高等数学-函数与极限-教案

--PAGE10-第一章 函数与极限教学目的：1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。4、掌握基本初等函数的性质及其图形。5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。6、掌握极限的性质及四则运算法则。7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。9、理解函数连续性的概念〔含左连续与右连续〕，会判别函数间断点的类型。10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质〔有界性、最大值和最小值定理、介值定理〕，并会应用这些性质。教学重点：1、复合函数及分段函数的概念；2、基本初等函数的性质及其图形；3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、两个重要极限；5、无穷小及无穷小的比较；6、函数连续性及初等函数的连续性；7、区间上连续函数的性质。教学难点：1、分段函数的建立与性质；2、左极限与右极限概念及应用；3、极限存在的两个准则的应用；4、间断点及其分类；5、闭区间上连续函数性质的应用。§1.1 映射与函数一、集合集合概念集合(简称集):集合是指具有某种特定性质的事物的总体.用A,B,C….等表示.元素:组成集合的事物称为集合的元.a是集合M的元素表示为a M.集合的表示:列举法:把集合的全体元素一一列举出来.例如A{a,b,c,d,e,f,g}.描述法:假设集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成,则M可表示为A{a1,a2,,an},M{x|x具有性质P}.例如M{(x,y)|x,y为实数,x2y21}.几个数集:N表示所有自然数构成的集合,称为自然数集.N{0,1,2,,n,}.N{1,2,,n,}.R,.Z,.Z{,n,,2,1,0,1,2,,n,}.Q表示所有有理数构成的集合,称为有理数集.pQ{ pq

pZ,qN且p与q}子集:xA,xB,AB,AB(AB)或BA.AB,ABBA,AB,AB.假设AB且B,则称A是B,记作AB.,NZQR.不含任何元素的集合称为空集,记作.规定空集是任何集合的子集.集合的运算B,ABAB集(),AB,即AB{x|xA或xB}.B,ABAB集(),AB,即AB{x|xA且xB}.B,ABAB集(),A\B,即A\B{x|xA且xB}.如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I中进行,所研究的其他集合A都是I的子集.此时,我们称集合I为全集或基本集.称I\A为A的余集或补集,记作AC.集合运算的法则:、、C,则(1)ABBA,ABBA;(2)结合律(AB)CA(BC),(AB)CA(BC);(3)分配律(AB)C(AC)(BC),(AB)C(AC)(BC);(4)对偶律(AB)CACBC,(AB)CACBC.(AB)CACBC的证明:x(AB)CxABxAxBxACxBCxACBC,所以(AB)CACBC.直积(笛卡儿乘积):A、B,Ax,B中任意取一个元y,(x,y),,AB,AB,即AB{(x,y)|xAyB}.RR{(xy)|xRyRxOyRRR2.有限区间:设a<b,称数集{x|a<x<b}为开区间,记为(a,b),即(a,b){x|a<x<b}.类似地有[a,b]{x|axb}称为闭区间,[a,b){x|ax<b}、(a,b]{x|a<xb}称为半开区间.ab(a、[ab]、[ab)、(ab]ba.无限区间:[a,){x|ax},(,b]{x|x<b},(,){x||x|<}.区间在数轴上的表示:邻域:aa,U(a).设,a的,U(a),即U(a,){x|a<x<a}{x||xa|<}.a.去心邻域a,):二、映射

a,x|0|a|}映射的概念Y,f,Xx,按法则f,Yy,fXY,记作f:XY,其中y称为元素x(在映射f下)的像,并记作f(x),即yf(x),而元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像;集合X称为映射f的定义域,记作Df,即DfX;X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域,记为Rf,或f(X),即Rff(X){f(x)|xX}.需要注意的问题::X,DfX;Y,即值域的范围:RfY;f,xX,yf(x).xX,xy;yRf,y的原像不一定是唯一的;fRfY,RfY,RfY.1f:RR,xR,f(x)x2.,f,fDfR,Rf{y|y0},R.对于Rf中的元素y,除y0外,它的原像不是唯一的.如y4的原像就有x2和x2两个.2X{(x,y)|x2y21},Y{(x,0)||x|1},f:XY,(x,y)X,(x,0)Y.显然f是一个映射,f的定义域DfX,值域RfY.在几何上,这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间[1,1]上., , (3)f:[ [1,1],对每个x[, ,

,f(x)sinx.2 2 2 2f是一个映射,定义域D满射、单射和双射:

[ , f 2 2,

,R

[1,1].fXY,RfY,YyX中某元素的像,fXY;Xx1x2,f(x1)f(x2),fXY的单射;f,,f或双射).上述三例各是什么映射？逆映射与复合映射fXY,,yRf,xX,f(x)y,于是,我RfXg,即g:RfX,yRf,g(y)x,xf(x)y.gf,f1,其定Df1Rf,Rf1X.,.设有两个映射g:XY1, f:Y2Z,其中Y1Y2.则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则,它将每个xX映射成f[g(x)]Z.显然,这个对应法则确定了一个从X到Z的映射,这个映射称为映射g和f构成的复合映射,记作fog,即fog:XZ,(fog)(x)f[g(x)],xX.应注意的问题:gf:gRg必须包含在f,RgDf.否则,.,gf,foggof.foggof,foggof.例4设有映射g:R[1,1],对每个xR,g(x)sinx,1u2映射f:[1,1][0,1],对每个u[1,1], f(u)1u2则映射g和f构成复映射fog:R[0,1],对每个xR,有(f g)(x)f[g(x)]f(sinx) 1sin2x|cosx|.三、函数函数概念定义设数集DR,则称映射f:DR为定义在D上的函数,通常简记为yf(x),xD,其中x称为自变量,y称为因变量,D称为定义域,记作Df,即DfD.应注意的问题:记号ff(x),前者表示自变量x和因变量y,而后者表示与自变量x.,),=),xDD,f.函数符号:函数yf(x)中表示对应关系的记号f也可改用其它字母,例如“F”,“”等.此时函数就记作y(x),yF(x).函数的两要素:,其值域总在R内,因此构成函数的要素是定义域Dff.,,的,.函数的定义域:函数的定义域通常按以下两种情形来确定:一种是对有实际背景的函数,根据实际背景中变量的实际意义确定.x24yx24x

的定义域.要使函数有意义,必须x0,且x240.解不等式得|x|2.所以函数的定义域为D{x||x|2},或D(,2][2,]).单值函数与多值函数:xD,y,值函数.如果给定一个对应法则,按这个法则,对每个xD,总有确定的y值与之对应,y,.,xy之间x2y2r2给出.,x[r,r]x2y2r2,可确定出对应y值,xrxr时,y0;x取,r),y有两个值..r2x2对于多值函数,往往只要附加一些条件,就可以将它化为单值函数,这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支.例如,在由方程x2y2r2给出的对应法则中,r2x2的条, 即“222且作为对应法,就可得到一个单值分支yy1

;附加“y0”的条件,即以“x2y2r2且y0”作为对应法则,就可得到另一个单值分支r2x2yy(r2x22表示函数的主要方法有三种:表格法、图形法、解析法(公式法),这在中学里大家已经熟悉.其中,用图形法表示函数是基于函数图形的概念,即坐标平面上的点集{P(x,y)|yf(x),xD}称为函数yf(x),xD的图形.图中的Rf表示函数yf(x)的值域.函数的例子:.函数y|x

x x0.x x0.D(),Rf[0,).1 x0.ysgnx0x01x0称为符号函数.其定义域为D(,),值域为Rf{1,0,1}.例设x为任上实数.不超过x的最大整数称为x的整数部分,记作[x].函数y[x]称为取整函数.其定义域为D(,),值域为RfZ.[5]0,[ 2]1,[]3,[1]1,[3.5]4.7分段函数:在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数.例。函数y

0x1.x1x x1x这是一个分段函数,其定义域为D[0,1](0,)[0,).x当0x1时, y2 ;当x>1时,y1x.x12f 例如( )12f 2

; f

2;f(3)134.21函数的几种特性21f(x)D,XD.K1,xX,f(x)K1,则f(x)X,K1X.的图yK1.如果存在数K2,使对任一xX,有f(x)K2,则称函数f(x)在X上有下界,而称K2为函数f(x)在X上的一个下界.图形特点是,函数yf(x)的图形在直线yK2的上方.M,xX,有|f(x),f(x)X;如果这样M,f(x)X.,yf(x)yM和yM.函数f(x)无界,就是说对任何M,总存在x1X,使|f(x)|>M.例如f(x)sinx在(,:|sinx|1.f(x1x

在开区间(0,1)内是无上界的.或者说它在(0,1)内有下界,无上界.,M>1,

:0

11,使f(x)1M,

1 1 M1 x1.f(x1x

在(1,2)内是有界的.函数的单调性设函数yf(x)的定义域为D,区间ID.如果对于区间I上任意两点x1及x2,当x1<x2时,恒有f(x1)<f(x2),则称函数f(x)在区间I上是单调增加的.如果对于区间I上任意两点x1及x2,当x1<x2时,恒有f(x1)>f(x2),则称函数f(x)在区间I上是单调减少的.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.函数单调性举例:函数yx2在区间(,0]上是单调增加的,在区间[0,)上是单调减少的,在〔,〕上不是单调的.函数的奇偶性设函数f(x)的定义域D关于原点对称(即假设xD,则xD).如果对于任一xD,有f(x)f(x),则称f(x)为偶函数.如果对于任一xD,有f(x)f(x),则称f(x)为奇函数.偶函数的图形关于y轴对称,奇函数的图形关于原点对称,奇偶函数举例:yx2,ycosx都是偶函数.yx3,ysinx都是奇函数,ysinxcosx是非奇非偶函数.函数的周期性设函数f(x)的定义域为D.如果存在一个正数l,使得对于任一xD有(xl)D,且f(xl)f(x)则称f(x)为周期函数,l称为f(x)的周期.:,l,.反函数:设函数f:Df(D)是单射,则它存在逆映射f1:f(D)D,称此映射f1为函数f的反函数.按此定义,对每个yf(D),有唯一的xD,使得f(x)y,于是有f1(y)x.这就是说,反函数f1的对应法则是完全由函数f的对应法则所确定的.一般地,yf(x),xD的反函数记成yf1(x),xf(D).fD,f:Df(D),ff1,f1f(D).相对于反函数yf1(x)来说,原来的函数yf(x)称为直接函数.把函数yf(x)和它的反函数yf1(x),这两个图形关于直线yx.这是因为如果P(a,b)yf(x),bf(a).,af1(b),Q(b,a)yf1(x);反之,假设Q(b,a)是yf1(x),则P(a,b)是yf(x).而P(a,b)与Q(b,a)是关于直线yx对称的.复合函数:复合函数是复合映射的一种特例,按照通常函数的记号,复合函数的概念可如下表述.yf(u)D1,ug(x)Dg(D)D1,则由下式确定的函数

yf[g(x)],xD称为由函数ug(x)和函数yf(u)构成的复合函数,它的定义域为D,变量u称为中间变量.函数g与函数f构成的复合函数通常记为fg,即(fg)f[g(x)].gffg:gDg(D)fDf内,g(D)Df.,.x2例,yf(u)arcsinu,的定义域[1,1], ugx2

D

3

3,1]2 2,g(D)[1,1],gf可构成复合函数x2yarcsin2 ,x2yarcsinuu2x2,xR,u2x2均不在yarcsinu[1,1]内.多个函数的复合:函数的运算设函数f(x),g(x)的定义域依次为D1,D2,DD1D2,则我们可以定义这两个函数的以下运算:和(差)fg:(fg)(x)f(x)g(x),xD;积fg: (fg)(x)f(x)g(x),xD;商f: (

)(x)

f(x)

,xD\{x|g(x)0}.g g g(x)例11设函数f(x)(l,l),(l,l)上的偶函数g(x)及奇函数h(x),使得f(x)g(x)h(x).分析如果f(x)g(x)h(x),则f(x)g(x)h(x),于是g(x)1[f(x)f(x)], h(x)1[f(x)f(x)].2 2证作g(x)1[f(x)f(x)], h(x)1[f(x)f(x)],则f(x)g(x)h(x),2 2且 g(x)1[f(x)f(x)]g(x),2h(x)1[f(x)f(x)]1[f(x)f(x)]h(x).2 2初等函数:yx(R);:yax(a0a1);y对数函: logya

x(a0且a1,特别当ae时,记为ylnx);三角函数:ysinx,ycosx,ytanx,ycotx,ysecx,ycscx;反三角函数:yarcsinx,yarccosx,yarctanx,yarccotx.初等函数:由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.例如x2cotx2yy=ch11y=shx2cotx2yy=ch11y=shxy=1ex2y=1e-x2Ox-1等都是初等函数.双曲函数::shxexex;2双曲余: chxexex;2双曲正: thxshxexex.chx exex双曲函数的性质:sh(xy)shxchychxshy;ch(xy)chxchyshxshy.ch2xsh2x1;sh2x2shxchx;ch2xch2xsh2x.下面证明sh(xy)shxchychxshy:

yy=thxO xshxchychxshyexexeyey

exexeyey2 2 2 2exyeyxexye(xy)exyeyxexye(xy)4 4exye(xy)2反双曲函数:

sh(xy).双曲函数yshx,ychx(x0),ythx的反函数依次为反双曲正弦:yarshx;:yarchx;:yarthx.yarshx是xshy的反函数,因此,从xeyey2中解出y来便是arshx.令uey,则由上式有u22xu10.这是关于u的一个二次方程,它的根为x21uxx21因为uey0,故上式根号前应取正号,于是x21uxx21由于ylnu,故得yarshxln(x x21).函数yarshx的定义域为(,),它是奇函数,在区间(,)内为单调增加的.类似地可得yarchxln(x x21), yarthx1ln1x.2 1x一个实际问题

§12 数列的极限如可用渐近的方程法求圆的面积？

；再作内接正八边形它的面积记123AA一般把内接正238×2n1边形的面积记为An这样就得到一系列内接正多边形的面积A1A2A3Annnn这个过程中内接正多边形无限接近于圆同时An也无限接近于某一确定的数值确定的数值就理解为圆的面积这个确定的数值在数学上称为上面有次序的数〔数列〕A1A2A3An当n时的极限nxn到一列有次序的数x1x2x3xn记为{xn}nxn{ n } 1 2 3 n n1

2 3

n1{2n2482n{1} 1 1 1

2n 2 4 8 2n{(1)n1111(1)n1{n(1)n1

}

1 4

n(1)n1

n 2 3n 1

nn(1)n1它们的一般项依次为n1

2n

(1)n1 2n n2数列的几何意义数列{xn}可以看作数轴上的一个动点它依次取数轴上的点x1x2x3xn数列与函数数列{xn}可以看作自变量为正整数n的函数xnf(n)它的定义域是全体正整数数列的极限n n {xnx无限aa{x{x}an n limxa如果数列没有极限就说数列是发散的n

n例如lim

n 1

10

lim

n(1)n11nn1 n2n而{2n}{(1)n1}是发散的对无限接近的刻划

n nn x无限接近于a等价于|xa|无限接近于0n 极限的精确定义nn定义{xaNn>Nx不等式nnn|xa|<nn 都成立则称常数a是数列{x}的极限或者称数列{x}收敛于an limxa

a(n)n nn如果数列没有极限就说数列是发散的limlimxa0,NNnN时有|xa|.nnn数列极限的几何解释例题1

n(1)n11n n分析|x1||n(1)n11|1.n n n对于>0要使|x1|只要1即n1n n 证明0,N[1NnN有|x1||n(1)n11|1n n n所以limn(1)n11n n2

(1)n

0n(n1)2分析|x

0|

0|

1 1 n n1对于0要使|x

0|只要1 即n11nn1 n证明因为0N[11]N当nN时有0||0| 1 1 n n1所以lim(1)n0n(n1)2例3设|q|<1证明等比数列1qq2qn1的极限是0分析对于任意给定的>0要使n|x0||qn10||q|n1<n只要n>log|q|1就可以了故可取N[log|q|1]。证明因为对于任意给定的>0存在N[log1]|q|当nN时有|qn10||q|n1<所以limqn10n收敛数列的性质定理极限的唯一) 数列{xn}不能收敛于两个不同的极证明假设同时有limxa及limx

ba<bnn nn按极限的定义对于ba>0存在充分大的正整数N2使当n>N时同时有a|<ba 及b|<ban 2 n 2因此同时有x

ba

ban 2 n 2这是不可能的所以只能有a=bn 数列的有界 对于数x}，如果存在着正数M，使得对一切x都满n n|x|Mnn则称数列{x}是有界的如果这样的正数M不存在，就说数列nn{x}是无界的n定理收敛数列的有界) 如果数{xn}收那么数{x一定有n}aNnn使对于n>N时的一切x不等式n|xna|<1都成立于是当n>N时n n |x||(xa)a||xa||a|<1|a|n n nnn取Mmax{|x1| 2|N1|a那么数nnn

}

都满足不等式|x

|Mn这就证明了数列{x}是有界的nn3){xa,a0(a0)那么存在正整数nn N当nN时有x0(或x0)n a证就a0的情形证明由数列极限的定义对20,NN,当nN时有a|xa| |n 2从而a axa 0n 2 2n n 推论如果数列{xn}从某项起有x0(或x0)且数列{x}收敛于a那么a0(或an n 证明就x0情形证设数{x从N项即当nN 时有

0现在用反证法n n 1 1 nna03N2N,nN2x0Nmax{N1N2}nNn时按假定有xn0按定理3有xn0这引起矛盾所以必有a0.nn子数列 在数列{x}中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序样得到的一个数列称为原数{x}的子数nn例如数列{x}1111(1)n1的一子数列为{x

}(1)2n1n 定理收敛数列与其子数列间的关) 如果数

2n}收敛于a那么它的任一子数n列也收敛且极限也是a证明设数列{x }是数

}的任一子数列n nkn 因为数{x}收敛于a所>0 NN+当nN有a|n 取KN则当kKnkKN于|x a|k nkn这就证明了limx ank k讨论10NnN有|xna|0xna(n)2如果数列{xn}收敛那么数列{xn}一定有界?有界的数?3数列的子数列如果发 原数列是否发?数列的两个子数列收但其极限 原数列的收敛性如?发散的数列的子数列都发散吗？4．如何判断数列1111(1)N1是发散的？§13 函数的极限函数的自变量有几种不同的变化趋势x无限接近x0xx00xx0(x0)x0xx0xx0(x0)x0xx0x的绝对值|x|无限增大xx无限增大x无限增大1．自变量趋于有限值时函数的极限通俗定义如果当x无限接近于x0函数f(x)的值无限接近于常数A则称当x趋于x0时f(x)以A为极限记作limf(x)A或f(x)A(当xx0)xx0分析在xx0的过程 f(x)无限接近于A就|f(x)A|能任意或者在x与x0比方)|f(x)A|)0即f(x)A|xx(000为某一正数)就有|f(x)A|则能保证当xx时f(x)无限接近于A01f(x)x0A对于任意给定0x0<|xx时对应的函数0值f(x)都满足不等式 |f(x)A|那么常数A就叫做函数f(x)当xx0时的极限记为limf(x)Af(x)A(xx0)xx0limf(limf(x)A0|xx时|f(x)A|xx00函数极限的几何意义:例1证明limccxx0证明这里|f(x)A||cc|00因为0可任取0当0|xx|时有0|f(x)A||cc|0所以limccxx02limxxxx 000 分析|f(x)A||xx|因此0要使|f(x)A|只要xx|0 00|xx0

|时有|f(x)A||xx

|所以limxx0xx 0003证明1x1分析|f(x)A||(2x1)1|2|x1||f(x)A|只要|x2证明因为0/22

当0|x1|时有|f(x)A||(2x1)1|2|x1|所以lim(2x1)1x14证明limx212x1x1分析注意函数在x1是没有定义的但这与函数在该点是否有极限并无关系当x1时|f(x)A||x212||x1|0要使|f(x)A|只要|x1|x1证明因为0当0|x1|时有|f(x)A||x212||x1|x1所以limx212x1x1单侧极限yyx11x1yx10 假设当xx时f(x)yyx11x1yx10 限记为limxx0

f(x)A或f(x0)AxxA则常0数A 叫做函数f(x)当xx0时的右极限 记为x xlim f(xAfx0)x x0讨论1左右极限的定义如何表达?2当xx0时函数的左右极限与当xx0时函-18---PAGE20-数f(x)的极限之间的关系怎样?--定义：lim

f(x)A0x

xx有|f(x)A|<xx0lim

0f(x)A0xx

0xx有|f(x)A|<xx0limf(x)A

0f(x)Alim

0f(x)Axx0

xx0x1 x

xx0例5 函数f(x)0 x0当x0时的极限不存x1 x0这是因为limf(x)lim(x1x0 x0limf(x)lim(xx0 x0limf(x)limf(x)x0 x02．自变量趋于无穷大时函数的极限f(x)当总存在X使得当x|x|>Xf(x)都满足不等式|f(x)A|<则常数A叫做函数f(x)当x时的极限记为limf(x)Af(x)A(x)xlimlimf(x)A0X0当|x|X时有|f(x)A|x类似地可定义

limf(x)A和limf(x)Ax x结论 limf(x)Alimf(x)A且limf(x)Ax x x极限limf(x)A的定义的几何意义xyyAAyf(x)AXOXx例6证明lim10xx分析 |f(x)10|1

0要使|f(x)A|只要|x|1x |x|证明因为0X10当|x|X时有|f(x)A||10|

1所以lim10xx

x |x|直线y0是函数y1的水平渐近线x一般地如果limf(x)c则直线yc称为函数yf(x)的图形的水平渐近线x二、函数极限的性质定理1(函数极限的唯一性)limf(x)xx0定理2(函数极限的局部有界性)f(x)A(xx)和0|xx

|时有|f(x)|M0

)1

0|时有0 0|f(x)A|1于是|f(x)||f(x)AA||f(x)A||A|1|A|0 这就证明了在x的去心邻域{x|0|xx|}内f(x)是有界的0 定理3(函数极限的局部保号性)如果f(x)A(xx)而且A0(或A0)那么存在常数0使当0|xx

|时有0 0f(x)0(或f(x)0)证明就A0的情形证明因为limf(x)A所以对于A0当0|xx

|时有xx0 2 0|f(x)A|AAAf(x)f(x)A02 2 2定理3如果f(x)A(xx0)(A0) 那么存在点x0的某一去心邻域 在该邻域内 有|f(x)|1|A|2推论x0的某一去心邻域内f(x)0(f(x)0)f(x)A(xx0)A0(或A0)证明设f(x)0假设上述论断不成立即设A<0那么由定理1就有x0的某一去心邻域在该邻域内f(x)0这与f(x)0的假定矛盾所以A0定理4(函数极限与数列极限的关系)如果当xx0时f(x)的极限存在{xn}为f(x)的定义域内任一收敛于x0的数列且满足xnx0(nN)那么相应的函数值数列{f(xn)}必收敛且limf(x

)limf(x)n

n xx00f(x)A(xx0)则0|xx时有|f(x)A|0xx故对0NNnN有x

|n由假设x

0x(nN)故当nN时0|x

nx从而

0)A|即n 0 n 0 nlimf(x

)limf(x)n

n xx0§14 无穷小与无穷大一、无穷小f(x)xx0(x)f(x)xx0(x)时特别地以零为极限的数列{x}称为n时的无穷小n例如因为lim10所以函数1为当x时的无穷小xx x因为lim(x1)0所以函数为x1当x1时的无穷小x1因为lim10所以数列{1}为当n时的无穷小nn1 n1讨论很小很小的数是否是无穷小？0是否为无穷小？在xx0(或很小很小的数只不会为零无穷小与函数极限的关系定理1 在自变量的同一变化过程xx0(或函数f(x)具有极限A的充分必要条件是其是无穷0limf(x)A000|xx时有0xx00令f(x)A则是xx0

|f(x)A|时的无穷小且f(x)A这就证明了f(x)等于它的极限A与一个无穷小之和0f(x)AAxx0|f(x)A|||

时的无穷小于是--PAGE23-0因0

时的无穷小00使当0|xx

|有或|f(x)A|Af(x)当xx0简要证明令f(x)A则|f(x)A|||00000|xxf(x)A|就有0000000|xx有f(x)A|00这就证明了如果A是f(x)当

时的极限则是xx

时的无穷小如果是xx0Af(x)当xx0类似地可证明x时的情形因为1x31

而lim 10所以lim1x312x3 2 2x3二、无穷大

x2x3

x2x3 2xx0(无限增大就称函数f(x)为当xx0(记为limf(x)或limf(x))xx0

xx)f(x)极限作limf(x) (或limf(x))xx0

x讨论讨论无穷大的精确定义如何表达？很大很大的数是否是无穷大?提示limf(x)xx0M0 0当0|xx0|时有|f(x)|M正无穷大与负无穷大limf(x) limf(x)(x)xx0(x)xx0例2证明lim 1 x1x110|x1|时有M--PAGE37-| 1 Mx1所以lim 1 x1x1提示要使|

1

M只要|x1x|xM铅直渐近线0limf(x)xxyf(x)0xx0例直线x1是函数y1 的图形的铅直渐近x12)在自变量的同一变化过程中如果f(x)为无穷大则1 为无穷反如果f(x)为无穷且f(x)0则1 为无穷f(x) f(x)简要证明如果limf(x)0且f(x)0那么对于xx0

100|xxM

|时有|f(x)|

1由于当0|xxM

|时f(x)0从而| 1 Mf(x)所以1 为

时的无穷大f(x) 0limf(x)那么对于M100|xx0

|时xx0有|f(x)|M1即| 1 所以为xx时的无穷 f(x)简要证明0如果f(x)0(xx)且f(x)0则000当0|xx|时有|f(x)|即所以f(x)(xx)0

)则M00当0|xx

0|时0 0有|f(x)|M即所以f(x)0(xx0)§16 极限运算法则定理1 有限个无穷小的和也是无穷例x0x与sinxxsinx简要证明设及是当xx 时的两个无穷小则0及0使当00|xx0

|

时有

002|02

1 2时有||1取min{}则当0|xx|时有||||||2这说明也是无穷小11 2 0证明考虑两个无穷小的和0设xx而0任意给定的0因为是当

时的无穷小对于

0存在着0当010|xx01

|

时不等式

0 2 1||2成立xx对于000|xx时不等式0 2||2

2 0 2成立取min{}则当0|xx|时1 2 0及2 2从而xx2 2 0定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷12简要证明设函数u在x0的某一去心邻域{x|0|xx012

|}内有界即M0使当100|xx0| 时有|u|M又设是当100|xx|时有

时的无穷小即0存在 0使当0 1 2 取min{}则当0|x1 2

|时有|u|Mu例当 1是无穷arctanx是有界函所以

arctanx也是无穷小x x推论1 常数与无穷小的乘积是无穷推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷定理3 如果limf(x)Alimg(x)B那么lim(x)g(x)]limf(x)limg(x)ABlimf(x)g(x)limf(x)limg(x)AB

f(x)limf(x)A(B0)g(x) limg(x) B证(1) 因为limf(x)Alimg(x)B根据极限与无穷小的关有f(x)Ag(x)B其中于是f(x)g(x)(A)(B)(AB)()即f(x)g(x)可表示为常数(AB)与无穷小()之和因此lim[f(x)g(x)]limf(x)limg(x)AB推论1 如果limf(x)存而c为常则lim[cf(x)]climf(x)推论2 如果limf(x)存而n是正整则lim[f(x)]n[limf(x)]n定理4 设有数{xn和{yn}如果limx

A lim

B那么lim(xy)AB

nn

n nn n nlim(xy)ABn n nx A(3)当yn0(n12)且B0 limn nny Bn定理5 如而limlim那么ab1lim(2x1x1解 lim(2xlim2xlim12limx12111讨假设P(x)axnaxn1a xa0 1 n1

则limP(x)?xx00提 limP(x)lim0

xn)limxn1)lim

x)limaxx0

xx0

xx0

xx0

n1

nxx01a lim(xn)a1

lim(xn1)a

limxlima0x x0

1x x0

n1x x0

nxx0a(limx)na(limx)n1a

)ax

na

xn1a

P(x)0xx0

1xx0

n 00 10 n 0P(xaxnaxn1

limP(x)P(x)00 1 0

xx0例2求lim x3x2x25x3x31

lim(x31)解 x2

x25x3

x2lim(x2x2

5x3)limx3lim1

(lim

7 x xlim 2 2x25limxlim3lim 2 2x2 x2 x2提问如下写法是否正确？

x2(limx)2x2

523

1033x3

limx3

7lim

x5x

xx2x3

1033x2

x3

3 lim2 2x27lim

x5x

x

5x

103)3x2 2

3 2

lim(22x2 x2例3

x3x3x29解 limx3lim x3 lim 1

lim1x3 1x3x29 x3(x3)(x3) x3x3例4求lim 2x3 x1x25x4

lim(x6x3解

x25x41251402x3 根据无穷大与无穷小的关系得lim

2x3 如下写法是否正确？

x1x25x4lim

2x3

lim(2xx1

1x25x4 lim(x25x0x1讨论有理函数的极限limxx0提示

P(x)?Q(x)P(x) P(x)xxx当Q(x0)0 limQ(x)0 xxx0 0当Q(x0

)0P(x0

)0 limxx0

P(x)Q(x)当Q(x0)P(x0)0 先将分子分母的公因(xx0)约去5lim3x34x22x7x35x23解 先用x3去除分子及分然后取极lim

3x34x22lim

3423x x3 3x7x35x23 x753 7x x36lim3x22xx2x3x25解 先用x3去除分子及分然后取极3 321lim

x22x1limx x2

x300x2x3x25 x215 2x x3例7求lim2x3x25x3x22x解lim3x22x0所以x2x3x25lim2x3x25x3x22x讨论axnaxn1a有理函数的极限lim 0 1

n?提示

xb

xmbxm1b01 m00 nmaxnaxn1a alim 0 1

n0

nmxb

xmbxm1b01 0

b0

nm例8求limsinxx x解 当x时分子及分母的极限都不存在故关于商的极限的运算法则不能应用因为sinx1sinx是无穷小与有界函数的乘积x x所以limsinx0x x定理复合函数的极限运算法) 设函数yf[g(x)]是由函数yf(u)与函数ug(x)复合0而f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定假设limg(x)u limfA且在x0的某0去心邻域内g(x)u0则

xx0

0 uulimf[g(x)]limfAxx0 uu0定理)设函数yf[g(x)]是由函数yf(u)与函数ug(x)复合f[g(x)]在点x0假设g(x)u0(xx0)f(u)A(uu0)且在x0g(x)u0则limf[g(x)]limfAxx0 uu000简要证明设在{x|0|xx0|}内g(x)u000要证00当0|xx|时有|f[g(x)]A|0

|时有|f(u)A|0 0

(xx)0|时有|g(x)u

|0 0 1 0 1 0取min{}则当0|xx|时0<|g(x)u|从而0 1 0 0|f[g(x)]A||f(u)A|注0limg(xu0

limg(x或limg(x)xx0

0 xx

xlimfA换成limf(u)Auu0 u把定理中g(x)u0(xx0)换成g(x)(xx0)或g(x)(x)而把f(u)A(uu0)换成f(u)A(u)可类似结果例如x29x3x29x3x3x29x3解y 是由y

与ux29复合而成的ux3ux29x3u6因为limx296所x29x3u6x3x3 x3

u6§17极限存在准则两个重要极限准则I如果数列{xn}、{yn}及{zn}满足以下条件(1)ynxnzn(n123)(2)limya lim

an n nn{xnlim

a证明因为limy

na limz

na以根据数列极限的定义0N

0当nN n nn有n

nn 1 1na| 又n

20当nN

2时有|za|现取Nmax{N

1N

2}则当nN时有同时成立即

|ya||z

a|nnayaaznn

an n同时成立又因ynxnzn所以当nN时有xzan n nn即 a|nlim

ann简要证明由条件(2)0N0当nN时有nn|ya|及|za|nn即有 a

an nn由条件(1)有nn

nz

an即 a|nlim

ann准则I如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足以下条件BD1xOCA(1)g(x)f(x)BD1xOCA(2)limg(x)Alimh(x)A那么limf(x)存在且limf(x)A注如果上述极限过程是xx0要求函数在x0x|x|M准则I及准则下面根据准则证明第一重要极 limsinx1x0 x证明首先注意到函数sinx对于一切x0都有定义参看附图图中的圆为单位圆xABBCOADAOAAOBx(0x)显然sinxCBxAB2SAOBSAOBSAOD

tanxAD因为所以1sinx1x1tanx2 2 2即 sinxxtanx不等号各边都除以sinx就有1 x 1 sinx cosx或 cosxsinx1x注意此不等式x0时也成而limcosx根据准则I limsinx12 x0简要证明参看附图设圆心角AOBx(0x

)2

x0 xBCABADsinxxtanxx从而cosxsinx1 (此不等式当x0时也成)x因为limcosx1根据准则I limsinx1x0应注意的问题

x0 x在极限limsin(x)中只要(x)是无穷小就有limsin(x)1(x) (x)这是因为令u(x)则u0于是limsin(x)limsinu1limsinx1 limsin(x)x0 x (x)1求limtanxx0 x

(x)

u0 u解 limtanxlimsinx 1 limsinxlim 1 1x0 x x0 x cosx x0 x x0cosx2求lim1cosxx0 x2x x解 lim1cosx0 x2

x0

2sin22x2

12

sin22x(2)2 sinx 1 2 1 12x02

x 22 2 x1 sin2211lim 2xx0 2 2x

2 2 2准则II 单调有界数列必有极如果数列{xn}满足条件x1x2x3xnxn1就称数{xn}是单调增加 如果数{x满足条件x1x2x3xnxn1{xn}{xn}xnxn1nN有界的数列不一定收敛现在准则II说明也准则II单调增加数列的点只可能向右一个方向移动或者无限向右移动或者无限趋近于某一定点A而对有界数列只可能后者情况发生根据准则II可以证明极限lim(11)n存在n n设x(11)n现证明数列{x}是单调有界的n n n按牛顿二项公式有1 n1 1 1 (nn1x)n1 n n n

n3

nn1111)112)112)nn n n n n n1 1 1 1 2 1 1 2 n1x 11 ) ) ))n1

n1 n1 n1 n1 n1 n1 1 12)n)n1 n1 n1xn比较 xn

n1

的展开式可以看出除前两项外x

n1

的对应项并且xnn1n

还多了最后一项其值大于0因此nx x nn1这就是说数列{x}是单调有界的nn这个数列同时还是有界的因为xn

的展开式中各项括号内的数用较大的数1代替得1 1 1 1 1

11 1x11 11 n 2 22

2n1

112

3

2n1

3n根据准则II数列{x}必有极限这个极限我们用e来表示即nlim1)nen n我们还可以证明lim(11)xee是个无理数它的值是x xe21yexylnxe在极限)只要(x)就有11lim[1(x)](x)e1这是因令u 1 则u于是(x)]

lim1

eu1)u

(x)1e (x)]1xx

e((x)0)

u ux x

(x)例3求lim(11)xx x解txxt于是1)xlim(11)tlim 1 1x x

t

t tt或 lim1)xlim1)[lim1)xe1x

x

x x§18 函数的连续性与间断点一、函数的连续性变量的增量设变量u从它的一个初值u1变到终值u2终值与初值的差u2u1就叫做变量u的增量记作u即uu2u1yf(x)x0xx0变到x0xyf(x0)f(x0x)y的对应增量为yf(x0x)f(x0)函数连续的定义设函数yf(x)在点x0的某一个邻域内有定义如果当自变量的增量xxx0趋于零时对应的函数的增量yf(x0x)f(x0)也趋于零即0limy0或limf(x)f(x)0x0那么就称函数yf(x)在点x0处连续

xx0注limlimf(xx)f(x

)]0x0 x0 0 0②设xx0+x则当x0时xx0因此0limy0lim[f(x)f(x)]0limf(x)f(x)0x0 xx0

0xx0函数连续的等价定义2设函数yf(x)在点x0的某一个邻域内有定义如果对于任意给定义0|<f(x)都满足不等式0yf(x)

|f(x)f(x0

)|<如果limxx0如果limxx0

f(x)f(x0f(x)f(x0

yf(x)x0yf(x)x0

函数函数yf(x)在点x0处连续函数yf(x)在点x0处左连续且右连续在区间上每一点都连续的函数叫做在该区间上的连续函数或者说函数在该区间上连续如果区间包括端点那么函数在右端点连续是指左连续在左端点连续是指右连续连续函数举例1如果f(x)是多项式函则函数f(x)在区()内是连续这是因 f(x)在()内任意一点x0处有定且limP(x)P(x)0xx0

2函数f(x)

x在区间[0)内是连续的x3函数ysinx在区间()内是连续的证明设x为区间()内任意一点则有ysin(xx)sinx2sinxcos(x

x)2 2x0ylimy0ysinx0x在区间()内任意一点x都是连续的．4函数ycosx在区间()内是连续的二、函数的间断点间断定义f(x)x0f(x)有以下三种情x0x0limf(x)xx0x0limf(x)limf(x)f(x0)xx0

xx0则函数f(x)在点x0为不连续而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点1ytanxxx是函数tanx2 2limtanxx为函数tanx 2x22ysin1x0x0是函数sin1x x当x011所以点x0称为函数sin1的振荡间断点x例3函数yx21在x1没有定义所以点x1是函数的间断点x1因为limx2lim(x12x1时y2则所给函数在x1成为连x1x续所以x1称为该函数的可去间断点4

x x1yf(x12

x因为limf(x)limx1f1 limf(x)f所以x1是函数f(x)的间断

2 如果改变函数f(x)在x1处的定义令f(1)1则函数f(x)在x1成为连续所以x1也称为该函数的可去间断点x1 x0例5设函数f(x)x0x1 x0limf(xlimx1)1x0 x0limf(x)lim(xx0 x0limf(x)limf(x)x0 x0所以极限limf(x)不存在x0是函数f(x)的间断点因函数f(x)的图形在x0处产生跳跃x0现象我们称x0为函数f(x)的跳跃间断点间断点的分类:如果x0是函数f(x)但左极限f(x00)及右极限f(x00)x0f(x)间断点无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点§19 一、连续函数的和、积及商的连续性定理1设函数f(x)和g(x)在点x0连续则函数f(x)f(x)g(x)f(x)g(x) (g(x0时)g(x) 0在点x0也连续f(x)g(x)连续性的证明因为f(x)和g(x)在点x0连续所以它们在点x0有定义从而f(x)g(x)在点x0也有定义再由连续性和极限运算法则有lim[f(x)g(x)]limf(x)limg(x)f(x0

)g(x)0xx0

xx0

xx0根据连续性的定 f(x)g(x)在点x0连1sinx和cosx(3知tanx和cotx在它们的定三角函数sinxcosxsecxcscxtanxcotx在其有定义的区间内都是连续的二、反函数与复合函数的连续性2Ixxf1(y)也在对应的区间Iy{y|yf(x)xIx}上单调增加(或单调减少)且连