，当P(A)>0时，在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）).(2)二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，其中k＝0，1，…，n.(3)①若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(a<X≤b)＝eq\i\in(a,b,)φμ，σ(x)dx，其中φμ，σ(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e－eq\f(（x－μ）2,2σ2)(x∈(－∞，＋∞)，σ>0)．②正态分布密度函数的性质：函数图象关于直线x＝μ对称；σ(σ>0)的大小决定函数图象的“胖”“瘦”；P(μ－σ<x≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<x≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<x≤μ＋3σ)＝0.9974.③在实际问题中进行概率、百分比计算时，关键是把正态分布的两个重要参数μ，σ求出，然后确定三个区间(范围)：(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)与已知概率值进行联系求解．eq\o(□,\s\up1(45))排列数、组合数公式及其相关性质(1)排列数〈1〉公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,（n－m）！)(m≤n，m，n∈N*)，Aeq\o\al(n,n)＝n！＝n(n－1)(n－2)…2·1(n∈N*)．〈2〉Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,（n－m）！)主要有两个作用：①当m，n较大时，可使用计算器快速算出结果；②对含有字母的排列数的式子进行变形时常使用此公式．(2)组合数〈1〉公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(Aeq\o\al(m,n),Aeq\o\al(m,m))＝eq\f(n（n－1）·…·（n－m＋1）,m！)＝eq\f(n！,m！（n－m）！)(m≤n，n，m∈N*)．2Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！（n－m）！)主要有两个作用：①当m，n较大时，利用此公式计算组合数较为简便；②对含有字母的组合数的式子进行变形或证明时，常用此公式．3组合数的性质Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)(m≤n，n，m∈N*)，Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m－1,n)＋Ceq\o\al(m,n)(m≤n，n，m∈N*)，Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(r,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n，Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝2n－1.eq\o(□,\s\up1(46))求解排列组合问题常用的解题方法(1)元素相邻的排列问题——“捆绑”法．(2)元素相间的排列问题——“插空”法．(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序”法，即先把这几个有顺序限制的元素及其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数．(4)带有“含”“