2020-2021学年高中数学第二章随机变量及其分布单元综合测试含解析新人教A版选修

单元综合测试二(第二章)时间：90分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．设随机变量X的分布列P(X＝k)＝eq\f(1,7)(k＝1,2，…，7)，则E(X)为(D)A.eq\f(1,7) B.eq\f(5,7)C．1 D．4解析：E(X)＝eq\f(1,7)×(1＋2＋…＋7)＝4.2．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，P(0<X<4)＝0.8，则P(X>4)的值等于(A)A．0.1 B．0.2C．0.4 D．0.6解析：∵随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，∴正态曲线的对称轴是x＝2，∵P(0<X<4)＝0.8，∴P(X>4)＝eq\f(1,2)×(1－0.8)＝0.1，故选A.3．已知离散型随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，若P(1≤X≤3)＝eq\f(1,5)，则n的值为(D)A．3 B．5C．10 D．15解析：由已知X的分布列为P(X＝k)＝eq\f(1,n)，k＝1,2,3，…，n，∴P(1≤X≤3)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(3,n)＝eq\f(1,5)，∴n＝15.4．随机变量X的分布列为X124P0.40.30.3则E(5X＋4)等于(A)A．15 B．11C．2.2 D．2.3解析：E(X)＝1×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝2.2.E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝5×2.2＋4＝15.5．若100件零件中包含10件废品，今在其中任取两件，已知取出的两件中有废品，则两件都是废品的概率为(B)A.eq\f(C\o\al(2,10),C\o\al(1,10)C\o\al(1,90)) B.eq\f(C\o\al(2,10),C\o\al(2,10)＋C\o\al(1,10)C\o\al(1,90))C.eq\f(C\o\al(2,10),C\o\al(1,10)C\o\al(1,90)＋C\o\al(2,100)) D.eq\f(C\o\al(2,10),C\o\al(2,100))解析：记事件A为“取出两件中有废品”，事件B为“两件都是废品”，则P(A)＝eq\f(C\o\al(1,10)C\o\al(1,90)＋C\o\al(2,10),C\o\al(2,100))，P(B)＝eq\f(C\o\al(2,10),C\o\al(2,100))，故P(B|A)＝eq\f(C\o\al(2,10),C\o\al(2,10)＋C\o\al(1,10)C\o\al(1,90)).6．正态分布N1(μ1，σeq\o\al(2,1))，N2(μ2，σeq\o\al(2,2))，N3(μ3，σeq\o\al(2,3))(其中σ1，σ2，σ3均大于0)所对应的密度函数图象如下图所示，则下列说法正确的是(D)A．μ1最大，σ1最大B．μ3最大，σ3最大C．μ1最大，σ3最大D．μ3最大，σ1最大解析：在正态分布N(μ，σ2)中，x＝μ为正态曲线的对称轴，结合图象可知，μ3最大；又参数σ确定了曲线的形状：σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“高瘦”．故由图象知σ1最大．7．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为f(x)＝eq\f(1,\r(2π)·10)·eeq\s\up15(－eq\f(x－802,200))(x∈R)，则下列命题中不正确的是(C)A．该市这次考试的数学平均成绩为80分B．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同C．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同D．该市这次考试的数学成绩标准差为10解析：∵μ＝80，σ＝10，因此数学成绩的平均值μ＝80，分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同且标准差为10.8．已知一次考试共有60名同学参加，考生成绩X～N(110,52)，据此估计，大约有57人的分数所在的区间为(C)A．(90,100] B．(95,125]C．(100,120] D．(105,115]解析：∵X～N(110,52)，∴μ＝110，σ＝5.eq\f(57,60)＝0.95≈P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝P(100<x≤120)．∴x∈(100,120]．9．现抛掷两枚骰子，记事件A为“朝上的2个数之和为偶数”，事件B为“朝上的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝(D)A.eq\f(1,8) B.eq\f(1,4)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,2)解析：由题意可得P(AB)＝eq\f(9,36)，P(A)＝eq\f(18,36)，由条件概率公式可得P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(1,2).故选D.10．设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(3，p)，若P(ξ≥1)＝eq\f(5,9)，则P(η≥2)的值为(C)A.eq\f(20,27) B.eq\f(8,27)C.eq\f(7,27) D.eq\f(1,27)解析：P(ξ＝0)＝Ceq\o\al(0,2)(1－p)2＝1－eq\f(5,9)，故p＝eq\f(1,3).P(η≥2)＝Ceq\o\al(3,3)p3＋Ceq\o\al(2,3)p2(1－p)1＝eq\f(1,27)＋eq\f(6,27)＝eq\f(7,27).11．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为(D)A.eq\f(1,48) B.eq\f(1,24)C.eq\f(1,12) D.eq\f(1,6)解析：由已知，得3a＋2b＋0×c＝2，∴3a＋2b＝2.∴ab＝eq\f(1,6)×3a×2b≤eq\f(1,6)(eq\f(3a＋2b,2))2＝eq\f(1,6).12．口袋中有5只球，编号分别为1,2,3,4,5，从中任意取3只球，以X表示取出的球的最大号码，则E(X)的值是(B)A．4 B．4.5C．4.75 D．5解析：X的所有可能取值是3,4,5，且P(X＝3)＝eq\f(1,C\o\al(3,5))＝eq\f(1,10)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,5))＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)，所以E(X)＝3×eq\f(1,10)＋4×eq\f(3,10)＋5×eq\f(3,5)＝4.5.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为0.8.解析：由题图易知P(0<ξ<1)＝P(1<ξ<2)，故P(0<ξ<2)＝2P(0<ξ<1)＝2×0.4＝0.8.14．高三(1)班在一次春游踏青中，开展有奖答题活动．从2道文史题和3道理科题中不放回依次抽取2道题，某同学在第一次抽到理科题的前提下第二次抽到的理科题的概率为eq\f(1,2).解析：记事件A为“第一次抽到理科题”，B为“第二次抽到理科题”，则P(A)＝eq\f(3,5)，P(AB)＝eq\f(3,5)×eq\f(2,4)＝eq\f(3,10)，∴P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(3,10),\f(3,5))＝eq\f(1,2).15．一牧场的10头牛，因误食含疯牛病毒的饲料被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病的牛的头数为ξ，D(ξ)＝0.196.解析：由已知ξ服从二项分布：ξ～B(10,0.02)，所以D(ξ)＝10×0.02×0.98＝0.196.16．在等差数列{an}中，a4＝2，a7＝－4，现从{an}的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取3次，假定每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为eq\f(6,25).(用数字作答)解析：由a4＝2，a7＝－4可得等差数列{an}的通项公式为an＝10－2n(n＝1,2，…，10)；由题意，三次取数相当于三次独立重复试验，在每次试验中取得正数的概率为eq\f(2,5)，取得负数的概率为eq\f(1,2)，在三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为Ceq\o\al(2,3)(eq\f(2,5))2(eq\f(1,2))1＝eq\f(6,25).三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)设随机变量ξ具有分布列P(ξ＝k)＝eq\f(1,5)(k＝1,2,3,4,5)，求：(1)E(ξ＋2)2；(2)D(2ξ－1)．解：∵E(ξ)＝1×eq\f(1,5)＋2×eq\f(1,5)＋3×eq\f(1,5)＋4×eq\f(1,5)＋5×eq\f(1,5)＝3，E(ξ2)＝12×eq\f(1,5)＋22×eq\f(1,5)＋32×eq\f(1,5)＋42×eq\f(1,5)＋52×eq\f(1,5)＝11，D(ξ)＝(1－3)2×eq\f(1,5)＋(2－3)2×eq\f(1,5)＋(3－3)2×eq\f(1,5)＋(4－3)2×eq\f(1,5)＋(5－3)2×eq\f(1,5)＝2，∴(1)E(ξ＋2)2＝E(ξ2＋4ξ＋4)＝E(ξ2)＋4E(ξ)＋4＝11＋12＋4＝27.(2)D(2ξ－1)＝22×D(ξ)＝8.18．(12分)编号为1,2,3的3位同学随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位同学坐一个座位，设与座位编号相同的学生个数是X，求E(X)，D(X)和eq\r(DX).解：X＝0,1,3，P(X＝0)＝eq\f(2,A\o\al(3,3))＝eq\f(1,3)，P(X＝1)＝eq\f(3,A\o\al(3,3))＝eq\f(1,2)，P(X＝3)＝eq\f(1,A\o\al(3,3))＝eq\f(1,6).所以X的分布列为：X013Peq\f(1,3)eq\f(1,2)eq\f(1,6)所以E(X)＝0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,2)＋3×eq\f(1,6)＝1，D(X)＝(0－1)2×eq\f(1,3)＋(1－1)2×eq\f(1,2)＋(3－1)2×eq\f(1,6)＝1，eq\r(DX)＝1.19．(12分)某校从学生会宣传部6名成员(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参加“我看中国改革开放”演讲比赛活动．(1)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列；(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；(3)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(B)和P(B|A)．解：(1)ξ的所有可能取值为0,1,2.依题意得P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，∴ξ的分布列为ξ012Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C，则P(C)＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(4,20)＝eq\f(1,5).∴所求概率为P(eq\x\to(C))＝1－P(C)＝1－eq\f(1,5)＝eq\f(4,5).(3)P(B)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(3,6))＝eq\f(10,20)＝eq\f(1,2).P(B|A)＝eq\f(C\o\al(1,4),C\o\al(2,5))＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).20．(12分)某车间在两天内，每天生产10件产品，其中第一天、第二天分别生产了1件、2件次品，而质检部每天要在生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．(1)求两天全部通过检查的概率；(2)若厂内对该车间生产的产品质量采用奖惩制度，两天全不通过检查罚300元，通过1天、2天分别奖300元、900元．那么该车间在这两天内得到奖金的数学期望是多少元？解：(1)随机抽取4件产品进行检查是随机事件．“记第一天通过检查”为事件A，则P(A)＝eq\f(C\o\al(4,9),C\o\al(4,10))＝eq\f(3,5).记“第二天通过检查”为事件B，则P(B)＝eq\f(C\o\al(4,8),C\o\al(4,10))＝eq\f(1,3).因第一天、第二天检查是否通过是相互独立的，所以两天全部通过检查的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝eq\f(3,5)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,5).(2)记所得奖金为ξ元，则ξ的取值为－300，300,900.P(ξ＝－300)＝P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＝eq\f(2,5)×eq\f(2,3)＝eq\f(4,15).P(ξ＝300)＝P((Aeq\x\to(B))∪(eq\x\to(A)B))＝P(Aeq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A)B)＝P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))P(B)＝eq\f(3,5)×eq\f(2,3)＋eq\f(2,5)×eq\f(1,3)＝eq\f(8,15).P(ξ＝900)＝P(AB)＝eq\f(1,5).所以，ξ的分布列为ξ－300300900Peq\f(4,15)eq\f(8,15)eq\f(1,5)E(X)＝－300×eq\f(4,15)＋300×eq\f(8,15)＋900×eq\f(1,5)＝260.故该车间在这两天内得到奖金的数学期望是260元．21．(12分)某研究小组为了研究某品牌智能手机在正常使用情况下的电池供电时间，分别从该品牌手机的甲、乙两种型号中各选取6部进行测试，其结果如下：甲种手机供电时间(小时)191821222320乙种手机供电时间(小时)1817.520232222.5(1)求甲、乙两种手机供电时间的平均值与方差，并判断哪种手机电池质量好；(2)为了进一步研究乙种手机的电池性能，从上述6部乙种手机中随机抽取4部，记所抽4部手机供电时间不小于20小时的个数为X，求X的分布列和数学期望．解：(1)甲手机电池平均供电时间eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,6)×(－1－2＋1＋2＋3＋0)＋20＝20.5，乙手机电池平均供电时间eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,6)×(－2－2.5＋0＋3＋2＋2.5)＋20＝20.5，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)×[(20.5－19)2＋(20.5－18)2＋(20.5－21)2＋(20.5－22)2＋(20.5－23)2＋(20.5－20)2]＝eq\f(35,12)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)×[(20.5－18)2＋(20.5－17.5)2＋(20.5－20)2＋(20.5－23)2＋(20.5－22)2＋(20.5－22.5)2]＝eq\f(14,3)，因为甲、乙两种手机的电池平均供电时间相同，甲的方差比乙的方差小，所以认为甲种手机电池质量更好．(2)6部乙种手机供电时间不小于20小时的有4部，小于20小时的有2部，所以X的可能取值为2,3,4，则P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),C\o\al(4,6))＝eq\f(2,5)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(1,2),C\o\al(4,6))＝eq\f(8,15)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(4,4),C\o\al(4,6))＝eq\f(1,15)，故X的分布列为X234Peq\f(2,5)eq\f(8,15)eq\f(1,15)所以E(X)＝2×eq\f(2,5)＋3×eq\f(8,15)＋4×eq\f(1,15)＝eq\f(8,3).22．(12分)随着人们对环境关注度的提高，绿色低碳出行越来越受到市民重视．为此某市建立了公共自行车服务系统，市民凭本人二代身份证到自行车服务中心办理诚信借车卡借车，初次办卡时卡内预先赠送20积分，当积分为0时，借车卡将自动锁定，限制借车，用户应持卡到公共自行车服务中心以1元购1个积分的形式再次激活该卡，为了鼓励市民租用公共自行车出行，同时督促市民尽快还车，方便更多的市