版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
第四章向量空间第一页,共二十页,2022年,8月28日第四章向量空间§1向量空间及其基、维数、坐标(续1)3.V2=例1.考察下列向量的集合是否为向量空间.4.n元齐次线性方程AX=0解向量全体的集合S.2.V1=是不是是第二页,共二十页,2022年,8月28日第四章向量空间§1向量空间及其基、维数、坐标(续2)定义2设V1,V2是两个向量空间,且V1
V2,则称V1为V2子空间.例2设L=L(α1,α2,...,αs)=
{k1α1+k2α2+...+ksαs|ki∈R,α
i∈Rn}则L为向量空间,且LRn即L为向量空间Rn的子空间,称其为由向量α1,α2,...,αs生成的子空间.第三页,共二十页,2022年,8月28日第四章向量空间§1向量空间及其基、维数、坐标(续3)定义3设向量空间V中一组向量
A0:α1,α2,...,αr满足:
称k1,k2,...,kr为向量α在A0这组基下的坐标1)α1,α2,...,αr线性无关;
α
=k1α1+k2α2+...+krαr,
2)
V中任意向量α均可由向量α1,α2,...,αr线性表示:则称α1,α2,...,αr为V的一组基,称V为r维向量空间(V的维数为r),记作:dimV=r.第四页,共二十页,2022年,8月28日第四章向量空间§1向量空间及其基、维数、坐标(续4)1.n维实向量全体的集合Rn2.V1=dimRn=n(任意n个线性无关的n维实向量均为Rn的一组基)为Rn的一组基ε2,ε3,…,εn为V1的一组基.dimV1=n-1第五页,共二十页,2022年,8月28日第四章向量空间§1向量空间及其基、维数、坐标(续5)3.n元齐次线性方程AX=0的解空间S.4.L=L(α1,α2,...,αs)={k1α1+k2α2+...+ksαs|ki∈R,αi∈Rn}方程的基础解系为S的一组基.dimS=n-R(A).α1,α2,...,αs的最大无关组为L的一组基.
dimL=R[α1
α2
...
αs]第六页,共二十页,2022年,8月28日第四章向量空间§1向量空间及其基、维数、坐标(续6)例3.R2中,分别求向量β
=(2,3)T在下列两组基下的坐标.解:β=2ε1+3ε2
∴β在基(I)下的坐标为2,3;又
β
=3α1-α2
∴β在基(II)下的坐标为3,-1.第七页,共二十页,2022年,8月28日第四章向量空间§2Rn中的内积标准正交基向量空间是几何空间的抽象.基是坐标系的抽象.性质:定义:n维向量几何空间的直角坐标系、两个向量的夹角、数量积、垂直、向量的长度等概念,均可推广到向量空间中来.的内积
(等号当且仅当α=0时成立)第八页,共二十页,2022年,8月28日第四章向量空间§2Rn中的内积标准正交基(续1)性质:定义向量α
的长度:||α||=1时,称α为单位向量.称为β的单位化向量(标准化向量).第九页,共二十页,2022年,8月28日第四章向量空间§2Rn中的内积标准正交基(续2)例1设α=kβ,求α的单位化向量α0.称为β的单位化向量(标准化向量).解:第十页,共二十页,2022年,8月28日第四章向量空间§2Rn中的内积标准正交基(续3)即对任意实数t,定理1证明:1)β≠0时,左式为t的二次函数f(t),f(t)=0至多只有一个实根.∴其判别式△=4(α,β)2-4(α,α)(β,β)≤02)β
=0时,等号成立.证毕.第十一页,共二十页,2022年,8月28日第四章向量空间§2Rn中的内积标准正交基(续4)(α,β)=0时,称α与β正交.零向量与任何向量正交.当α,
β均非零向量时,定义α与
β的夹角:定理1第十二页,共二十页,2022年,8月28日第四章向量空间§2Rn中的内积标准正交基(续5)定理2
设α1,α2,…,αs为两两正交的非零向量.则α1,α2,…,αs线性无关证明:设k1α1+k2α2+…+ksαs=0.两边与αi作内积,得:
∴ki=0,i=1,2,...,s.∴
α1,α2,…,αs线性无关.ki(αi,αi)=0,∵第十三页,共二十页,2022年,8月28日第四章向量空间§2Rn中的内积标准正交基(续6)定义:设α1,α2,…,αs是向量空间V的一组基,且两两正交,则称α1,α2,…,αs为V的一组正交基.若又有||αi||=1(i=1,2,…,s),则称α1,α2,…,αs为V的一组标准正交基.第十四页,共二十页,2022年,8月28日第四章向量空间§2Rn中的内积标准正交基(续7)Schmidt正交化方法设向量组A:α1,α2,…,αr线性无关,求与A等价的标准正交向量组.1.正交化:则β1,β2,…,βr两两正交....取第十五页,共二十页,2022年,8月28日第四章向量空间§2Rn中的内积标准正交基(续8)Schmidt正交化方法设向量组A:α1,α2,…,αr线性无关,求与A等价的标准正交向量组.2.标准化:(i=1,2,...,r)e1,e2,…,er即为所求标准正交向量组.令第十六页,共二十页,2022年,8月28日第四章向量空间§2Rn中的内积标准正交基(续9)定义:若n阶实矩阵A满足:ATA=E,则称A为正交矩阵.ATA=正交矩阵证:设A=(1)|A|2=1;(3)A的行(列)向量组为标准正交向量组.所以A的列向量两两正交且长度为1.=E性质:设A为正交矩阵,则(2)A-1=AT亦为正交矩阵;反之亦然.第十七页,共二十页,2022年,8月28日第四章向量空间§2Rn中的内积标准正交基(续10)则ATA=E,∴A为正交矩阵.(A*)TA*=(|A|A-1)T(|A|A-1)=证:A*=|A|A-1,例1设A为正交矩阵,则A*亦为正交矩阵.=E如A=|A|2AA-1∴A*亦为正交矩阵.第十八页,共二十页,2022年,8月28日第四章向量空间§2Rn中的内积标准正交基(续11)例2.设α为n维列向量,且αT
α=1,求实数k,使H=E-kα
αT为正交矩阵.解:E=HTH∴-2k+k2=0,k=2或k=0.第十九页,共二十页,2022年,8月28日第四章向量空间§3Rn上的线性变换则称T为Rn上的线性变换.称Y为X在T下的像.例设A=[aij]n×n,对任意X∈Rn,Y=T(X)=AX,则T为Rn上的一个线性变换(从X到Y的线性变换).定义:若对Rn中的任意向量X,按照某一确定规则T,Rn中总有唯一确定的向量Y与之对应.记为:Y=T(X).且满足:A
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 2025年新能源电池代加工合作协议书4篇
- 二零二五版压力罐安装工程风险评估与管理合同2篇
- 2025年度煤矿股权转让与新能源项目合作开发合同4篇
- 科学教育的新篇章小学生实践操作的重要性
- 提升员工安全意识安全演习不可或缺
- 科学补充蛋白质助力孕期妈妈健康成长
- 2025年度二零二五版门面装修工程环保验收合同范本文档4篇
- 专利技术独家转让合同 2024年版版
- 2025年环境卫生设施建设与维护协议3篇
- 智能机器人与宠物健康管理的结合应用研究
- 人教版(2025新版)七年级下册数学第七章 相交线与平行线 单元测试卷(含答案)
- GB/T 44351-2024退化林修复技术规程
- 从跨文化交际的角度解析中西方酒文化(合集5篇)xiexiebang.com
- 中药饮片培训课件
- 医院护理培训课件:《早产儿姿势管理与摆位》
- 空气自动站仪器运营维护项目操作说明以及简单故障处理
- 2022年12月Python-一级等级考试真题(附答案-解析)
- T-CHSA 020-2023 上颌骨缺损手术功能修复重建的专家共识
- Hypermesh lsdyna转动副连接课件完整版
- 小学六年级数学计算题100道(含答案)
- GB/T 7946-2015脉冲电子围栏及其安装和安全运行
评论
0/150
提交评论