第八章复氏变换

第八章复氏变换第一页，共六十四页，2022年，8月28日(一)傅里叶级数⑴在[a,b]上连续，或者只有有限个第一类间断点；⑵f(t)在[a,b]上只有有限个极值点。§8.1傅里叶变换的概念以T为周期的周期函数fT(t)，如果在上满足狄利克雷条件，即：那么在上fT(t)可以展成傅氏级数，在fT(t)的连续点处，级数的三角形式为：第二页，共六十四页，2022年，8月28日这种表示形式称为傅里叶级数的三角表示形式在fT(t)的间断点处：根据欧拉公式有：第三页，共六十四页，2022年，8月28日这种表示形式称为傅里叶级数的复指数表示形式第四页，共六十四页，2022年，8月28日其中w0称为基频，An称为振幅，qn称为相位因此cn称为离散频谱，|cn|称为离散振幅谱，argcn称为离散相位谱且常记F(nw0)=cn第五页，共六十四页，2022年，8月28日解:当n=0时当n≠0时,例1设fT(t)是以T=2p为周期的函数,且在区间[0,2p]上fT(t)=t,将fT(t)展开为指数形式的Fourier级数第六页，共六十四页，2022年，8月28日例2求以T为周期的函数0,-T/2<t<0,2,0<t<T/2fT(t)=指数形式的Fourier级数和它的离散频谱.解:当n=0时当n≠0时,0,当n为偶数,=-2j/np,当n为奇数第七页，共六十四页，2022年，8月28日fT(t)指数形式的Fourier级数为1,n=0,2/np,n=±1,±3,振幅谱为|F(nw0)|=0,n=±2,±4,0,n=0,±2,±4,p/2,n=-1,-3,-5,相位谱为argF(nw0)=-p/2,n=1,3,5,第八页，共六十四页，2022年，8月28日任何一个非周期函数f(t)都可以看成由某个周期函数fT(t)当T→+∞时转化而来的。根据积分的定义，上式为(二)傅里叶积分第九页，共六十四页，2022年，8月28日这个公式称为函数f(t)的傅里叶积分公式定理(傅氏积分定理)：如果f(t)在(-∞,+∞)上的有限区间满足狄氏条件，且在(-∞,+∞)上绝对可积，则傅氏积分成立。在f(t)的间断点处：复数形式(三)傅里叶变换第十页，共六十四页，2022年，8月28日定义：左式为傅里叶变换，其中函数F(w)称为的f(t)像函数，记为F(w)=F[f(t)]；右式为傅里叶逆变换，其中函数f(t)称为F(w)的像原函数，记为f(t)=F-1[F(w)]称F(w)为频谱密度函数(简称频谱或连续频谱)称|F(w)|为振幅谱，argF(w)为相位谱例3求矩形脉冲函数1,|t|≤

d,0,|t|>df(t)=的傅氏变换及傅氏逆变换.解:第十一页，共六十四页，2022年，8月28日1,|t|<d,=1/2,|t|=d,0,|t|>d.argF(w)=0p第十二页，共六十四页，2022年，8月28日例4求函数的傅氏变换.1+t,-1<t<0,1-t,0<t<1f(t)=0,|t|>1解:第十三页，共六十四页，2022年，8月28日§8.2单位脉冲函数(δ函数)(1)满足下列两个条件的函数称为(狄拉克)δ函数(2)普通函数极限形式的定义其中(一)d函数的定义(二)d函数的性质(1)筛选性质第十四页，共六十四页，2022年，8月28日(2)d函数为偶函数,即d(-t)=d(t)(3)设u(t)为单位阶跃函数,1,t>0,0,t<0u(t)=即若f(t)在t0为连续函数，则t0=0时，则例5求出单位脉冲函数的傅氏变换及逆变换解:根据d函数的筛选性质=1第十五页，共六十四页，2022年，8月28日(三)

d函数在积分变换中的作用狭义傅氏变换：狄利克雷条件下满足绝对可积的非周期性函数进行的变换(2)广义傅氏变换：狄利克雷条件下的傅氏变换(3)d函数是一个广义函数，其傅氏变换是广义的(4)许多重要的函数，如常函数、单位阶跃函数、符号函数、正弦函数、余弦函数等都可以利用δ函数而得到例6分别求函数f1(t)=1与的傅氏变换解：第十六页，共六十四页，2022年，8月28日证：例7证明单位阶跃函数的傅氏变换为1,t>0,0,t<0u(t)=第十七页，共六十四页，2022年，8月28日1,t>0,0,t<0u(t)=即f(t)=1,t>0,例8求符号函数的傅氏变换-1,t<0sgn(t)=第十八页，共六十四页，2022年，8月28日解:由sgn(t)=2u(t)-1有例9求正旋函数f(t)=sinw0t的傅氏变换解：第十九页，共六十四页，2022年，8月28日一些基本函数的傅氏变换：(1)矩形脉冲函数：1,|t|≤a,0,|t|>af(t)=(2)单边衰减指数函数：e-at,t≥0,0,t<0f(t)=(a>0)第二十页，共六十四页，2022年，8月28日(3)单位阶跃函数：1,t>0,0,t<0u(t)=(4)其它函数：第二十一页，共六十四页，2022年，8月28日§8.3傅里叶变换的性质1.线性性质。

(一)基本性质设，，a和b为常数，例9求f(t)=sin2t的傅式变换解:第二十二页，共六十四页，2022年，8月28日2.位移性质证明：令t±t0=u例10设F[f(t)]=F(w),求F[f(t)sinw0t]第二十三页，共六十四页，2022年，8月28日若，则证明:令x=at,则当a>0时,当a<0时,3．相似性质解:由线性性质再由位移性质第二十四页，共六十四页，2022年，8月28日例11设F[f(t)]=F(w),求F[f(2t

-3)]

解2:令f(2t)=g(t),记F[g(t)]=G(w),由相似性质有再由位移性质有解1:令f(t-3)=g(t),记F[g(t)]=G(w),由位移性质有再由相似性质有第二十五页，共六十四页，2022年，8月28日

4.微分性质

证明:第二十六页，共六十四页，2022年，8月28日5.象函数的微分性质一般地，有证明:F(w)已知时,求tnf(t)的傅氏变换第二十七页，共六十四页，2022年，8月28日例12已知F[f(t)]=F(w),求函数的傅氏变换.再由象函数的微分性可得解:由相似与微分性质有第二十八页，共六十四页，2022年，8月28日例13已知函数e-bt,t≥0,0,t<0f(t)=求F[tf(t)]及F[t2f(t)]解:指数衰减函数由象函数的微分性质有第二十九页，共六十四页，2022年，8月28日证明:而根据微分性质:6.积分性质第三十页，共六十四页，2022年，8月28日证明:7.能量积分

该等式又称为帕塞瓦尔(Parseval)等式。

第三十一页，共六十四页，2022年，8月28日由能量积分公式有例14解:由例8.2,有f(t)=1/2|t|≤10|t|>1第三十二页，共六十四页，2022年，8月28日一、卷积的定义二、卷积的性质若已知函数f1(t)，f2(t)，且积分收敛,则该积分称为函数f1(t)与f2(t)的卷积，记为f1(t)*f2(t)，即(二)卷积与卷积定理第三十三页，共六十四页，2022年，8月28日三、卷积定理例16求下列函数的卷积,其中a>0,b>0,且a≠be-at,t≥0,0,t<0f(t)=e-bt,t≥0,0,t<0g(t)=解:由定义有t1f(t)t1tg(t-t)第三十四页，共六十四页，2022年，8月28日证明:第三十五页，共六十四页，2022年，8月28日证明:第三十六页，共六十四页，2022年，8月28日如果，证明例15证明:当g(t)为一般情况时,由于故令g(t)=f(t)*u(t)根据卷积定理,有第三十七页，共六十四页，2022年，8月28日第三十八页，共六十四页，2022年，8月28日例17求下列函数的卷积f(t)=t2u(t)1,|t|≤1,0,|t|>1g(t)=0,t<0故f(t)*g(t)=经分析由图可得第三十九页，共六十四页，2022年，8月28日解：由图可知：当t<-1时f(t)*g(t)=0当-1≤t≤1时，当

t>1时，tf(t)ttt+1t-1第四十页，共六十四页，2022年，8月28日例18设f(t)=e-btu(t)cosw0t(b>0),求F[f(t)].解:由卷积定理有而第四十一页，共六十四页，2022年，8月28日作业P211T8.6T8.11T8.12T8.14T8.16第四十二页，共六十四页，2022年，8月28日考试十道填空40分六道计算60分第四十三页，共六十四页，2022年，8月28日重点第二章:(1)偏积分法、线积分法求共轭调和函数第四章:(1)常用函数的级数展开(2)能将函数展开成泰勒级数与洛朗级数第三章:利用柯西积分公式和高阶导数公式计算(2)傅氏变换的性质与卷积定理(1)一些常用函数的傅氏变换第八章:(2)对数函数、幂函数、三角函数第四十四页，共六十四页，2022年，8月28日答疑十一月29日(下周一)上午8:30—11:301009第四十五页，共六十四页，2022年，8月28日筛选性质偶函数线性性质位移性质相似性质微分性质积分性质能量积分卷积定理基本性质d函数卷积傅氏变换傅氏积分公式傅氏逆变换傅氏级数内容主要第四十六页，共六十四页，2022年，8月28日解:由sgn(t)=2u(t)-1有6.求下列函数的傅氏变换.1,t>0,-1,t<0(1)sgn(t)=(2)

f(t)=costsint解1:第四十七页，共六十四页，2022年，8月28日(3)

f(t)=sin3t解2:再由d函数的筛选性质得解见教材例8.7,8.9解1:第四十八页，共六十四页，2022年，8月28日解2:再由线性性质得解第四十九页，共六十四页，2022年，8月28日解1:解2:第五十页，共六十四页，2022年，8月28日解3:令f(t)=sint,则d函数尺度变换性质第五十一页，共六十四页，2022年，8月28日d函数乘时间函数的性质11.解1:第五十二页，共六十四页，2022年，8月28日=cosw0t解2:第五十三页，共六十四页，2022年，8月28日12.求下列函数的傅氏积分变换解:0,t<0,1,t≥0f1(t)=0,t<0,e-t,t≥0f2(t)=14.设第五十四页，共六十四页，2022年，8月28日求f1(t)*f2(t)解1:

f1(t)*f2(t)当t<0时,f1(t)*f2(t)=0当t

≥

0时,

f1(t)*f2(t)=1-e-t0,t≤0故f1(t)*f2(t)=1-e-tt>01ttt1f1(t)f2(t-t)第五十五页，共六十四页，2022年，8月28日解2:由卷积交换律有f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)1ttt1f1(t-t)f2(t)当t≤0时,f2(t)*f1(t)=0当t

>0时,

f2(t)*f1(t)=1-e-t16.求下列函数的傅氏变换.第五十六页，共六十四页，2022年，8月28日解:解2:由卷积定理有第五十七页，共六十四页，2022年，8月28日第五十八页，共六十四页，2022年，8月28日由象函数的微分性质有:由位移性质有:解(2)解2:由卷积定理有第五十九页，共六十四页，2022年，8月28日第六十页，共六十四页，2022年，8月28日jingle