2020年山东省高考数学模拟试卷

2020年山东省高考数学模拟试卷（4）一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）设全集为R，集合A＝{x∈Z|﹣1＜x≤3}，集合B＝{1，2}，则集合A∩（∁RB）＝（）A．{﹣1，0} B．（﹣1，1）∪（2，3] C．（0，1）∪（1，2）∪（2，3] D．{0，3}2．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣4≥0”的否定是（）A．∀x∈R，x2﹣4≤0 B．∀x∈R，x2﹣4＜0 C．∃x∈R，x2﹣4≥0 D．∃x∈R，x2﹣4＜03．（5分）设z=1-i1+i+2iA．0 B．12 C．1 D．4．（5分）若（1﹣ax+x2）4的展开式中x5的系数为﹣56，则实数a的值为（）A．﹣2 B．2 C．3 D．45．（5分）已知平面向量a→，b→满足|a→|=2A．2π3 B．π2 C．π36．（5分）直线x+y+2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是（）A．[2，6] B．[4，8] C．[2，32] D．[22，32]7．（5分）已知函数f(x)=x+12，x∈[0，12)2x-1，x∈[12，2)，若存在x1，x2，当0≤x1＜x2A．(0，2-324)C．[2-324，8．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C11，底面为等腰直角三角形，侧棱长为1，体积为12A．1 B．3 C．2 D．2二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图的折线图．根据该折线图，下列结论正确的是（）A．年接待游客量逐年增加 B．各年的月接待游客量高峰期大致在8月 C．2017年1月至12月接待游客量的中位数为30 D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳10．（5分）设α是给定的平面，A，B是不在α内的任意两点，则（）A．在α内存在直线与直线AB异面 B．在α内存在直线与直线AB相交 C．在α内存在直线与直线AB平行 D．存在过直线AB的平面与α垂直 E．存在过直线AB的平面与α平行11．（5分）椭圆C：x216+y212=1的右焦点为F，点PA．1 B．3 C．4 D．812．（5分）下列说法正确的是（）A．“|x|＝2019”是“x＝2019”的充分条件 B．“x＝﹣1”是“x2﹣2x﹣3＝0”充分不必要条件 C．“m是实数”的充分必要条件是“m是有理数” D．若b＜a＜0，则1三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种．（用数字填写答案）14．（5分）已知函数f（x）＝ln（x+x2+1），若正实数a，b满足f（2a）+f（b﹣1）＝0，则1a+15．（5分）共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，若椭圆的短轴长是双曲线虚轴长的3倍，则1e1+1e16．（5分）已知函数f（x）＝2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝4an+3n﹣1，bn＝an+n．（1）证明：数列{bn}为等比数列；（2）求数列{an}的前n项和．18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a+b＝2ccosB，c=（1）求角C；（2）延长线段AC到点D，使CD＝CB，求△ABD周长的取值范围．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，AB＝AD＝DC=12BC＝2，PB⊥（1）证明：平面PAB⊥平面ABCD；（2）若PA＝4，PB＝23，求二面B﹣PC﹣D的余弦值．20．（12分）已知直线y＝k（x﹣2）与抛物线Γ：y2=12x相交于A，B两点，M是线段AB（Ⅰ）证明：抛物线Γ在点N处的切线与AB平行；（Ⅱ）是否存在实数k使NA→⋅NB21．（12分）近几年一种新奇水果深受广大消费者的喜爱，一位农户发挥聪明才智，把这种露天种植的新奇水果搬到了大棚里，收到了很好的经济效益．根据资料显示，产出的新奇水果的箱数x（单位：十箱）与成本y（单位：千元）的关系如下：x13467y56.577.58y与x可用回归方程y^=b̂lgx（Ⅰ）若该农户产出的该新奇水果的价格为150元/箱，试预测该新奇水果100箱的利润是多少元．|．（Ⅱ）据统计，10月份的连续16天中该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的频率分布直方图如图．（i）若从箱数在[40，120）内的天数中随机抽取2天，估计恰有1天的水果箱数在[80，120）内的概率；（ⅱ）求这16天该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的平均值．（每组用该组区间的中点值作代表）参考数据与公式：设t＝lgx，则tyi=1i=10.546.81.530.45线性回归直线y^=b̂lgx22．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2xlnx，函数g（x）＝x+ax-(lnx)2，其中a∈R，x0是g（x）的一个极值点，且（1）讨论f（x）的单调性；（2）求实数x0和a的值；（3）证明k=1

2020年山东省高考数学模拟试卷（4）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）设全集为R，集合A＝{x∈Z|﹣1＜x≤3}，集合B＝{1，2}，则集合A∩（∁RB）＝（）A．{﹣1，0} B．（﹣1，1）∪（2，3] C．（0，1）∪（1，2）∪（2，3] D．{0，3}【解答】解：∵全集为R，集合A＝{x∈Z|﹣1＜x≤3}＝{0，1，2，3}，集合B＝{1，2}，∴集合A∩（∁RB）＝{0，3}．故选：D．2．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣4≥0”的否定是（）A．∀x∈R，x2﹣4≤0 B．∀x∈R，x2﹣4＜0 C．∃x∈R，x2﹣4≥0 D．∃x∈R，x2﹣4＜0【解答】解：命题“∀x∈R，x2﹣4≥0”的否定是“∃x∈R，x2﹣4＜0”．故选：D．3．（5分）设z=1-i1+i+2iA．0 B．12 C．1 D．【解答】解：z=1-i1+i+2i=(1-i)(1-i则|z|＝1．故选：C．4．（5分）若（1﹣ax+x2）4的展开式中x5的系数为﹣56，则实数a的值为（）A．﹣2 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵（1﹣ax+x2）4＝[1+（x2﹣ax）]4，∴二项展开式的通项公式为Tr+1=C4r(x2-ax)r=C4rCrk(x2依题意，2r﹣k＝5，∴k=1∴展开式中x5的系数为(-∴﹣12a﹣4a3＝﹣56，解得a＝2．故选：B．5．（5分）已知平面向量a→，b→满足|a→|=2A．2π3 B．π2 C．π3【解答】解：∵|a∴(2a∴a→∴cos＜a→∴＜a故选：C．6．（5分）直线x+y+2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是（）A．[2，6] B．[4，8] C．[2，32] D．[22，32]【解答】解：∵直线x+y+2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，∴令x＝0，得y＝﹣2，令y＝0，得x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|=4+4=2∵点P在圆（x﹣2）2+y2＝2上，∴设P（2+2cosθ，∴点P到直线x+y+2＝0的距离：d=|2+∵sin（θ+π4）∈[﹣1，1]，∴d=|2sin∴△ABP面积的取值范围是：[12×22×2，12×2故选：A．7．（5分）已知函数f(x)=x+12，x∈[0，12)2x-1，x∈[12，2)，若存在x1，x2，当0≤x1＜x2A．(0，2-324)C．[2-324，【解答】解：作出函数的图象：∵存在x1，x2，当0≤x1＜x2＜2时，f（x1）＝f（x2）∴0≤x1＜1∵x+12在[0，122x﹣1在[12，2）的最小值为∴x1+12≥22∴2-12≤∵f（x1）＝x1+12，f（x1）＝f（x∴x1f（x2）﹣f（x2）＝x1f（x1）﹣f（x1）2=x12+12x1-（x1+设y＝x12-12x1-12=（x1-14）2则对应抛物线的对称轴为x=1∴当x=14时，y当x=2-12当x=12时，y即x1f（x2）﹣f（x2）的取值范围为[-916，故选：D．8．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C11，底面为等腰直角三角形，侧棱长为1，体积为12A．1 B．3 C．2 D．2【解答】解：如图，设底面等腰直角三角形的直角边长为x，则12⋅x⋅x把该直三棱柱补形为长方体，则长方体的对角线长为12∴该球的直径是3．故选：B．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图的折线图．根据该折线图，下列结论正确的是（）A．年接待游客量逐年增加 B．各年的月接待游客量高峰期大致在8月 C．2017年1月至12月接待游客量的中位数为30 D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【解答】解：由2017年1月至2019年12月期间月接待游客量的折线图得：在A中，年接待游客量虽然逐月波动，但总体上逐年增加，故A正确；在B中，各年的月接待游客量高峰期都在8月，故B正确；在C中，2017年1月至12月月接待游客量的中位数小于30，故C错误；在D中，各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确．故选：ABD．10．（5分）设α是给定的平面，A，B是不在α内的任意两点，则（）A．在α内存在直线与直线AB异面 B．在α内存在直线与直线AB相交 C．在α内存在直线与直线AB平行 D．存在过直线AB的平面与α垂直 E．存在过直线AB的平面与α平行【解答】解：设α是给定的平面，A，B是不在α内的任意两点，所以AB与平面α，可能相交也可能平行，对于A，在α内存在直线与直线AB异面，正确；对于B，在α内存在直线与直线AB相交，如果直线AB与平面平行，则选项B不正确；对于C，在α内存在直线与直线AB平行，如果直线AB与平面相交，则选项C不正确；对于D，过A作平面α的垂线，此时与直线AB所在的平面与平面α垂直，所以存在过直线AB的平面与α垂直，所以D正确；对于E，存在过直线AB的平面与α平行，当直线AB与平面相交时，选项E不正确；故选：AD．11．（5分）椭圆C：x216+y212=1的右焦点为F，点PA．1 B．3 C．4 D．8【解答】解：椭圆C：x216+y212=1，可得a＝4，b＝所以椭圆C：x216+y212=1则2＝a﹣2≤|PF|≤a+c＝6，|PF|的值可能是3，4．故选：BC．12．（5分）下列说法正确的是（）A．“|x|＝2019”是“x＝2019”的充分条件 B．“x＝﹣1”是“x2﹣2x﹣3＝0”充分不必要条件 C．“m是实数”的充分必要条件是“m是有理数” D．若b＜a＜0，则1【解答】解：在A中，“|x|＝2019”是“x＝2019”的必要不充分条件，故A错误；在B中，“x＝﹣1”⇒“x2﹣2x﹣3＝0”，“x2﹣2x﹣3＝0”⇒“x＝﹣1或x＝3”，∴“x＝﹣1”是“x2﹣2x﹣3＝0”的充分不必要条件，故B错误；在C中，“m是有理数”是“m是实数”的充分不必要条件，故C错误；在D中，若b＜a＜0，则由不等式取倒数法则得1a＜1故选：BD．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有16种．（用数字填写答案）【解答】解：方法一：直接法，1女2男，有C21C42＝12，2女1男，有C22C41＝4根据分类计数原理可得，共有12+4＝16种，方法二，间接法：C63﹣C43＝20﹣4＝16种，故答案为：1614．（5分）已知函数f（x）＝ln（x+x2+1），若正实数a，b满足f（2a）+f（b﹣1）＝0，则1a+1b【解答】解：∵f（x）＝ln（x+xf（﹣x）＝ln（﹣x+x∴f（x）+f（﹣x）＝ln[（x+x2+1）（﹣x＝ln1＝0，∴函数f（x）＝ln（x+x2+1又y＝x+x故f（x）＝ln（x+x∵f（2a）+f（b一1）＝0，∴2a+b﹣1＝0，故2a+b＝1；故1＝2+b=b≥22+3（当且仅当ba=2ab，即a=故答案为：22+315．（5分）共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，若椭圆的短轴长是双曲线虚轴长的3倍，则1e1+1e【解答】解：设椭圆的短半轴长和双曲线虚半轴长分别为b1、b2，椭圆的长半轴长和双曲线实半轴长分别为a1、a2，则b1令a1=10∴1e故答案为：10316．（5分）已知函数f（x）＝2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是-33【解答】解：由题意可得T＝2π是f（x）＝2sinx+sin2x的一个周期，故只需考虑f（x）＝2sinx+sin2x在[0，2π）上的值域，先来求该函数在[0，2π）上的极值点，求导数可得f′（x）＝2cosx+2cos2x＝2cosx+2（2cos2x﹣1）＝2（2cosx﹣1）（cosx+1），令f′（x）＝0可解得cosx=12或cosx＝﹣可得此时x=π3，π或∴y＝2sinx+sin2x的最小值只能在点x=π3，π或5π3和边界点计算可得f（π3）=332，f（π）＝0，f（5π3）=-∴函数的最小值为-3故答案为：-3四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝4an+3n﹣1，bn＝an+n．（1）证明：数列{bn}为等比数列；（2）求数列{an}的前n项和．【解答】证明：（1）数列{an}满足a1＝1，an+1＝4an+3n﹣1，bn＝an+n．所以bn+1＝an+1+n+1＝4an+3n﹣1+n﹣1＝4（an+n），故数列bn所以数列{bn}是以b1＝a1+1＝2为首项，4为公比的等比数列．解：（2）由于数列{bn}是以b1＝a1+1＝2为首项，4为公比的等比数列，所以bn所以an故Tn＝a1+a2+…+an＝（21+23+…+22n﹣1）﹣（1+2+…+n）=2(18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a+b＝2ccosB，c=（1）求角C；（2）延长线段AC到点D，使CD＝CB，求△ABD周长的取值范围．【解答】解：（1）根据余弦定理得2a整理得：a2+b2﹣c2＝﹣ab，由余弦定理可得cosC=a由于C∈（0，π），可得C=2（2）由于C=2π3，即∠BCD=π3可得△BCD为等边三角形，可得BD＝CD＝a，所以△ABD的周长L＝2a+b+3由正弦定理asinA所以：a＝2sinA，b＝2sinB，因为：A=π3又B∈（0，π3），可得cosB∈（12，所以2a+b＝4sinA+2sinB＝4sin（π3-B）+2sinB＝4（32cosB-12sinB）+2sinB＝所以2a所以周长L＝2a+b+3的取值范围是（23，3319．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，AB＝AD＝DC=12BC＝2，PB⊥（1）证明：平面PAB⊥平面ABCD；（2）若PA＝4，PB＝23，求二面B﹣PC﹣D的余弦值．【解答】解：（1）∵AD∥BC，AB=AD=12又∵PB⊥AC，∴AC⊥平面PAB．∵AC⊂平面ABCD，∴平面PAB⊥平面ABCD．（2）∵PA=4，PB=23由（1）知，PB⊥平面ABCD，∴PB⊥BC，平面PBC⊥平面ABCD．过D作DE⊥BC于E，则DE⊥平面PBC，过E作EF⊥PC交PC于F，则∠DFE为所求二面角平面角．在梯形ABCD中，求得DE=3，在Rt△PBC中求得在Rt△DEF中，求得DE=在△DEF中，求得cos∠即二面B﹣PC﹣D的余弦值为2420．（12分）已知直线y＝k（x﹣2）与抛物线Γ：y2=12x相交于A，B两点，M是线段AB（Ⅰ）证明：抛物线Γ在点N处的切线与AB平行；（Ⅱ）是否存在实数k使NA→⋅NB【解答】解：（Ⅰ）由y=k(x-2)y2=12x消去x并整理，得2k2x2﹣（设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=由题设条件可知，yN=yM=设抛物线Γ在点N处的切线l的方程为y-将x＝2y2代入上式，得2m∵直线l与抛物线Γ相切，∴△=∴m＝k，即l∥AB．（Ⅱ）假设存在实数k，使NA→⋅NB→=0，则NA⊥NB，∵M由（Ⅰ）得|AB∵MN⊥y轴，∴|MN∴16k2+1故存在k=±121．（12分）近几年一种新奇水果深受广大消费者的喜爱，一位农户发挥聪明才智，把这种露天种植的新奇水果搬到了大棚里，收到了很好的经济效益．根据资料显示，产出的新奇水果的箱数x（单位：十箱）与成本y（单位：千元）的关系如下：x13467y56.577.58y与x可用回归方程y^=b̂lgx（Ⅰ）若该农户产出的该新奇水果的价格为150元/箱，试预测该新奇水果100箱的利润是多少元．|．（Ⅱ）据统计，10月份的连续16天中该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的频率分布直方图如图．（i）若从箱数在[40，120）内的天数中随机抽取2天，估计恰有1天的水果箱数在[80，120）内的概率；（ⅱ）求这16天该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的平均值．（每组用该组区间的中点值作代表）参考数据与公式：设t＝lgx，则tyi=1i=10.546.81.530.45线性回归直线y^=b̂lgx【解答】解（Ⅰ）根据题意，b̂â∴ŷ又t＝lgx，∴ŷ∴x＝10时，ŷ即该新奇水果100箱的成本为8364元，故该新奇水果100箱的利润15000﹣8364＝6636．（Ⅱ）（i）根据频率分布直方图，可知水果箱数在[40，80）内的天数为1320设这两天分别为a，b，水果箱数在[80，120）内的天数为1160设这四天分别为A，B，C，D．∴随机抽取2天的基本结果为：（AB），（AC），（AD），（Aa），（Ab），（BC），（BD），（Ba），（Bb），