第四章 频率分析法

第四章频率分析法1第一页，共六十九页，2022年，8月28日4.1频域特性概述一、频率响应与频域率特性1、频率响应是指线性定常系统对正弦输入的稳态响应。例：一阶RC网络的频率特性RCCuiu0i传递函数：设2第二页，共六十九页，2022年，8月28日1)系统稳态响应频率与输入频率相同；2）幅值与相位均与ω有关，与系统参数T也有关。相位幅值3第三页，共六十九页，2022年，8月28日2、频率特性线性系统在正弦输入下，其稳态输出与输入的幅值比，为系统的幅频特性。用A(ω)表示。稳态输出信号与输入信号的相位差称为相频特性。用ψ（ω）表示。幅频特性和相频特性总称为系统的频率特性。记作4第四页，共六十九页，2022年，8月28日二、频率特性与传递函数的关系推导过程如下：为讨论方便，不考虑重极点。5第五页，共六十九页，2022年，8月28日当系统稳定时6第六页，共六十九页，2022年，8月28日几点说明：1）频率特性适合线性系统和元件2）幅频特性和相频特性是频率的函数，随输入频率变化而变化，与输入幅值和相角无关。3）微分方程、传递函数、频率特性间具有内在联系，可相互转化。（见图示）——频率特性和传递函数的关系7第七页，共六十九页，2022年，8月28日各种模型之间的关系：频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面虚轴上的传递函数8第八页，共六十九页，2022年，8月28日例：已知系统传递函数为：，求系统的频率特性和频率响应，输入为。4）频率特性可用实验方法求取。9第九页，共六十九页，2022年，8月28日4.2频率特性的图示方法一、频率特性极坐标图（又称Nyquist图）当频率从∞变到+∞时，向量G(j)的幅值和相位也随之作相应的变化，其端点在复平面上移动的轨迹称为极坐标图。相角的符号规定：从正实轴开始，顺时针为负，逆时针为正。据G(j)的定义，用实频特性和虚频特性表示矢量式表示式10第十页，共六十九页，2022年，8月28日当频率从∞→0及从0→+∞时，G(j)正负频率的曲线是关于实轴对称的。11第十一页，共六十九页，2022年，8月28日1、典型环节的Nyquist图（1）比例环节传递函数：频率特性：奈氏图特点：实轴上的一个点（k,j0)。12第十二页，共六十九页，2022年，8月28日（2）积分环节的奈氏图传递函数：频率特性：奈氏图特点：为负虚轴，具有恒定的相位滞后。13第十三页，共六十九页，2022年，8月28日（3）微分环节的奈氏图传递函数：频率特性：奈氏图特点：为正虚轴，具有恒定的相位超前。14第十四页，共六十九页，2022年，8月28日（4）惯性环节的奈氏图传递函数：频率特性：15第十五页，共六十九页，2022年，8月28日奈氏图特点：半径为1/2，圆心为（1/2,j0)的半圆，幅值随ω增大而减小，具有低通滤波特性。存在相位滞后，最大相位滞后90°.K=116第十六页，共六十九页，2022年，8月28日（5）一阶微分环节的奈氏图传递函数：频率特性：奈氏图特点：一条平行虚轴的线。17第十七页，共六十九页，2022年，8月28日（6）振荡环节的奈氏图传递函数：频率特性：18第十八页，共六十九页，2022年，8月28日设ω=ωr时，A(ω)达到最大值谐振峰值Mr(极大值)谐振频率19第十九页，共六十九页，2022年，8月28日(7)延迟环节的奈氏图传递函数：频率特性：奈氏图特点：在单位圆上作无限循环。20第二十页，共六十九页，2022年，8月28日2、Nyquist图的草图绘制（1）由G(jω)求其实部、虚部、A(ω),ψ(ω)表达式。（2）计算若干特征点起点（ω=0）、终点（ω=∞）与实轴交点、与虚轴交点（3）给出曲线走向，当ω↑时，曲线是顺时针还是逆时针。（4）画出草图。21第二十一页，共六十九页，2022年，8月28日例1：已知系统的传递函数为，试绘制其Nyquist图。解：22第二十二页，共六十九页，2022年，8月28日例2：已知系统的传递函数为，试绘制其Nyquist图。解：23第二十三页，共六十九页，2022年，8月28日例3：已知系统的传递函数为，试绘制其Nyquist图。解：24第二十四页，共六十九页，2022年，8月28日Nyquist草图绘制小结1、保持准确曲线的重要特征：如起点、终点、与实轴、虚轴的交点2、在重要点附近有足够的准确性。25第二十五页，共六十九页，2022年，8月28日1、起点2、终点26第二十六页，共六十九页，2022年，8月28日3、与实轴、虚轴的交点4、中频部分曲线的形状和频率特性的参数密切相关。当开环传递函数包含有微分环节时，幅相曲线会出现凹凸，幅值和相位不再是单调变化27第二十七页，共六十九页，2022年，8月28日试画下列传递函数的奈氏草图（1）（2）（3）（4）（1）（2）（3）（4）28第二十八页，共六十九页，2022年，8月28日29第二十九页，共六十九页，2022年，8月28日局部放大图如下30第三十页，共六十九页，2022年，8月28日31第三十一页，共六十九页，2022年，8月28日二、频率特性的对数坐标图（又称Bode图）由对数幅频特性图和对数相频特性图组成；横坐标按ω的对数lgω线性分度，标以ω（rad/s),横轴上每一线性单位表示频率的十倍变化，称为十倍频程，用符号“dec”表示。32第三十二页，共六十九页，2022年，8月28日对数幅频特性的纵坐标，单位为分贝，记为dB，按线性分度。对数相频特性曲线的纵坐标，单位为度，线性分度。33第三十三页，共六十九页，2022年，8月28日采用Bode图表示频率特性的优点（1）可以展宽频带（2）对数特性将乘除变成加减运算，简化计算与作图过程（3）典型环节可用分段直线（或渐近线）近似表示（4）可用实验方法确定系统的频率特性表达式。34第三十四页，共六十九页，2022年，8月28日1、典型环节的Bode图（1）比例环节K=1035第三十五页，共六十九页，2022年，8月28日（2）积分环节的Bode图ω=1时，L(ω)=0斜率思考：画出G(s)=k/s的Bode图。36第三十六页，共六十九页，2022年，8月28日（3）微分环节37第三十七页，共六十九页，2022年，8月28日（4）惯性环节具有低通滤波特性最大误差3dB38第三十八页，共六十九页，2022年，8月28日（5）一阶微分环节39第三十九页，共六十九页，2022年，8月28日（6）振荡环节化成时间常数形式40第四十页，共六十九页，2022年，8月28日①②③振荡环节Bode图渐进线41第四十一页，共六十九页，2022年，8月28日（7）二阶微分环节42第四十二页，共六十九页，2022年，8月28日（8）延迟环节43第四十三页，共六十九页，2022年，8月28日ω-180ωL(ω）11/T20dB/dec-20dB/dec-40dB/dec20dB/dec40dB/dec-20dB/dec二阶微分一阶微分惯性振荡微分积分ψ(ω)1809045-45-90微分积分二阶微分一阶微分惯性振荡典型环节Bode图小结44第四十四页，共六十九页，2022年，8月28日2、Bode图的绘制R(s)C(s)-将开环传递函数写成典型时间常数的实系数形式：45第四十五页，共六十九页，2022年，8月28日对数幅频特性可按以下步骤一次完成：（1）确定K值，v值及各个环节的转折频率，将转折频率从小到大标注到频率轴上；（2）绘制对数幅频特性的低频渐近线

低频段的斜率-20dB/dec46第四十六页，共六十九页，2022年，8月28日（3）以低频渐近线作为分段直线的第一段，从低频段开始沿频率增大的方向，每遇到一个转折频率改变一次分段直线的斜率。当遇到惯性环节时，斜率变化量为-20dB/dec当遇到一阶微分环节时，斜率变化量为+20dB/dec当遇到振荡环节时，斜率变化量为-40dB/dec当遇到二阶微分环节时，斜率变化量为+40dB/dec（4）分段直线的最后一段，斜率为-20（n-m)dB/dec（5）在转折频率附近进行修正，可以得到较准确的曲线。47第四十七页，共六十九页，2022年，8月28日对数相频特性曲线的绘制（1）利用典型环节的各相频特性相加（2）直接利用相频特性表达式计算48第四十八页，共六十九页，2022年，8月28日例：作传递函数为的系统的Bode图。解（1）将G(s)化为标准形式（2）K=3ν=0惯性环节：T1=2.5，ωT1=0.4

T2=0.025，ωT2=40一阶微分：T3=0.5，ωT3=249第四十九页，共六十九页，2022年，8月28日无积分环节20lgK=20lg3=9.5dB惯性环节一阶微分惯性环节50第五十页，共六十九页，2022年，8月28日例已知单位反馈系统的开环传递函数为作对数开环频率特性。低频段特性为斜率为20dB/dec，过(1.58，0dB)的斜线转折频率：0.1，1，0.02，2解：51第五十一页，共六十九页，2022年，8月28日图中的各段斜率分别简略标注为0----0dB/dec,1----20dB/dec,2----40dB/dec,52第五十二页，共六十九页，2022年，8月28日4.3闭环频域性能指标大多数自控系统，具有图示的低通滤波特性。1、零频幅值M0=M(0)

M(0)的数值与1相差的大小，反映了系统的稳态精度。2、谐振峰值MrMr与超调量有关。反映了系统的相对平稳性。M(ω)53第五十三页，共六十九页，2022年，8月28日3、谐振频率ωr4、截止频率ωb和带宽（0～ωb）反映了系统响应的快慢与抗干扰能力。ωb↑→抗干扰能力↓，快速性↑54第五十四页，共六十九页，2022年，8月28日二阶系统闭环频域指标的计算—Xi(s)Xo(s)闭环传递函数为：时，产生谐振

所有指标均为ξ和ωn的函数。55第五十五页，共六十九页，2022年，8月28日给出闭环频域指标和中的任何两个，可以通过解出计算时间域指标；同样，给出时间域指标中的任何两个，可以确定闭环频域指标。时域指标与二阶系统参数有下面的关系：56第五十六页，共六十九页，2022年，8月28日Bode图的“三频段”1、低频段在第一个转折频率以前的区段，它决定系统的稳态性能。根据低频段确定0型、I型、II型系统的静态误差系数。L(ω)-20db/decω120lgK-20db/dec-40db/decωL(ω)120lgk-40db/dec-60db/dec20lgkL(ω)ω157第五十七页，共六十九页，2022年，8月28日2、中频段开环对数幅频曲线在截止频率ωc(0dB附近）的区段，其斜率和宽度，反映了闭环系统的相对稳定性及输出响应的瞬态性能。（1）中频段斜率为-20dB/dec,且占据一定宽度，则系统稳定，平稳性好。（2）当L(ω)在ωc处斜率为-40dB/dec，系统可能稳定也可能不稳定，若稳定，其相位裕量也较小。（3）当L（ω）在ωc斜率为-60dB/dec，系统不稳定。58第五十八页，共六十九页，2022年，8月28日3、高频段中频段后（ω＞10ωc）的区域。反映了时域响应的起始阶段特性。高频段一般分贝值较低，对系统的动态响应影响不大。高频段特性反映了系统的抗干扰能力。要求高频段幅值迅速衰减，以减少噪声干扰。59第五十九页，共六十九页，2022年，8月28日4.4最小相位系统与非最小相位系统一、定义在右半S平面上没有极点或零点的系统是最小相位系统，相应的传递函数称为最小相位传递函数。反之，称为非最小相位系统和非最小相位传递函数。60第六十页，共六十九页，2022年，8月28日二、最小相位系统的特性1）若系统稳定，具有相同幅频特性的系统中，对于任意给定的频率，最小相位系统的相位滞后最小。例已知两个系统61第六十一页，共六十九页，2022年，8月28日62第六十二页，共六十九页，2022年，8月28日二、最小相位系统的特性2）最小相位系统相频特性与对数幅频特性之间存在确定的关系，因此，在利用对数频率特性对系统进行分析和综合时，常常只需画出和利用对数幅频特性曲线。绘制非最小相位系统的对数频率特性是必须分别绘出对数幅频特性和对数相频特性。3）最小相位系统当ω→∞时，对数频率特性的高频渐近线斜率为-20(n-m)dB/dec，相角为-90(n-m)°,可用于判断最小相位系统。63第六十三页，共六十九页，2022年，8月28日利用对数幅频特性曲线确定最小相位系统的传递函数系统开环传递函数：64第六十四页，共六十九页，2022年，8月28日练习写出下面最小相位系统的传递函数-20dB/dec-20dB/dec-40dB/dec1210L(w)w