第四章 根轨迹分析法

第四章根轨迹分析法第一页，共七十二页，2022年，8月28日1第四章根轨迹法分析4.1概述4.2绘制根轨迹的基本法则4.4根轨迹在系统分析中的应用4.3广义根轨迹第二页，共七十二页，2022年，8月28日4.1概述1.根轨迹的概念2.闭环零、极点与开环零、极点的关系3.根轨迹方程首页第三页，共七十二页，2022年，8月28日4.1概述1.根轨迹的概念R(s)C(s)-图4.1系统方框图例已知二阶系统结构图如图4.1所示，试分析开环增益K的变化对系统闭环极点的影响。特征方程式：闭环传递函数：特征根：第四页，共七十二页，2022年，8月28日4.1.1根轨迹K=0时，s1=0，s2=－1，对应开环极点。0<K<1/4时，s1、s2都是负实根，如s1=－0.25，s2=－0.75。K=1/4时，s1=s2=－1/2，两个相等负实根。K：0→∞0-1j0.5jωσK=0-j0.5图4-2根轨迹K=0.1875K=0.25K=0.5根轨迹：简称根迹，它是指系统中某一参数在可能的取值范围内连续变化时，闭环系统特征根在s平面上的变化轨迹。

1/4<K<∞时，s1,s2为一对共轭复根；K=1/2时，s1,2=－1/2±j0.5。第五页，共七十二页，2022年，8月28日闭环零、极点与开环零、极点的关系G(s)H(s)R(s)C(s)-图4.3系统结构图第六页，共七十二页，2022年，8月28日4.1概述2.闭环零、极点与开环零、极点的关系闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点构成。对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。闭环极点与开环零点、开环极点及开环系统的根轨迹增益有关。根轨迹增益与开环放大倍数相差一个比例系数。第七页，共七十二页，2022年，8月28日4.1.3根轨迹方程----绘制根轨迹的依据G(s)H(s)R(s)C(s)-图4.3系统结构图特征方程根轨迹方程开环传递函数幅值条件相角条件k为整数第八页，共七十二页，2022年，8月28日4.1概述3.根轨迹方程幅值条件相角条件相角条件是决定闭环系统根轨迹的充要条件。利用相角条件确定根轨迹上某点的位置；利用幅值条件确定根轨迹上某一点对应的根轨迹增益。满足根轨迹方程的s值为闭环极点，必然在根轨迹上；满足相角条件的点必然在根轨迹上。第九页，共七十二页，2022年，8月28日4.1概述幅值条件与相

角条件的应用-1.5-1-20.5s1=-0.825s2,3=-1.09±j2.07-1.09+j2.072.2666.27o78.8o2.112.61127.53o92.49o2.072K*=2.26×2.11×2.612.072=6.006892.49o-66.27o-78.8o-127.53o=–180o第十页，共七十二页，2022年，8月28日4.2绘制根轨迹的基本法则

(180o根轨迹，K*：0→∞)法则一起始点、终止点及分支数法则二根轨迹的对称性法则三实轴上的根轨迹法则四根轨迹的渐进线法则五根轨迹的分离点法则六根轨迹的出射角(起始角)和入射角(终止角)法则七根轨迹的分离角与会合角法则八根轨迹与虚轴的交点及临界增益值法则九闭环极点的和首页第十一页，共七十二页，2022年，8月28日4.2法则一起始点、终止点及分支数若系统有n个开环极点、m个开环零点，则根轨迹的分支数有n条。它们起始于开环极点，有m条终止于开环零点，尚有(n-m)条终止于无穷远处零点。根轨迹方程起始点K*→0s

→pi(n个开环极点)终止点K*→∞s

→zj(m个开环零点)(n-m个无穷大零点)第十二页，共七十二页，2022年，8月28日4.2法则二根轨迹的对称性

法则二根轨迹是连续的且对称于实轴。当根轨迹增益从0→∞连续变化时，特征方程的根也将连续改变，故系统的根轨迹是连续的。由于闭环传递函数为有理分式函数，所以闭环极点只有实根和共轭复根两类，这些极点在s平面上的分布是对称于实轴的。实轴上的根轨迹只能是那些在其右侧的实数开环零、极点个数之和为奇数的线段。法则三实轴上的根轨迹0jωσ图4.5某系统零极点分布图p1p2p3p4z1s1θ2θ1第十三页，共七十二页，2022年，8月28日4.2法则四根轨迹的渐进线当K*→∞时，有(n-m)条根轨迹分支沿着渐进线趋于无穷远处。渐进线与实轴的交点坐标和与实轴正方向的夹角分别为：证明从略。第十四页，共七十二页，2022年，8月28日4.2法则五根轨迹的分离点几条根轨迹在s平面上相遇后又分开的点称为根轨迹的分离点(或会合点，为了简化可统称为分离点)。分离点的可能之处可由下列微分方程解出：(极值法)或分离点的坐标d可由如下方程解出：(试探法)如果求得的解满足特征方程或相角条件，则可判定其为分离点。第十五页，共七十二页，2022年，8月28日4.2绘制根轨迹的基本法则法则五根轨迹的分离点确定根轨迹几个分支的分离点，实质上是求闭环特征方程式的几重根。将特征方程写成在重根处应满足将K*表示成复变量s的函数第十六页，共七十二页，2022年，8月28日4.2绘制根轨迹的基本法则例已知系统的开环传递函数试绘制系统的概略根轨迹。解：开环极点p1=0，p2=-1，p3=-2；无开环零点。实轴上的根轨迹(-∞，-2]，[-1，0]。渐进线n=3，m=0，有三条渐进线。交点相角第十七页，共七十二页，2022年，8月28日4.2绘制根轨迹的基本法则解得分离点-3-210-10-1-212第十八页，共七十二页，2022年，8月28日4.2法则六根轨迹的出射角(起始角)和入射角(终止角)

起始角：根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴之间的夹角称为起始角。终止角：根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴之间的夹角称为终止角。第十九页，共七十二页，2022年，8月28日4.2绘制根轨迹的基本法则法则六根轨迹的出射角(起始角)和入射角(终止角)在pl附近的根轨迹上取一点s1，则s1满足根轨迹的相角条件，即过pl和s1作割线，则割线与正实轴之间的夹角为s1→pl时，∠(s1-pl)→θpl，则0jωσ图4.7根轨迹起始角p1plp3z1s1θpl第二十页，共七十二页，2022年，8月28日4.2法则七根轨迹的分离角与会合角法则七根轨迹离开(进入)重极点处的分离角(会合角)按等角性原则来确定，即分离点处分离与会合的根轨迹各个分支之间的夹角等于180o/l，l为分离或会合的根轨迹条数。方法一：特征方程分解法。将s=jω代入特征方程解得交点与临界增益值。方法二：劳斯判据法。令劳斯表出现全零行，但第一列符号不变。这时系统处于临界稳定状态。所求出的纯虚根位于根轨迹与虚轴的交点上。法则八根轨迹与虚轴的交点及临界增益值第二十一页，共七十二页，2022年，8月28日4.2法则九闭环极点的和开环传递函数当n>m时式中si为闭环极点。当n-m≥2时，系统的闭环极点之和等于开环极点之和，且为常数。即当K*变化时，在s平面上一部分根轨迹向左移动，则另一部分根轨迹必然向右移动。第二十二页，共七十二页，2022年，8月28日4.2绘制根轨迹的基本法则例4-9已知系统的开环传递函数试绘制K*从

0→∞变化时系统特征方程的根轨迹。解：开环极点：p1=0，p2=-3，p3,4=-1±j

；无开环零点；四条根轨迹分支。实轴上的根轨迹[-3，0]。渐进线n=4，m=0，有三条渐进线。交点相角第二十三页，共七十二页，2022年，8月28日4.2绘制根轨迹的基本法则解得那么分离点∠(s2-p1)+∠(s2-p2)+∠(s2-p3)+∠(s2-p4)=153.3o+9.1o-66.6o+78.6o=174.4o由于s2不满足相角条件，故s2不是根轨迹上的点，不是分离点。0jωσS平面s2p1p2p3p49.1o153.3o-66.6o78.6o由特征方程求得第二十四页，共七十二页，2022年，8月28日4.2绘制根轨迹的基本法则在分离点s1处各根轨迹之间的夹角为180o/2=90o，会合角为0o、180o，故分离角为±90o。根轨迹在p3处的起始角φp3=(2k+1)π+(-135o-90o-26.6o)=-71.6o与虚轴的交点及临界增益值：采用劳斯判据。闭环特征方程为或劳斯表s418K*s356s234/5K*s1(204-25K*)/34s0K*j1.1-j1.1p1

p2p3p4-1.25第二十五页，共七十二页，2022年，8月28日4.2绘制根轨迹的基本法则令劳斯表s1行的首项为零，求得K*=8.16，根据s2行的系数写出辅助方程令s=jω，K*=8.16，代入上式求得ω=±1.1。与虚轴的交点为±j1.1，对应的K*=8.16。j1.1-j1.1p1

p2p3p4-1.25根轨迹如右图所示。第二十六页，共七十二页，2022年，8月28日4.2绘制根轨迹的基本法则带开环零点的二阶系统：在复平面上的根轨迹一定是圆或圆的一部分。第二十七页，共七十二页，2022年，8月28日4.2绘制根轨迹的基本法则根轨迹对称性的一条定理：若开环零极点的个数为偶数，且对称分布于一条平行于虚轴的直线，则根轨迹一定关于该直线左右对称。第二十八页，共七十二页，2022年，8月28日4.2绘制根轨迹的基本法则第二十九页，共七十二页，2022年，8月28日4.3广义根轨迹主要根轨迹：指0≤K*<∞时的根轨迹(常规根轨迹、180o根轨迹、负反馈系统根轨迹、正参数根轨迹)。辅助根轨迹：指-∞<K*≤0时的根轨迹(补根轨迹、0o根轨迹、正反馈系统根轨迹、负参数根轨迹)。参数根轨迹：系统中变化的不是增益，而是其它参数变化时的根轨迹。根轨迹簇：多个参数变化时系统的根轨迹。延迟系统的根轨迹：具有延迟环节时系统的根轨迹。广义根轨迹……第三十页，共七十二页，2022年，8月28日4.3广义根轨迹1.参数根轨迹2.多回路系统根轨迹3.正反馈回路的根轨迹首页第三十一页，共七十二页，2022年，8月28日4.3.1参数根轨迹有时需要讨论系统中的参数，如某个微分或积分时间常数，反馈系数或校正环节参数的变化对系统闭环极点的影响。这时，需绘制除开环增益之外的其它参数变化时的根轨迹，称为系统的参变量根轨迹或参数根轨迹。参数根轨迹的绘制：利用等效开环传递函数的概念，应用常规根轨迹的绘制法则进行绘制。等效的含义是指与原系统具有相同的闭环极点。而闭环零点通常则不同，必须由原系统开环传递函数确定。第三十二页，共七十二页，2022年，8月28日4.3广义根轨迹1.参数根轨迹原系统的特征方程为则等效开环传递函数为将上式整理成如下形式按常规根轨迹的绘制方法，绘制出α变化时等效系统的根轨迹，也即原系统的参数根轨迹。一般说，只要所论参数是线性地出现在闭环特征方程中，则总能把方程式写成不含可变参数的多项式加上可变参数和另一多项式的乘积，然后将不含参数的多项式除方程式两边即可求等效开环传递函数。第三十三页，共七十二页，2022年，8月28日4.3广义根轨迹1.参数根轨迹例4.10已知系统结构图如图4-12所示，系统的开环传递函数试求Ta由0→∞连续变化时的闭环根轨迹。51+TasR(s)C(s)-图4.12系统结构图第三十四页，共七十二页，2022年，8月28日4.3广义根轨迹1.参数根轨迹原系统特征方程即可改写为新系统等效开环传递函数为式中Ta*

=Ta相当于新系统的开环根轨迹增益。Ta变化时系统的根轨迹如图所示。第三十五页，共七十二页，2022年，8月28日4.3广义根轨迹1.参数根轨迹图4.14Ta变化时系统的根轨迹∞←TaTa=0Ta=1.8Ta变化反映了系统开环零点变化对系统性能的影响。当Ta很小时，一对共轭复数极点离虚轴很近，系统的阶跃响应有强烈的振荡，平稳性很差。第三十六页，共七十二页，2022年，8月28日4.3广义根轨迹1.参数根轨迹

当Ta加大时，两闭环极点离虚轴远，靠近实轴，系统的阻尼加强，振荡减弱，提高了平稳性。

当Ta再加大时，两闭环极点变为实数，系统处于过阻尼状态，阶跃响应具有非周期性。图4.14Ta变化时系统的根轨迹∞←TaTa=0Ta=1.8第三十七页，共七十二页，2022年，8月28日4.3.2多回路系统根轨迹前面介绍的单回路系统根轨迹的绘制方法，不仅适合单回路，而且也适合多回路系统，其思路和方法是先作内环根轨迹，再用幅值条件试探求出内环的闭环极点，进而作为外环的一部分开环极点，再画出外环的根轨迹。第三十八页，共七十二页，2022年，8月28日4.3广义根轨迹2.多回路系统根轨迹例4.11已知系统结构图如图4.15所示，试绘制该系统关于参数α的根轨迹。αsR(s)C(s)-图4.15具有两个反馈回路的系统-E(s)解系统的开环传递函数为系统的特征方程第三十九页，共七十二页，2022年，8月28日4.3广义根轨迹2.多回路系统根轨迹上式可改写为系统的特征方程若取K1不同的定值，取α为可变参数，画出系统的参数根轨迹图如图所示。由图可知，在α为有限值的情况下，系统总是稳定的。选择适当的α值，可使系统具有较好的相对稳定性。图4.16例4.11的根轨迹簇K1=2K1=4∞←αα=0α=0-j1j1第四十页，共七十二页，2022年，8月28日4.3广义根轨迹2.多回路系统根轨迹内环开环传递函数为例4.12已知双环反馈系统结构图如图4.17所示，试绘制以Kc为变量的根轨迹。R(s)C(s)-图4.17双回路反馈系统-解(1)作内环根轨迹第四十一页，共七十二页，2022年，8月28日4.3广义根轨迹2.多回路系统根轨迹内环根轨迹如图所示：内环开环传递函数第四十二页，共七十二页，2022年，8月28日4.3广义根轨迹2.多回路系统根轨迹(2)求出K*=1.06时的内环闭环极点(用试探法)s–2.2–2.3–2.32–2.34–2.36–2.38–2.4K*0.5290.8960.9801.061.161.251.34用试探法求出一个闭环实极点为s1=–2.34，然后再求一对共轭复数极点。长除法：解得s2,3=-0.33±j0.58根之和与积：设s2,3=σ±jω根之和：根之积：第四十三页，共七十二页，2022年，8月28日4.3广义根轨迹2.多回路系统根轨迹(3)内环的闭环传递函数(4)由内环的闭环传递函数得到外环的开环传递函数(5)外环(系统)的根轨迹绘制多回路反馈控制系统的根轨迹的方法是从内环开始，分层绘制，逐步扩展到整个系统。第四十四页，共七十二页，2022年，8月28日4.3正反馈回路的根轨迹前面介绍的绘制根轨迹的依据、法则，都适用于负反馈系统。对于正反馈，则需要对这些依据、法则进行修改。正反馈回路的特征方程幅值条件相角条件(与负反馈系统相同)(0o根轨迹)第四十五页，共七十二页，2022年，8月28日4.3广义根轨迹3.正反馈回路的根轨迹法则三：实轴上的根轨迹为所在线段的右侧有偶数个开环零极点。法则四：根轨迹渐进线的倾角为法则六：根轨迹的出射角与入射角分别为法则七：在分离点处根轨迹各分支之间的夹角仍为180o/l。第四十六页，共七十二页，2022年，8月28日4.3广义根轨迹3.正反馈回路的根轨迹例设一反馈系统的内回路为正反馈，其内环结构图如图所示，试绘制内回路的根轨迹。+解两条根轨迹分支，分别起始于两个开环极点-1±j，终止于s平面无穷远处。因为实轴上无开环零、极点，所以整条实轴是根轨迹。渐进线倾角渐进线交点第四十七页，共七十二页，2022年，8月28日4.3广义根轨迹3.正反馈回路的根轨迹(4)开环极点-1＋j的出射角(5)分离点由dK*/ds=0，可求出s1=-1。根轨迹图第四十八页，共七十二页，2022年，8月28日4.3广义根轨迹3.正反馈回路的根轨迹例设一非最小相位系统如图所示，试绘制其根轨迹。-解将开环传递函数写成标准形式根轨迹方程该系统的根轨迹必须按零度根轨迹的绘制法则进行绘制。系统的根轨迹图如图所示。第四十九页，共七十二页，2022年，8月28日二重根二重根4.3广义根轨迹3.正反馈回路的根轨迹第五十页，共七十二页，2022年，8月28日4.4根轨迹在系统分析中的应用1.闭环零极点的分布对系统性能的影响2.暂态响应性能分析3.增加开环零极点对根轨迹形状的影响首页第五十一页，共七十二页，2022年，8月28日4.4.1闭环零极点的分布对系统性能的影响利用根轨迹得到闭环零极点在s平面的分布情况，就可以写出系统的闭环传递函数，进行系统性能分析。下面以系统的单位阶跃响应为例，考查闭环零极点的分布对系统性能影响的一般规律。第五十二页，共七十二页，2022年，8月28日4.4根轨迹在系统分析中的应用1.闭环零极点的分布对系统性能的影响单位阶跃响应单位阶跃响应其中，A0、Ai取决于系统闭环零极点的分布。闭环传递函数第五十三页，共七十二页，2022年，8月28日4.4根轨迹在系统分析中的应用1.闭环零极点的分布对系统性能的影响(1)稳定性欲使系统稳定工作，系统的根轨迹必须位于s平面的左半部。(2)运动形态设系统不存在闭环偶极子，闭环实极点对应的根轨迹位于实轴上，则对应的时间响应一定是单调的；闭环复数极点对应的时间响应是有振荡的。(3)平稳性欲使系统响应平稳，系统的闭环复数极点的阻尼角应尽可能地小。兼顾系统响应的快速性，闭环主导极点的阻尼角一般取45o左右。(4)快速性欲使系统具有好的响应快速性，闭环极点应远离虚轴，或用闭环零点与虚轴附近的闭环极点构成闭环偶极子。第五十四页，共七十二页，2022年，8月28日4.4.2暂态响应性能分析闭环系统暂态响应的性能由闭环传递函数的零极点确定，而闭环系统的零极点可由根轨迹法确定。当系统存在一对主导极点时，可以用低阶系统来近似估算高阶系统的暂态性能。第五十五页，共七十二页，2022年，8月28日4.4根轨迹在系统分析中的应用2.暂态响应性能分析例4.15已知某天线伺服系统结构图如图4.25所示，系统开环传递函数为试用根轨迹法分析系统的性能。θi(t)θo(t)-图4.25伺服系统方框图KeKfGm(s)n误差检测装置放大器伺服电机齿轮装置θe(t)第五十六页，共七十二页，2022年，8月28日4.4根轨迹在系统分析中的应用2.暂态响应性能分析(1)系统是稳定的。解作根轨迹图如图所示。-3.050-j2-j4-j6-j8j2j4j6j8jωσs12s11s21s22β(2)系统的瞬态性能指标当Kf=80时，由根轨迹图可得系统闭环极点。设s11=-1.53+jωdω8.08.28.348.358.368.388.4K*66.369.671.972.072.272.672.9利用幅值条件，通过试探法求得闭环极点为s11=-1.53+j8.35s12=-1.53-j8.35第五十七页，共七十二页，2022年，8月28日4.4根轨迹在系统分析中的应用2.暂态响应性能分析s11=-1.53+j8.35s12=-1.53-j8.35计算出性能指标为-3.050-j2-j4-j6-j8j2j4j6j8jωσs12s11s21s22β第五十八页，共七十二页，2022年，8月28日4.4根轨迹在系统分析中的应用2.暂态响应性能分析-3.050-j2-j4-j6-j8j2j4j6j8jωσs12s11s21s22β要求阻尼比ζ=0.32，试求放大器增益与性能指标。第五十九页，共七十二页，2022年，8月28日sys3=tf([1],[15860]);rlocus(sys3)4.4根轨迹在系统分析中的应用2.暂态响应性能分析例设单位负反馈系统的开环传递函数为试绘制系统的根轨迹，并分析K*=4时系统的性能。解(1)作根轨迹图如图所示。(2)根据幅值条件确定系统的零极点分布。第六十页，共七十二页，2022年，8月28日4.4根轨迹在系统分析中的应用2.暂态响应性能分析根据根轨迹的一些特殊点(如分离点、与虚轴交点)确定试探范围。s-1.8-1.9-2.0-2.1-2.2-2.3-2.4-2.5-2.6-2.7K*3.543.784.004.184.294.334.264.063.703.15当K*=4时，用试探法求得：s1=-2s2=-2.52当K*=4时，系统有两个闭环极点为负实数，而另两个则为共轭复数。0-3-2.3(K*=4.35)第六十一页，共七十二页，2022年，8月28日4.4根轨迹在系统分析中的应用2.暂态响应性能分析特征多项式为用长除法得由s2+0.48s+0.79=0解得另两个闭环复数极点为：S3,4=-0.24±j0.86(3)分析系统性能暂态性能s1和s2的实部分别为复数极点实部的8.3倍和10.5倍，则系统可简化为由主导极点S3,4所决定的二阶系统。第六十二页，共七十二页，2022年，8月28日4.4根轨迹在系统分析中的应用2.暂态响应性能分析开环传递函数为闭环传递函数为(传递系数不变)第六十三页，共七十二页，2022年，8月28日4.4根轨迹在系统分析中的应用2.暂态响应性能分析式中：ωn=0.89rad/s，ζ=0.27。系统的单位阶跃响应为：超调量峰值时间调节时间第六十四页，共七十二页，2022年