等差数列单元测试题含答案

一、等差数列选择题1．已知等差数列中，，则数列的公差为（）A． B．2 C．8 D．132．等差数列中，已知，则（）A．13 B．14 C．15 D．163．设等差数列的前项和为，且，则（）A．45 B．50 C．60 D．804．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，则下列判断错误的是（）A．S5，S10-S5，S15-S10必成等差数列 B．S2，S4-S2，S6-S4必成等差数列C．S5，S10，S15+S10有可能是等差数列 D．S2，S4+S2，S6+S4必成等差数列5．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，它揭示日月星辰的运行规律.其记载“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁”.现恰有30人，他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂(即1520)，其中年长者年龄介于90至100，其余29人的年龄依次相差一岁，则最年轻者的年龄为（）A．32 B．33 C．34 D．356．已知等差数列中，，则的前n项和的最大值为（）A． B． C． D．7．已知等差数列的前项和为，若，则（）A． B． C． D．8．若两个等差数列，的前项和分别为和，且，则（）A． B． C． D．9．数列是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是24，偶数项的和为30，若它的末项比首项大，则该数列的项数是（）A．8 B．4 C．12 D．1610．已知数列的前项和为，，且，满足，数列的前项和为，则下列说法中错误的是（）A． B．C．数列的最大项为 D．11．已知正项数列满足，，数列满足，记的前n项和为，则的值为（）A．1 B．2 C．3 D．412．已知等差数列的前项和为，且.定义数列如下：是使不等式成立的所有中的最小值，则（）A．25 B．50 C．75 D．10013．已知数列中，，且，则这个数列的第10项为（）A．18 B．19 C．20 D．2114．已知数列是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列，其前项和为.若且，则下列判断正确的是（）A． B．C． D．15．已知等差数列中，，，则的值是（）A．15 B．30 C．3 D．6416．在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则这五个数为（）A．3、8、13、18、23 B．4、8、12、16、20C．5、9、13、17、21 D．6、10、14、18、2217．已知数列{xn}满足x1＝1，x2＝，且(n≥2)，则xn等于（）A．()n－1 B．()n C． D．18．等差数列中，若，，则（）A． B． C．2 D．919．已知数列的前项和为，且，现有如下说法：①；②；③.则正确的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．320．已知数列中，，且满足，若对于任意，都有成立，则实数的最小值是（）A．2 B．4 C．8 D．16二、多选题21．题目文件丢失！22．已知数列的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（）A． B．C． D．23．已知等差数列的前n项和为且则（）A． B．当且仅当n=7时，取得最大值C． D．满足的n的最大值为1224．无穷等差数列的前n项和为Sn，若a1＞0，d＜0，则下列结论正确的是（）A．数列单调递减 B．数列有最大值C．数列单调递减 D．数列有最大值25．记为等差数列的前n项和.已知，则（）A． B． C． D．26．公差不为零的等差数列满足，为前项和，则下列结论正确的是（）A． B．（）C．当时， D．当时，27．已知数列的前项和为，前项积为，且，则（）A．当数列为等差数列时，B．当数列为等差数列时，C．当数列为等比数列时，D．当数列为等比数列时，28．设等差数列的前项和为，公差为.已知，，则（）A． B．数列是递增数列C．时，的最小值为13 D．数列中最小项为第7项29．下面是关于公差的等差数列的四个命题，其中的真命题为（）.A．数列是递增数列B．数列是递增数列C．数列是递增数列D．数列是递增数列30．公差为的等差数列，其前项和为，，，下列说法正确的有（）A． B． C．中最大 D．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题1．B【分析】设公差为，则，即可求出公差的值.【详解】设公差为，则，即，解得：，所以数列的公差为，故选：B2．A【分析】利用等差数列的性质可得，代入已知式子即可求解.【详解】由等差数列的性质可得，所以，解得：，故选：A3．C【分析】利用等差数列性质当时及前项和公式得解【详解】是等差数列，，，故选：C【点睛】本题考查等差数列性质及前项和公式，属于基础题4．D【分析】根据等差数列的性质，可判定A、B正确；当首项与公差均为0时，可判定C正确；当首项为1与公差1时，可判定D错误.【详解】由题意，数列为等差数列，为前项和，根据等差数列的性质，可得而，和构成等差数列，所以，所以A，B正确；当首项与公差均为0时，是等差数列，所以C正确；当首项为1与公差1时，此时，此时不构成等差数列，所以D错误.故选：D.5．D【分析】设年纪最小者年龄为n，年纪最大者为m,由他们年龄依次相差一岁得出，结合等差数列的求和公式得出，再由求出的值.【详解】根据题意可知，这30个老人年龄之和为1520，设年纪最小者年龄为n，年纪最大者为m，，则有则有，则，所以解得，因为年龄为整数，所以.故选：D6．B【分析】根据已知条件判断时对应的的范围，由此求得的最大值.【详解】依题意，所以，所以的前n项和的最大值为.7．D【分析】由等差数列前项和性质得，，，构成等差数列，结合已知条件得和计算得结果.【详解】已知等差数列的前项和为，，，，构成等差数列，所以，且，化简解得.又，，从而.故选：D【点睛】思路点睛：（1）利用等差数列前项和性质得，，，构成等差数列，（2），且，化简解得，（3），化简解得.8．C【分析】可设，，进而求得与的关系式，即可求得结果．【详解】因为，是等差数列，且，所以可设，，又当时，有，，，故选：．9．A【分析】设项数为2n，由题意可得，及可求解．【详解】设等差数列的项数为2n，末项比首项大，，，．由，可得，，即项数是8，故选：A.10．D【分析】当且时，由代入可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的通项公式，由可判断A选项的正误；利用的表达式可判断BC选项的正误；求出，可判断D选项的正误.【详解】当且时，由，由可得，整理得（且）.则为以2为首项，以2为公差的等差数列，.A中，当时，，A选项正确；B中，为等差数列，显然有，B选项正确；C中，记，，，故为递减数列，，C选项正确；D中，，，.，D选项错误.故选：D．【点睛】关键点点睛：利用与的关系求通项，一般利用来求解，在变形过程中要注意是否适用，当利用作差法求解不方便时，应利用将递推关系转化为有关的递推数列来求解.11．B【分析】由题意可得，运用等差数列的通项公式可得，求得，然后利用裂项相消求和法可求得结果【详解】解：由，，得，所以数列是以4为公差，以1为首项的等差数列，所以，因为，所以，所以，所以，所以，故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查由数列的递推式求数列的前项和，解题的关键是由已知条件得，从而数列是以4为公差，以1为首项的等差数列，进而可求，，然后利用裂项相消法可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于中档题12．B【分析】先求得，根据，求得，进而得到，结合等差数列的求和公式，即可求解.【详解】由题意，等差数列的前项和为，且，可得，因为，即，解得，当，（）时，，即，即，从而.故选：B.13．B【分析】由已知判断出数列是以为首项，以为公差的等差数列，求出通项公式后即可求得.【详解】，且，数列是以为首项，以为公差的等差数列，通项公式为，，故选：B.14．D【分析】利用等差数列的求和公式可判断A选项的正误；利用作差法结合等差数列的通项公式可判断B选项的正误；利用结合不等式的基本性质可判断C选项的正误；利用等差数列的求和公式结合不等式的基本性质可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，由于，故选项A错误；对于B选项，由于，则，故选项B错误；对于C选项，由于，故选项C错误；对于D选项，设，则，从而，由于，故.，故.，由此，故选项D正确.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列中不等式关系的判断，在解题过程中充分利用基本量来表示、，并结合作差法、不等式的基本性质来进行判断.15．A【分析】设等差数列的公差为，根据等差数列的通项公式列方程组，求出和的值，，即可求解.【详解】设等差数列的公差为，则，即解得：，所以，所以的值是，故选：A16．C【分析】根据首末两项求等差数列的公差，再求这5个数字.【详解】在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则，则，则这5个数依次是5，9，13，17，21.故选：C17．C【分析】由已知可得数列是等差数列，求出数列的通项公式，进而得出答案．【详解】由已知可得数列是等差数列，且，故公差则，故故选：C18．A【分析】由和求出公差，再根据可求得结果.【详解】设公差为，则，所以.故选：A19．D【分析】由得到，再分n为奇数和偶数得到，，然后再联立递推逐项判断.【详解】因为，所以，所以，，联立得：，所以，故，从而，，，则，故，，，故①②③正确.故选：D20．A【分析】将变形为，由等差数列的定义得出，从而得出，求出的最值，即可得出答案.【详解】因为时，，所以，而所以数列是首项为3公差为1的等差数列，故，从而.又因为恒成立，即恒成立，所以.由得所以，所以，即实数的最小值是2故选：A二、多选题21．无22．BD【分析】根据选项求出数列的前项，逐一判断即可.【详解】解：因为数列的前4项为2，0，2，0，选项A：不符合题设；选项B：，符合题设；选项C：，不符合题设；选项D：，符合题设.故选：BD.【点睛】本题考查数列的通项公式的问题，考查了基本运算求解能力，属于基础题.23．ACD【分析】由题可得，，，求出可判断A；利用二次函数的性质可判断B；求出可判断C；令，解出即可判断D.【详解】设等差数列的公差为，则，解得，，，且，对于A，，故A正确；对于B，的对称轴为，开口向下，故或7时，取得最大值，故B错误；对于C，，，故，故C正确；对于D，令，解得，故n的最大值为12，故D正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：由于等差数列是关于的二次函数，当与异号时，在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当与同号时，在取最值.24．ABD【分析】由可判断AB，再由a1＞0，d＜0，可知等差数列数列先正后负，可判断CD.【详解】根据等差数列定义可得，所以数列单调递减，A正确；由数列单调递减，可知数列有最大值a1，故B正确；由a1＞0，d＜0，可知等差数列数列先正后负，所以数列先增再减，有最大值，C不正确，D正确.故选：ABD.25．AD【分析】设等差数列的公差为，根据已知得，进而得，故，.【详解】解：设等差数列的公差为，因为所以根据等差数列前项和公式和通项公式得：，解方程组得：，所以，.故选：AD.26．BC【分析】设公差d不为零,由，解得，然后逐项判断.【详解】设公差d不为零,因为，所以，即，解得，，故A错误；，故B正确；若，解得，，故C正确；D错误；故选：BC27．AC【分析】将变形为，构造函数，利用函数单调性可得，再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项【详解】由，可得，令，，所以是奇函数，且在上单调递减，所以，所以当数列为等差数列时，；当数列为等比数列时，且，，同号，所以，，均大于零，故.故选：AC【点睛】本题考查等差数列与等比数列，考查逻辑推理能力，转化与化归的数学思想，属于中档题28．ACD【分析】由已知得，又，所以，可判断A；由已知得出，且，得出时，，时，，又，可得出在上单调递增，在上单调递增，可判断B；由，可判断C；判断，的符号，的单调性可判断D；【详解】由已知得，，又，所以，故A正确；由，解得，又，当时，，时，，又，所以时，，时，，所以在上单调递增，在上单调递增，所以数列不是递增数列，故B不正确；由于，而，所以时，的最小值为13，故C选项正确；当时，，时，，当时，，时，，所以当时，，，，时，为递增数列，为正数且为递减数列，所以数列中最小项为第7项，故D正确；【点睛】本题考查等差数列的公差，项的符号，数列的单调性，数列的最值项，属于较难题.29．AD【分