连续系统的域分析

连续系统的域分析演示文稿当前1页，总共49页。（优选）连续系统的域分析.当前2页，总共49页。§5.1拉普拉斯变换

从傅里叶变换到拉普拉斯变换

收敛域

(单边)拉普拉斯变换

常见函数的拉普拉斯变换

单边拉氏变换与傅里叶变换的关系当前3页，总共49页。一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。为此，可用一衰减因子e-t(为实常数）乘信号f(t)，适当选取的值，使乘积信号f(t)e-t当t∞时信号幅度趋近于0，从而使f(t)e-t的傅里叶变换存在。相应的傅里叶逆变换为f(t)e-t=Fb(+j)=ℱ[f(t)e-t]=令s=+j,d=ds/j，有当前4页，总共49页。定义双边拉普拉斯变换对Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为Fb(s)的双边拉氏逆变换（或原函数）。当前5页，总共49页。二、收敛域只有选择适当的值才能使积分收敛，信号f(t)的双边拉普拉斯变换存在。

使f(t)拉氏变换存在的取值范围称为Fb(s)的收敛域。下面举例说明Fb(s)收敛域的问题。当前6页，总共49页。例1因果信号f1(t)=et

(t)，求拉氏变换。解可见，对于因果信号，仅当Re[s]=>时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。收敛域收敛边界当前7页，总共49页。例2反因果信号f2(t)=et(-t)，求拉氏变换。解可见，对于反因果信号，仅当Re[s]=<时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。当前8页，总共49页。例3双边信号求其拉普拉斯变换。

求其拉普拉斯变换。解其双边拉普拉斯变换Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s)仅当>时，其收敛域为<Re[s]<的一个带状区域，如图所示。当前9页，总共49页。例4求下列信号的双边拉普拉斯变换。

f1(t)=e-3t(t)+e-2t(t)

f2(t)=–e-3t(–t)–e-2t(–t)

f3(t)=e-3t(t)–e-2t(–t)解Re[s]=>–2Re[s]=<–3–3<<–2可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必须标出收敛域。当前10页，总共49页。通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原点。这样，t<0时，f(t)=0。从而拉氏变换式写为称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。其收敛域一定是Re[s]>，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。当前11页，总共49页。三、单边拉氏变换简记为F(s)=£

[f(t)]

f(t)=£-1[F(s)]或

f(t)←→F(s)当前12页，总共49页。四、常见函数的拉普拉斯变换1、(t)←→1，>-∞2、(t)或1←→1/s，>03、指数函数e-s0t←→>-Re[s0]cos0t=(ej0t+e-j0t)/2←→sin0t=(ej0t–e-j0t)/2j←→当前13页，总共49页。§5.2拉普拉斯变换性质

线性性质

尺度变换

时移特性

复频移特性

时域微分

时域积分

卷积定理

s域微分

s域积分

初值定理

终值定理当前14页，总共49页。一、线性性质若f1(t)←→F1(s)Re[s]>1,f2(t)←→F2(s)Re[s]>2则a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s)Re[s]>max(1,2)例1

f(t)=(t)+(t)←→1+1/s，>0当前15页，总共49页。二、尺度变换若f(t)←→F(s),Re[s]>0，且有实数a>0，则f(at)←→证明：当前16页，总共49页。三、时移特性若f(t)

<----->F(s),Re[s]>0,且有实常数t0>0,则f(t-t0)(t-t0)<----->e-st0F(s),Re[s]>0

与尺度变换相结合f(at-t0)(at-t0)←→例1:求如图信号的单边拉氏变换。解：f1(t)=(t)–(t-1)，f2(t)=(t+1)–(t-1)F1(s)=当前17页，总共49页。例2:已知f1(t)←→F1(s),求f2(t)←→F2(s)解：

f2(t)=f1(0.5t)–f1[0.5(t-2)]f1(0.5t)←→2F1(2s)f1[0.5(t-2)]←→2F1(2s)e-2sf2(t)←→2F1(2s)(1–e-2s)当前18页，总共49页。四、复频移（s域平移）特性若f(t)←→F(s),Re[s]>0,且有复常数sa=a+ja,则f(t)esat←→F(s-sa),Re[s]>0+a

例1:已知因果信号f(t)的象函数F(s)=求e-tf(3t-2)的象函数。解：e-tf(3t-2)←→当前19页，总共49页。五、时域的微分特性（微分定理）若f(t)←→F(s),Re[s]>0,则f’(t)←→sF(s)–f(0-)推广：证明：当前20页，总共49页。六、时域积分特性（积分定理）证明：①②①②当前21页，总共49页。例1:t2(t)<---->?当前22页，总共49页。七、卷积定理时域卷积定理若因果函数f1(t)←→F1(s),Re[s]>1,

f2(t)←→F2(s),Re[s]>2则f1(t)*f2(t)←→F1(s)F2(s)复频域（s域）卷积定理

当前23页，总共49页。八、s域微分和积分若f(t)←→F(s),Re[s]>0,则例1：t2e-2t(t)←→

?e-2t(t)←→

1/(s+2)t2e-2t(t)←→当前24页，总共49页。例2：当前25页，总共49页。九、初值定理和终值定理初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(∞），而不必求出原函数f(t)初值定理设函数f(t)不含(t)及其各阶导数则终值定理若f(t)当t→∞时存在，并且f(t)←→F(s),Re[s]>0,0<0，则当前26页，总共49页。举例例1：当前27页，总共49页。§5.3拉普拉斯逆变换直接利用定义式求反变换---复变函数积分，比较困难。通常的方法:（1）查表（2）利用性质（3）部分分式展开-----结合若象函数F(s)是s的有理分式，可写为若m≥n（假分式）,可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。当前28页，总共49页。由于L-1[1]=(t)，

L

-1[sn]=(n)(t)，故多项式P(s)的拉普拉斯逆变换由冲激函数构成。下面主要讨论有理真分式的情形。当前29页，总共49页。一、零、极点的概念若F(s)是s的实系数有理真分式（m<n)，则可写为分解零点极点当前30页，总共49页。二、拉氏逆变换的过程求F(s)的极点将F(s)展开为部分分式查变换表求出原函数f(t)当前31页，总共49页。部分分式展开1.第一种情况：单阶实数极点当前32页，总共49页。单阶实极点举例(1)求极点(2)展为部分分式(3)逆变换求系数当前33页，总共49页。假分式情况：作长除法当前34页，总共49页。第二种情况：极点为共轭复数共轭极点出现在

当前35页，总共49页。求f(t)=2|K1|e-tcos(t+)(t)当前36页，总共49页。共轭极点举例当前37页，总共49页。第三种情况：有重根存在如何求K2?当前38页，总共49页。K2的求法当前39页，总共49页。逆变换当前40页，总共49页。一般情况求K11，方法同第一种情况：求其他系数，要用下式当前41页，总共49页。举例当前42页，总共49页。当前43页，总共49页。§5.4复频域分析一、微分方程的变换解描述n阶系统的微分方程的一般形式为系统的初始状态为y(0-),y(1)(0-),…，y(n-1)(0-)。思路：用拉普拉斯变换微分特性若f(t)在t=0时接入系统，则f(j)(t)←→sjF(s)当前44页，总共49页。

y(t)，yzi(t)，yzs(t)s域的代数方程当前45页，总共49页。举例例1描述某LTI系统的微分方程为

y"(t)+5y'(t)+6y(t)=2f'(t)+6f(t)已知初始状态y(0-)=1，y'(0-)=-1，激励f(t)=5cost(t)，求系统的全响应y(t)解：方程取拉氏变换，并整理得Yzi(s)Yzs(s)当前46页，总共49页。y(t)=2e–2t(t)

–e–3t(t)

-4e–2t(t)

+yzi(t)yzs(t)暂态分量yt(t)稳态分量ys(t)当前47页，总共49页。二、系统函数系统函数H(s)定义为它只与系统的结构、元件参数有关，而与激励、初始状态无关。yzs(t)=h(t)*f(t)H(s)=L[h(t)]Yzs(s)=L

[h(t)]F(s)当前48页，总共49页。例2已知当输入f(t)=e-t(t)时，某LTI因果系统的零状态响应yzs(t)=(3e-t-4e-2t