人教版九年级上册数学《圆》单元综合测试题附答案

人教版数学九年级上学期《圆》单元测试(满分120分，考试用时120分钟)一、选择题1.如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，∠ACD=22.5°，若CD=6cm，则AB的长为()A.cm B.4cm C.cm D.cm2.以下命题:①同位角相等;②长度相等弧是等弧;③对角线相等的平行四边形是矩形;④抛物线y=(x+2)2+1的对称轴是直线x=﹣2．其中真命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.43.把一个边长为1的正方形如图所示放在数轴上，以正方形的对角线为半径画弧交数轴于点A，则点A对应的数是()A.1 B. C. D.24.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是()A4 B.5 C.6 D.85.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AB于E，若BC=4，△AOE的面积为5，则sin∠BOE的值为()A. B. C. D.6.如图，AB、AC是圆O的两条切线，切点为B、C且∠BAC=50°，D是圆上一动点(不与B、C重合)，则∠BDC的度数为:()A.130° B.65° C.50°或130° D.65°或115°7.边长分别等于6cm、8cm、10cm的三角形的内切圆的半径为()cm.A. B. C. D.8.如图，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，点D是上一点，BD交AC于点E，若BC=4，AD=，则AE的长是()A.1 B.1.2 C.2 D.39.如图，在Rt△OAB中，∠AOB=90°，OA=4，OB=3．⊙O的半径为2，点P是线段AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点．设AP=x，PQ2=y，则y与x的函数图象大致是()．A. B. C. D.二、填空题10.在半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为_____cm．11.用一个半径为3cm，圆心角为120的扇形围成一个圆锥的侧面，则圆锥的高为______cm.12.如图，AB为半圆O的直径，点C在AB的延长线上，CD与半圆O相切于点D，且AB=2CD=4，则图中阴影部分的面积为______．13.如图，在半径为2的⊙O中，弦AB＝2，⊙O上存在点C，使得弦AC＝2，则∠BOC＝____°.14.如图,一次函数的图像与轴、轴交于、两点,P为一次函数的图像上一点,以P为圆心能够画出圆与直线AB和轴同时相切,则∠BPO=_________.15.如图，以为直径的半圆，其中，绕点逆时针旋转，此时点旋转到点，则图中阴影部分的面积是________．16.点A，B，C都在半径为r的圆上，直线AD⊥直线BC，垂足为D，直线BE⊥直线AC，垂足为E，直线AD与BE相交于点H，若，则∠ABC所对的弧长等于_______(长度单位)．17.如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是．三、解答题18.已知:如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＝25°，以点C为圆心．AC为半径作⊙C，交AB于点D，求的度数．19.如图,已知AB是⊙O的弦,OB=4,∠OBC=30°,点C是弦AB上任意一点(不与A,B重合),连接CO并延长CO交⊙O于点D,连接AD、DB.当∠ADC=18°时,求∠DOB的度数.

20.已知:如图，已知⊙O的半径为1，菱形ABCD的三个顶点A、B、D在⊙O上，且CD与⊙O相切．(1)求证:BC与⊙O相切;(2)求阴影部分面积．21.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE•CA．(1)求证:BC＝CD;(2)分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD延长线于点F，若PB＝OB，CD＝，求圆O的半径．22.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，点E在CB延长线上，连结AC、AE，∠ACB=∠BAE=45°．(1)求证:AE是⊙O切线;(2)若AB=AD，AC=，tan∠ADC=3，求BE的长．23.如图，在直角体系中,直线AB交x轴于点A(5,0),交y轴于点B,AO是⊙M的直径,其半圆交AB于点C,且AC=3.取BO的中点D,连接CD、MD和OC.(1)求证:CD是⊙M切线;(2)二次函数的图象经过点D、M、A,其对称轴上有一动点P,连接PD、PM,求△PDM的周长最小时点P的坐标;(3)在(2)的条件下,当△PDM的周长最小时,抛物线上是否存在点Q，使S△PDM=6S△QAM？若存在，求出点Q的坐标;若不存在，请说明理由.

参考答案一、选择题1.如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，∠ACD=22.5°，若CD=6cm，则AB的长为()A.cm B.4cm C.cm D.cm【答案】A【解析】连结OA，如图，∵∠ACD=22.5°，∴∠AOD=2∠ACD=45°，∵⊙O的直径CD垂直于弦AB，∴AE=BE，△OAE为等腰直角三角形，∴AE=OA，∵CD=6，∴OA=3，∴AE=，∴AB=2AE=3(cm).故选A.2.以下命题:①同位角相等;②长度相等弧是等弧;③对角线相等的平行四边形是矩形;④抛物线y=(x+2)2+1的对称轴是直线x=﹣2．其中真命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】试题分析:①两直线平行，同位角相等，故错误，是假命题;②长度相等弧是等弧，错误，是假命题;③对角线相等的平行四边形是矩形，正确，是真命题;④抛物线y=(x+2)2+1的对称轴是直线x=﹣2，正确，是真命题，正确的有2个，故选B．考点:命题与定理．3.把一个边长为1的正方形如图所示放在数轴上，以正方形的对角线为半径画弧交数轴于点A，则点A对应的数是()A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】分析:本题考查的是用数轴表示无理数.解析:由图知，圆弧的半径为，故OA的长为.故选B.4.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是()A.4 B.5 C.6 D.8【答案】C【解析】分析】根据垂径定理得出BC=AB，再根据勾股定理求出OC的长:【详解】∵OC⊥AB，AB=16，∴BC=AB=8．Rt△BOC中，OB=10，BC=8，∴．故选C．5.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AB于E，若BC=4，△AOE的面积为5，则sin∠BOE的值为()A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可知，OE为对角线AC的中垂线，则CE=AE=5，S△AEC=2S△AOE=10，由S△AEC求出线段AE的长度，进而在Rt△BCE中，由勾股定理求出线段BE的长度;然后证明∠BOE=∠BCE，从而可求得结果．解:如图所示，连接EC．

由题意可得，OE为对角线AC的垂直平分线，

∴CE=AE，S△AOE=S△COE=5，

∴S△AEC=2S△AOE=10．

∴AE•BC=10，又BC=4，

∴AE=5，

∴EC=5．

在Rt△BCE中，由勾股定理得:BE==3．

∵∠EBC+∠EOC=90°+90°=180°，

∴B、C、O、E四点共圆，

∴∠BOE=∠BCE．

(另解:∵∠AEO+∠EAO=90°，∠AEO=∠BOE+∠ABO，

∴∠BOE+∠ABO+∠EAO=90°，又∠ABO=90°-∠OBC=90°-(∠BCE+∠ECO)

∴∠BOE+(90°-(∠BCE+∠ECO))+∠EAO=90°，

化简得:∠BOE-∠BCE-∠ECO+∠EAO=0

∵OE为AC中垂线，

∴∠EAO=∠ECO．

代入上式得:∠BOE=∠BCE．)

∴sin∠BOE=sin∠BCE=．

故答案为．“点睛”本题是几何综合题，考查了矩形性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、圆周角、三角函数的定义等知识点，有一定的难度．解题要点有两个:(1)求出线段AE的长度;(2)证明∠BOE=∠BCE．6.如图，AB、AC是圆O的两条切线，切点为B、C且∠BAC=50°，D是圆上一动点(不与B、C重合)，则∠BDC的度数为:()A.130° B.65° C.50°或130° D.65°或115°【答案】D【解析】当点在劣弧BC上时为点D′，当点在优弧BC上时为点D，如图所示:∵AB、AC是圆O的两条切线，∴∠ABO＝∠ACO=90°,又∵在四边形ABOC中，∠A＝50°，∴∠BOC＝360°－90°－90°－50°＝130°，又∵∠BDC＝°;∵∠CBD′+∠BCD′＝，∠BOC＝130°，∴∠CBD′+∠BCD′＝65°，∴在△BCD′中，∠BD′C＝180°－65°＝115°;故选D．7.边长分别等于6cm、8cm、10cm的三角形的内切圆的半径为()cm.A. B. C. D.【答案】B【解析】如图所示:△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，∵62+82=102，即AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，设△ABC内切圆的半径为R，切点分别为D、E、F，∵CD=CE，BE=BF，AF=AD，∵OD⊥AC，OE⊥BC，∴四边形ODCE是正方形，即CD=CE=R，∴AC-CD=AB-BF，即6-R=10-BF①，BC-CE=AB-AF，即8-R=BF②，①②联立得，R=2cm．故选B．【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，涉及到勾股定理的逆定理、正方形的判定与性质、切线长定理，涉及面较广．8.如图，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，点D是上一点，BD交AC于点E，若BC=4，AD=，则AE的长是()A.1 B.1.2 C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】利用圆周角性质和等腰三角形性质，确定AB为圆的直径，利用相似三角形的判定及性质，确定△ADE和△BCE边长之间的关系，利用相似比求出线段AE的长度即可．【详解】解:∵等腰Rt△ABC，BC=4，∴AB为⊙O的直径，AC=4，AB=4，∴∠D=90°，在Rt△ABD中，AD=，AB=4，∴BD=，∵∠D=∠C，∠DAC=∠CBE，∴△ADE∽△BCE，∵AD:BC=:4=1:5，∴相似比为1:5，设AE=x，∴BE=5x，∴DE=-5x，∴CE=28-25x，∵AC=4，∴x+28-25x=4，解得:x=1．故选A．【点睛】题目考查了圆的基本性质、等腰直角三角形性质、相似三角形的判定及应用等知识点，题目考查知识点较多，是一道综合性试题，题目难易程度适中，适合课后训练．9.如图，在Rt△OAB中，∠AOB=90°，OA=4，OB=3．⊙O半径为2，点P是线段AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点．设AP=x，PQ2=y，则y与x的函数图象大致是()．A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析:过点O作OD⊥AB，则OD=，∴AD=，∴PD=AP－AD=x－;∴=，根据垂径定理可得:=－4=，即y=(0≤x≤5)考点:二次函数的应用、勾股定理、切线的性质二、填空题10.在半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为_____cm．【答案】4π【解析】【分析】根据弧长的计算公式计算可得答案.【详解】解:由弧长计算公式为:可得:==4，故本题正确答案为4.【点睛】本题主要考查弧长的计算,其中弧长公式为:.11.用一个半径为3cm，圆心角为120的扇形围成一个圆锥的侧面，则圆锥的高为______cm.【答案】【解析】设圆锥底面圆半径为r，则有，∴r=1，∴圆锥的高为:=2.12.如图，AB为半圆O的直径，点C在AB的延长线上，CD与半圆O相切于点D，且AB=2CD=4，则图中阴影部分的面积为______．【答案】【解析】【分析】根据已知条件证得三角形ODC是等腰直角三角形，得到∠DOB=45°，然后根据扇形的面积公式计算即可．【详解】解:∵AB为半圆O的直径，∴AB=2OD，

∵AB=2CD=4，

∴OD=CD=2，

∵CD与半圆O相切于点D，

∴∠ODC=90°，

∴∠DOB=45°，

∴阴影部分的面积故答案为:点睛:本题考查了切线的性质，扇形的面积的求法，等腰直角三角形的性质，证得△ODC是等腰直角三角形是解题的关键．13.如图，在半径为2的⊙O中，弦AB＝2，⊙O上存在点C，使得弦AC＝2，则∠BOC＝____°.【答案】30°或150°【解析】两弦在圆心的两旁,过O作OD⊥AC于点D,OE⊥AB于点E,连接OA,∵AB=2,AC=2，∴AD=AC=,AE=AB=1，根据直角三角形中三角函数的值可知:sin∠AOD==，∴∠AOD=60°，∴∠CAO=30°，∵sin∠AOE==，∴∠AOE=45°，∴∠BAO=45°，∴∠BAC=∠BAO+∠CAO=30°+45°=75°∴∠BOC=2∠BAC=150°当两弦在圆心的同旁的时候就是30°证法同①．故答案为30°或150°.点睛:在圆中,经常过圆心作弦的垂线,连接圆心和弦的两个端点,利用垂径定理构造直角三角形,结合勾股定理求有关线段的长度;对于添加辅助线的题,在作图时注意看有没有情况需要分类讨论,以免造成漏解.14.如图,一次函数的图像与轴、轴交于、两点,P为一次函数的图像上一点,以P为圆心能够画出圆与直线AB和轴同时相切,则∠BPO=_________.【答案】30°或120°【解析】试题解析:分两种情况:(1)当∠ABO的平分线与相交时，点P即为圆心.如图，令y=0，则x=1，令x=0，则y=，即AO=1，BO=∴tan∠ABO=∴∠ABO=30°∵BP为∠ABO的平分线∴∠OBP=15°又∠BOP=45°∴∠BPO=180°-45°-15°=120°(2)当∠ABO的外角平分线与相交时，点P即为圆心.如图，同理可求∠OBP=30°+75°=105°∴∠BPO=180°-45°-105°=30°15.如图，以为直径的半圆，其中，绕点逆时针旋转，此时点旋转到点，则图中阴影部分的面积是________．【答案】【解析】【详解】把阴影部分的面积转化成扇形的面积进行计算便可．．16.点A，B，C都在半径为r的圆上，直线AD⊥直线BC，垂足为D，直线BE⊥直线AC，垂足为E，直线AD与BE相交于点H，若，则∠ABC所对的弧长等于_______(长度单位)．【答案】或【解析】【详解】解:分∠ABC是锐角和钝角两种情况作出图形如图，连接AO，CO当∠ABC是锐角时，如图1，依题意可得△ACD∽△BHD，∴∵，∴∴在△ABD中，∴∴∴∠ABC所对的弧长等于当∠ABC是钝角时，如图2，依题意可得△ACD∽△BHD，∴∵，∴∴在△ABD中，.∴∴∴优角∴∠ABC所对的弧长等于综上所述，∠ABC所对的弧长等于或故答案为:或．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质;圆周角定理;锐角三角函数定义;特殊角的三角函数值;分类思想的应用．17.如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是．【答案】4.8【解析】试题分析:设EF的中点为P，⊙P与AB的切点为D，连接PD，连接CP，CD，则有PD⊥AB;由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形PC+PD=EF，由三角形的三边关系知，PC+PD＞CD;只有当点P在CD上时，PC+PD=EF有最小值为CD的长，即当点P在直角三角形ABC的斜边AB的高CD上时，EF=CD有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时CD=BC·AC÷AB=4.8．考点:切线的性质;垂线段最短;勾股定理的逆定理三、解答题18.已知:如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＝25°，以点C为圆心．AC为半径作⊙C，交AB于点D，求的度数．【答案】弧AD的度数为50°．【解析】试题分析:因为弧与垂径定理有关;与圆心角、圆周角有关;与弦、弦心距有关;弧与弧之间还存在着和、差、倍、半的关系，因此这道题有很多解法.试题解析:如图，连接CD，∵∠ACB=90°，∠B=25°，∴∠A=65°，∵CA=CD，∴∠ADC=∠A=65°，∴∠ACD=50°，∴弧AD的度数为50°．考点:圆心角、弧、弦的关系;垂径定理．19.如图,已知AB是⊙O的弦,OB=4,∠OBC=30°,点C是弦AB上任意一点(不与A,B重合),连接CO并延长CO交⊙O于点D,连接AD、DB.当∠ADC=18°时,求∠DOB的度数.

【答案】96°【解析】连接OA，由OA=OB，OA=OD，可得∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，则可求得∠DAB度数，又由圆周角等于同弧所对圆心角的一半，即可求得∠DOB的度数.解;连接OA,∵OA=OB=OD,∴∠OAB=∠OBC=30°,∠OAD=∠ADC=18°,

∴∠DAB=∠DAO+∠BAO=48°,由圆周角定理得:∠DOB=2∠DAB=96°.20.已知:如图，已知⊙O的半径为1，菱形ABCD的三个顶点A、B、D在⊙O上，且CD与⊙O相切．(1)求证:BC与⊙O相切;(2)求阴影部分面积．【答案】(1)证明见解析;(2)【解析】【分析】(1)连结OB、OD、OC，只要证明△OCD≌△OCB，推出∠ODC=∠OBC，由CD与⊙O相切推出OD⊥CD，推出∠OBC=∠ODC=90°，由此即可证明;

(2)根据S阴影=2S△DOC-S扇形OBD计算即可;【详解】解:(1)连结OB、OD、OC，

∵ABCD是菱形，

∴CD=CB，

∵OC=OC，OD=OB，

∴△OCD≌△OCB，

∴∠ODC=∠OBC，

∵CD与⊙O相切，∴OD⊥CD，

∴∠OBC=∠ODC=90°，

即OB⊥BC，点B在⊙O上，

∴BC与⊙O相切．

(2)∵ABCD是菱形，

∴∠A=∠DCB，

∵∠DOB与∠A所对的弧都是

∴∠DOB=2∠A，

由(1)知∠DOB+∠C=180°，

∴∠DOB=120°，∠DOC=60°，

∵OD=1，∴OC=2，DC=

∴S阴影=2S△DOC-S扇形OBD=2××1×-=．【点睛】本题考查菱形的性质、切线的判定和性质、扇形的面积公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分割法求阴影部分面积，属于中考常考题型．21.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE•CA．(1)求证:BC＝CD;(2)分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB＝OB，CD＝，求圆O的半径．【答案】(1)证明见解析;(2)⊙O的半径为4．【解析】试题分析:(1)、根据题意得出△CAD和△CDE相似，从而得出∠CAD=∠CDE，结合∠CAD=∠CBD得出∠CDB=∠CBD，从而得出答案;(2)、连接OC，根据OC∥AD得出PC=2CD，根据题意得出△PCB和△PAD相似，即，从而得出r的值.试题解析:(1)、∵DC2=CE•CA，∴=，而∠ACD=∠DCE，∴△CAD∽△CDE，∴∠CAD=∠CDE，∵∠CAD=∠CBD，∴∠CDB=∠CBD，∴BC=DC;(2)、连结OC，如图，设⊙O的半径为r，∵CD=CB，∴=，∴∠BOC=∠BAD，∴OC∥AD，∴===2，∴PC=2CD=4，∵∠PCB=∠PAD，∠CPB=∠APD，∴△PCB∽△PAD，∴=，即=，∴r=4，即⊙O的半径为4．22.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，点E在CB的延长线上，连结AC、AE，∠ACB=∠BAE=45°．(1)求证:AE是⊙O的切线;(2)若AB=AD，AC=，tan∠ADC=3，求BE的长．【答案】(1)证明见解析;(2)【解析】试题分析:(1)连接OA、OB，由圆周角定理得出∠AOB=2∠ACB=90°，由等腰直角三角形的性质得出∠OAB=∠OBA=45°，求出∠OAE=∠OAB+∠BAE=90°,即可得出结论;(2)过点A作AF⊥CD于点F,由AB=AD，得到∠ACD=∠ACB=45°，在Rt△AFC中可求得AF＝3，在Rt△AFD中求得DF＝1，所以AB＝＝，CD=CF+DF=4，再证明△ABE∽△CDA，得出，即可求出BE的长度;试题解析:(1)证明:连结OA，OB，∵∠ACB=45°，∴∠AOB=2∠ACB=90°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=45°，∵∠BAE=45°，∴∠OAE=∠OAB+∠BAE=90°，∴OA⊥AE．∵点A在⊙O上，∴AE是⊙O的切线．(2)解:过点A作AF⊥CD于点F，则∠AFC=∠AFD=90°．∵AB=AD，∴=∴∠ACD=∠ACB=45°，在Rt△AFC中，∵AC=，∠ACF=45°，∴AF=CF=AC·sin∠ACF=3，∵在Rt△AFD中，tan∠ADC=，∴DF=1，∴，且CD=CF+DF=4，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABE=∠CDA，∵∠BAE=∠DCA，∴△ABE∽