2023年数形结合 (3篇)

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数形结合论文篇一

一、数形结合教学思想在小学数学教学中的运用

数形结合作为一种教学思想方法，一般包含两方面内容，一个方面是“以形助数〞，另一个方面的内容是“以数解形〞。下面介绍这两个方面的内容在小学数学教学中的运用。

（一）以形助数

所谓“以形助数〞，是指老师在讲解某些数学知识的时候，仅靠数字讲解学生不太能理解，借助几何图形的特点，将所要讲的知识点更直观地呈现在学生面前，从而将抽象化的问题转变为具体化的问题。学生在学习行程问题的应用题时，可以运用图形的方法清楚地呈现问题。如：一辆汽车从甲地开往乙地，先是经过上坡路，然后是平地，最终是下坡路，汽车上坡速度是每小时20千米，在平地的速度是每小时30千米，而下坡的速度则是每小时40千米，汽车从甲地到乙地一共上坡花了6小时，平地花了2小时，下坡花了4小时。请问汽车从乙地到甲地需要多长时间？在这道题中，既存在变量，又存在不变量。变量就是上坡路和下坡路随着汽车行驶的方向而发生改变，当汽车从乙地到甲地行驶时，原先的上坡路变成了下坡路，原先的斜坡路变成了上坡路。而不变量就是这两个路程汽车行驶的速度都是始终不变的。那么在解决问题的时候，就可以直观地呈现出来。先算出汽车从乙地到甲地的上坡时间，即（40×4）÷20=8（小时），然后算出下坡所花费的时间，即（20×6）÷40=3（小时），而平地所花费的时间是不变的，所以汽车从乙地到甲地所花费的时间是8+3+2=13（小时）。在这道题中，运用图像将数学中的数量关系、运算都直观地呈现出来，学生对比易于理解，这样的教学可以在很大程度上提高教学效率。

（二）以数解形

虽然图形可以更加直观地呈现数学中的数量关系，但是对于一些几何图形，特别是小学数学中的几何图形来讲，十分简单，假如仅仅是通过直接观测反而看不出规律，这时就可以运用“以数解形〞的方式教学。譬如老师在讲解“平行四边形的特征〞一课时，好多学生通过学习，对概念性的东西已经十分了解，但是在具体的状况下又不能真正把握明了，老师在教学过程中就可以通过对四边形进行赋值，让学生更深刻地理解和把握。譬如给出三组数字：（1）6，5，3，7（2）7，5，5，7（3）8，6，4，6在这三组数字中，让学生选择平行四边形。那么学生理解了平行四边形的概念，即两组对边要平行且相等，通过对比分析，知道只有其次组数字符合平行四边形的概念。因此，在这样的教学中应当充分运用“数〞与“形〞的特点，帮助学生更快地把握知识要点。

二、在小学数学教学中运用数形结合教学思想需要注意的问题

（一）注意培养学生运用数形结合方法的习惯

老师在小学数学中运用数形结合的方法进行教学，帮助学生更好地理解知识点，同时要注意培养学生运用数形结合方法解决数学题的习惯。小学生在平日的做题过程中，往往会忘了使用“数形结合〞方法，有的还不会。因此，老师在平日的教学中，一定要培养学生养成运用数形结合方法的好习惯。针对不同的年龄段学生，采用不同的方法，譬如低年级学生，引导学生在生活中找实物，高年级的学生则学会简单的画图等，让学生建立数形结合的思想。

（二）数形结合要注意利用多媒体技术多媒体的发展已经迅速曼延到教学领域，对于对比难懂的知识点，老师要借助多媒体技术实施教学。由于多媒体技术可以移动图像，当碰见需要运用想象思维的时候，可以在多媒体中进行展示。

三、结语

在小学数学中运用数形结合教学思想，可以有效提高课堂教学效率，帮助学生更快地理解知识点。教师应根据不可怜况，综合运用“以形助数〞和“以数解形〞这两种不同方式，取得更好的教学效果。

：季利明工作单位：赤峰市元宝山区元宝山镇马林小学

数形结合论文篇二

高考冲刺：数形结合

编稿：林景飞

审稿：张扬

责编：辛文升热点分析高考动向

数形结合应用广泛，不仅在解答选择题、填空题中显示出它的优越性，而且在解决一些抽象数学问题中常起到事半功倍的效果。高考中利用数形结合的思想在解决选、填题中十分便利，而在解答题中书写应以代数推理论证为主，几何方法可作为思考的方法。数形结合的重点是研究“以形助数〞，但“以数解形〞在近年高考试题中也得到了加强，其发展趋势不容忽略。历年的高考都有关于数形结合思想方法的考察，且占比例较大。

知识升华

数形结合是通过“以形助数〞（将所研究的代数问题转化为研究其对应的几何图形）或“以数助形〞（借助数的准确性来表明形的某种属性），把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考，也就是将抽象思维与形象思维有机地结合起来，是解决问题的一种数学思想方法。它能使抽象问题具体化，繁杂问题简单化，在数学解题中具有极为独特的策略指导与调理作用。

具体地说，数形结合的基本思路是：根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特性和规律，解决数的问题；或将图形信息全部转化成代数信息，使解决形的问题转化为数量关系的探讨。

选择题，填空题等客观性题型，由于不要求解答过程，就某些题目而言，这给学生创造了灵活运用数形结合思想，寻觅快速思路的空间。但在解答题中，运用数形结合思想时，要注意辅之以严格的规律推理，“形〞上的直观是不够严密的。1．高考试题对数形结合的考察主要涉及的几个方面：

（1）集合问题中venn图（韦恩图）的运用；

（2）数轴及直角坐标系的广泛应用；

（3）函数图象的应用；

（4）数学概念及数学表达式几何意义的应用；

（5）解析几何、立体几何中的数形结合。

2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：

（1）等价性原则。要注意由于图象不能准确刻画数量关系所带来的负面效应；

（2）双方性原则。既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分

析简单出错；

（3）简单性原则。不要为了“数形结合〞而数形结合，具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；

二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系，做好转化；三要挖掘隐含条件，确切界定参变

量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线为佳。

3．进行数形结合的信息转换，主要有三个途径：

（1）建立坐标系，引入参变数，化静为动，以动求解，如解析几何；

（2）构造成转化为熟悉的函数模型，利用函数图象求解；

（3）构造成转化为熟悉的几何模型，利用图形特征求解。4．常见的“以形助数〞的方法有：

（1）借助于数轴、文氏图，树状图，单位圆；

（2）借助于函数图象、区域（如线性规划）、向量本身的几何背景；

（3）借助于方程的曲线，由方程代数式，联想其几何背景，并用几何知识解决问题，如点，直线，斜

率，距离，圆及其他曲线，直线和曲线的位置关系等，对解决代数问题都有重要作用，应充分予

以重视。

5．常见的把数作为手段的数形结合：

主要表达在解析几何中，历年高考的解答题都有这方面的考察。

经典例题透析

类型一：利用数形结合思想解决函数问题1．（2023全国ⅰ·理）已知函数a+2b的取值范围是

a．

解析：画出

由题设有，

b．的示意图。，，若，且，则

c．

d．

∴，

令，

则

∵

∴，∴在，

。上是增函数。

∴

举一反三：

已知函数

。选c.

在0≤x≤1时有最大值2，求a的值。

解析：∵

∴抛物线，的开口向下，对称轴是，如下图：

（1）

（2）

（3）

（1）当a＜0时，如图（1）所示，当x=0时，y有最大值，即

∴1―a=2。即a=―1，适合a＜0。

（2）当0≤a≤1时，如图（2）所示，当x=a时，y有最大值，即

。。

∴a―a+1=2，解得

2。

∵0≤a≤1，∴不合题意。

（3）当a＞1时，如图（3）所示。

当x=1时，y有最大值，即

综合（1）（2）（3）可知，a的值是―1或2

已知函数

（ⅰ）写出

（ⅱ）设的单调区间；，求

在[0，a]上的最大值。

。

。∴a=2。

解析：

如图：

（1）的单调增区间：

，；单调减区间：（1，2）

时，，。

（2）当a≤1时，当

当

已知

()

（1）若，在上的最大值为，最小值为，求证：；

（2）当]时，都

，时，对于给定的负数，有一个最大的正数，使得x∈[0,

有|f(x)|≤5，问a为何值时，m(a)最大？并求出这个最大值。

解析：

（1）若a=0，则c=0，∴f(x)=2bx

当-2≤x≤2时，f(x)的最大值与最小值一定互为相反数，与题意不符合，∴a≠0；

若a≠0，假设，

∴区间[-2,2]在对称轴的左外侧或右外侧，

∴f(x)在[-2，2]上是单调函数，

（这是不可能的）

（2）当，时，，

∵，所以，

（图1）

（图2）

（1）当

所以

即是方程，时（如图1），则的较小根，即

（2）当

所以

即是方程，时（如图2），则的较大根，即

（当且仅当

时，等号成立），

由于，

因此当且仅当时，取最大值

类型二：利用数形结合思想解决方程中的参数问题2．若关于x的方程有两个不同的实数根，求实数m的取值范围。

思路点拨：将方程的左右两边分别看作两个函数，画出函数的图象，借助图象间的关系后求解，可简化运算。

解析：画出

和的图象，

当直线过点，即时，两图象有两个交点。

又由当曲线

与曲线

相切时，二者只有一个交点，

设切点

又直线，则过切点，即，得，，解得切点，

∴当时，两函数图象有两个交点，即方程有两个不等实根。

误区警示：作图时，图形的相对位置关系不确切，易造成结果错误。

总结升华：

1．解决这类问题时要确切画出函数图象，注意函数的定义域。

2．用图象法探讨方程（特别是含参数的方程）解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把

方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两

个函数的图象，由图求解。

3．在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：

①要确切理解一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；

②要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；

③要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；

④精心联想“数〞与“形〞，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，便于问题求解。

举一反三：

若关于x的方程在（－1，1）内有1个实根，则k的取值范围是。

解析：把方程左、右两侧看作两个函数，利用函数图象公共点的个数来确定方程根的个数。

设（x∈－1，1）

如图：当内有1个实根。

或时，关于x的方程在（－1，1）

若0＜θ＜2π，且方程取值范围及这两个实根的和。

有两个不同的实数根，求实数m的解析：将原方程

与直线

转化为三角函数的图象

有两个不同的交点时，求a的范围及α+β的值。

设，，在同一坐标中作出这两个函数的图象

由图可知，当

或

时，y1与y2的图象有两个不同交点，

即对应方程有两个不同的实数根，

若，设原方程的一个根为，则另一个根为。

∴。

若，设原方程的一个根为，则另一个根为，

∴。

所以这两个实根的和为或。

且由对称性可知，这两个实根的和为或。

类型三：依据式子的结构，赋予式子恰当的几何意义，数形结合解答

3．（北京2023·理）如图放置的边长为1的正方形pabc沿x轴滚动，设顶点，则函数的最小正周期为________；

在其两个相邻的轨迹方程是零点间的图象与x轴所围成的区域的面积为________.

解析：为便于观测，不妨先将正方形pabc向负方向滚动，使p点落在x轴上的点，此点即是函数的一个零点（图1）。

（一）以a为中心，将正方形沿x轴正方向滚动90°，此时顶点b位于x轴上，

顶点p画出了a为圆心，1为半径的个圆周（图2）；

（二）继续以b为中心，将正方形沿x轴正方向滚动90°，此时顶点c位于x轴上，

顶点p画出b为圆心，为半径的个圆周（图3）；

（三）继续以c为中心，将正方形沿x轴正方向滚动90°，此时，顶点p位于x轴上，为点，

它画出了c为圆心，1为半径的个圆周（图4）。为又一个零点。

∴函数的周期为4.

相邻两个零点间的图形与x轴围成的图形由两个半径为1的圆、

半径为的圆和两个直角边长为1的直角三角形，其面积是

。

举一反三：

2

2已知圆c：(x+2)+y=1，p（x，y）为圆c上任一点。

（1）求的最大、最小值；

（2）求的最大、最小值；

（3）求x―2y的最大、最小值。

解析：联想所求代数式的几何意义，再画出草图，结合图象求解。

（1）

表示点（x，y）与原点的距离，

由题意知p（x，y）在圆c上，又c（―2，0），半径r=1。

∴|oc|=2。的最大值为2+r=2+1=3，的最小值为2―r=2―1=1。

（2）表示点（x，y）与定点（1，2）两点连线的斜率，

设q（1，2），，过q点作圆c的两条切线，如图：

将整理得kx―y+2―k=0。

∴，解得，

所以的最大值为，最小值为。

（3）令x―2y=u，则可视为一组平行线系，

当直线与圆c有公共点时，可求得u的范围，

最值必在直线与圆c相切时取得。这时

∴

。，最小值为

。，

∴x―2y的最大值为

求函数

解析：的最小值。

则y看作点p（x，0）到点a（1，1）与b（3，2）距离之和

如图，点a（1，1）关于x轴的对称点a＇（1，－1），则即为p到a，b距离之和的最小值，∴

若方程x+(1+a)x+1+a+b=0的两根分别为椭圆、双曲线的离心率，则值范围是（）

2的取

a．

b．或

c．

d．或

解析：如图

由题知方程的根，一个在（0，1）之间，一个在（1，2）之间，

则，即

下面利用线性规划的知识，则斜率

可看作可行域内的点与原点o（0，0）连线的则，选c。

数形结合论文篇三

在数学教学中渗透数形结合思想

在数学教学中，教师假如能灵活地借助数形结合思想，会将数学问题化难为易，帮助学生理解数学问题。那么，如何在初中数学教学中挖掘数形结合思想并适时地加以应用呢？下面笔者根据日常的教学实践谈谈自己的见解。

一、从有理数开始就让中学生及早体会数形结合思想

在七年级开始，数轴的引入就大大丰富了有理数的内容，对学生认识有理数、相反数、绝对值以及有理数的运算都有很大的帮助，由于对每一个有理数，数轴上都有唯一确定的点与它对应，因此，两个有理数大小的对比，是通过这两个有理数在数轴上的对应点的位置关系进行的。相反数、绝对值概念则是通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻划的。尽管我们学习的是有理数，但我们要求学生时刻牢记它的形：数轴上的点。通过渗透数形结合的思想方法，帮助学生正确理解有理数的性质及其运算法则。

例如:

1、对比两个数的大小方法：数轴上两个点表示的数，右边的数总比左边的大，正数大于零，负数小于0，正数大于负数；

2、比2℃低5℃的温度是_______；

3、若|a|=2，则a=______；

4、七年级《数学》(上)的习题，一辆货车从超市出发，向东走了3千米到达小彬家，继续走了1.5千米到达