等比数列前项和

（优选）等比数列前项和ppt讲解当前1页，总共35页。回顾旧知1.等比数列{an}的通项公式：注意：当q=1时，等比数列{an}为常数列.

2.求等比数列通项公式的方法：观察归纳法、累乘法。3.回想一下解等比数列题的一些技巧与方法.当前2页，总共35页。

国际象棋起源于古印度，关于国际象棋还有一个传说。国王奖赏发明者，问他有什么要求，他答道：“在棋盘第一个格放1颗麦粒，在第二个格放2颗麦粒，在第三个格放4颗麦粒，在第四个格放8颗麦粒。以此类推，每个格子放的麦粒数是前一个格子的2倍，直到64个格子。国王觉得这太容易了，就欣然答应了他的要求，你认为国王能满足他的要求吗？新课导入设问：同学们，你们知道他要的是多少小麦吗？当前3页，总共35页。1+2+4+8+…+263=18446744073709551615（粒）已知麦子每千粒约为40克，则折合约为737869762948382064克≈7378.7亿吨.经过计算，我们得到麦粒总数是那么这是怎么计算的呢？其实是一个比较大小的问题，则实质上是求等比数列前n项和的问题.当前4页，总共35页。探讨问题发明者要求的麦粒总数是：S64=1+2+22+23+…+263①上式有何特点？如果①式两端同时乘以2得:2S64=2+22+23+…+263+264②

比较①、②两式，有什么关系呢？当前5页，总共35页。S64=1+2+22+23+…+263①2S64=2+22+23+…+263+264②

两式上下相对的项完全相同，把两式相减，就可以消去相同的项，则②－①得：S64=264-1=18446744073709551615设问：纵观全过程，①式两边为什么要乘以2呢？当前6页，总共35页。等比数列前n项和公式及推导在等比数列{an}中首先要考虑两种情况：当q≠1时，Sn=a1+a2+a3+……+an-1+an=？我们视目以待，看接下来的解答:当q=1时，Sn=a1+a2+a3+……+an-1+an

=a1+a1+a1+……+a1+a1

=na1共n个a1设等比数列，首项为,公比为如何求前n项和？当前7页，总共35页。

S1=a1S2=a1+a2=a1+a1q=a1(1+q)S3=a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2

=a1(1+q+q2)S4=a1+a2+a3+a4=a1+a1q+a1q2+a1q3

=a1(1+q+q2+q3)分析：当前8页，总共35页。

Sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1①qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1+a1qn②

①-②得：Sn(1—q)=a1—a1qn这就是乘公比错位相减法求和当q≠1时，当前9页，总共35页。则等比数列{an}前n项和公式为Sn=na1q=1q≠1注意点1.注意q=1与q≠1两种情况.2.q≠1时，当前10页，总共35页。通过上面的讲解，对于等差数列的相关量a1、d、n、an、sn，一般确定几个量就可以确定其他量？a1、an、nan、sna1、d、ana1、d、na1、an、snan、d、nan、sn、nn、snd、snd、na1、sna1、d当前11页，总共35页。例1等比数列{an}的公比q=，a8=1，求它的前8项和S8.解法1：因为a8=a1q7，所以因此

这是公式法求和当前12页，总共35页。解法2：把原数列的第8项当作第一项，第1项当作第8项，即顺序颠倒，也得到一个等比数列{bn}，其中b1=a8=1，q=2，所以前8项和当前13页，总共35页。求和个分析：数列9，99，999，……，不是等比数列，不能直接用公式求和，但将它转化为10－1，100－1，1000－1，……，就可以解决了。例2当前14页，总共35页。原式=(10－1)+(100－1)+(1000－1)+…+(10n－1)

=(10+100+1000+……+10n)－n解：当前15页，总共35页。例3已知数列的前五项是（1）写出该数列的一个通项公式；（2）求该数列的前n项和分析：此数列的特征是两部分构成，其中是整数部分，又是等差数列，又是等比数列.是分数部分，和等比数列，所以此方法称为“分组法求和”所以此数列可以转化为等差数列当前16页，总共35页。解：（1），（2）这是分组法求和当前17页，总共35页。某工厂去年1月份的产值为a元，月平均增长率为p(p>0)，求这个工厂去年全年产值的总和。解：该工厂去年2月份的产值为a(1+p)元，3月，4月，……，的产值分别为a(1+p)2元，a(1+p)3元，……，所以12个月的产值组成一个等比数列，首项为a，公比为1+p，例4当前18页，总共35页。答：该工厂去年全年的总产值为元。当前19页，总共35页。求和：

.例5为等比数列，公比为，利用错位相减法求和.设，其中为等差数列，分析：这是错位相减法求和当前20页，总共35页。解：，两端同乘以，得两式相减得于是.当前21页，总共35页。注意：当等比数列的通项公式中有参数，求前n项和时要注意公比是否为1．例6设数列

求这个数列的前n项和解:（与n无关的常数）

所以该数列是等比数列，首项为1，

，该数列的公比为1，

，该数列的公比不为1，

当前22页，总共35页。求和：.为等比数列，公比为，利用错位相减法求和.设，其中为等差数列，例7当前23页，总共35页。解：，两端同乘以，得两式相减得于是.当前24页，总共35页。

“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，怎样用学过的知识来说明它？解：这句古语用现代文叙述是：一尺长的木棒，每天取它的一半，永远也取不完.如果每天取出的木棒的长度排成一个数列，则得到一个首项为a1=，公比q=的等比数列，思考与余味当前25页，总共35页。它的前n项和为这说明一尺长的木棒，每天取它的一半，永远也取不完.不论n取何值，总小于1，当前26页，总共35页。课堂小结本节课主要讲述了等比数列的前n项和公式：

以及他们的推导过程，在具体使用时,不一定完全套用公式,要灵活变通.Sn=na1q=1q≠1当前27页，总共35页。

1.推导等差数列前n项和公式的方法.2.公式的应用中的数学思想.

-------错位相加法-------方程思想3.公式中五个量a1,d,an,n,sn,已知其中三个量，可以求其余两个.-------知三求二当前28页，总共35页。（07年广东）等比数列{an}中，a1=3,an=96,sn=189,求n的值．解：由得：q=2所以：高考链接当前29页，总共35页。随堂练习1.求等比数列的前8项的和解:当前30页，总共35页。2.某商场第1年销售计算机５０００台，如果平均每年的销售量比上一年增加10%，那么从第1年起，约几年内可使总销售量达到３００００台（保留到个位）？分析：由题意可知，每年销售量比上一年增加的百分率相同，所以从第1年起，每年的销售量组成一个等比数列，总产量则为等比数列的前n项和.当前31页，总共35页。解：设每年的产量组成一个等比数列其中a1=5000，q=1+10%=1.1，Sn=30000∴整理可得：1.1