高中数学空间向量和立体几何测试题

./空间向量与立体几何一.选择题1.在下列命题中：①若向量共线,则向量所在的直线平行；②若向量所在的直线为异面直线,则向量一定不共面；③若三个向量两两共面,则向量共面；④已知是空间的三个向量,则对于空间的任意一个向量总存在实数x,y,z使得；其中正确的命题的个数是〔〔A0〔B1〔C2〔D32.与向量〔-3,-4,5共线的单位向量是〔〔A〔和〔；〔B〔；〔C〔和〔；〔D〔；3.已知A、B、C三点不共线,点O为平面ABC外的一点,则下列条件中,能得到M∈平面ABC的充分条件是〔〔A；〔B；〔C；〔D4.已知点B是点A〔3,7,-4在xOz平面上的射影,则等于〔〔A〔9,0,16〔B25〔C5〔D135.设平面内两个向量的坐标分别为〔1,2,1、〔-1,1,2,则下列向量中是平面的法向量的是〔A〔-1,-2,5B〔-1,1,-1C〔1,1,1D〔1,-1,-16.如图所示,在正三棱柱ABC——A1B1C1中,若AB=BB1,则AB1与C1B所成的角的大小为〔〔A60°〔B90°〔C105°〔D75°7.到定点的距离小于或等于1的点集合为〔A.B.C.D.8.已知均为单位向量,它们的夹角为60,那么等于〔A．B．C．D．49.在平面直角坐标系中,,沿x轴把平面直角坐标系折成120的二面角后,则线段AB的长度为〔A．B．C．D．10.已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则""是""的<>A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二．填空题11.若空间三点A〔1,5,-2,B〔2,4,1,C〔p,3,q+2共线,则p=______,q=______。12.设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点,DE⊥AB于E<如图>．现将△ADE沿DE折起,使二面角A－DE－B为45,此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B,则M、N的连线与AE所成角的大小等于_________．13.如图,PA⊥平面ABC,∠ACB=90°且PA=AC=BC=a则异面直线PB与AC所成角的余弦值等于________；14.已知,,,若共同作用于一物体上,使物体从点M〔1,-2,1移动到N〔3,1,2,则合力所作的功是.15.已知正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为,则侧面与底面所成的二面角等于.题号12345678910题号题号1112131415题号三．解答题16.设向量并确定的关系,使轴垂直17.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1,P、Q分别是线段AD1和BD上的点,且D1P：PA=DQ：QB=5：12,求线段PQ的长度；求证PQ⊥AD；求证：PQ//平面CDD1C118.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2,E,F分别是AD,PC的中点〔Ⅰ证明：PC⊥平面BEF；〔Ⅱ求平面BEF与平面BAP夹角的大小。19.如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形,ABCD,ACBD,垂足为H,PH是四棱锥的高,E为AD中点证明：PEBC若APB=ADB=60°,求直线PA与平面PEH所成角的正弦值20.如图,四棱锥S-ABCD的底面是矩形,AB=a,AD=2,SA=1,且SA⊥底面ABCD,若边BC上存在异于B,C的一点P,使得.<1>求a的最大值;<2>当a取最大值时,求异面直线AP与SD所成角的大小;<3>当a取最大值时,求平面SCD的一个单位法向量及点P到平面SCD的距离.21.如图所示,矩形ABCD的边AB=a,BC=2,PA⊥平面ABCD,PA=2,现有数据:①;②;③;④;⑤;<1>当在BC边上存在点Q,使PQ⊥QD时,a可能取所给数据中的哪些值?请说明理由;<2>在满足<1>的条件下,a取所给数据中的最大值时,求直线PQ与平面ADP所成角的正切值;<3>记满足<1>的条件下的Q点为Qn<n=1,2,3,…>,若a取所给数据的最小值时,这样的点Qn有几个?试求二面角Qn-PA-Qn+1的大小;答案1-5AABBB6-10BACBB11.3,212.13.14.1415.3016.解：〔9,15,-12-<4,2,16>=<5,13,-28><3,5,-4><2,1,8>=6+5-32=-21由即当满足＝0即使与z轴垂直.17.解：以D为坐标原点。DA、DC、DD1分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系。由于正方体的棱长为1,所以D〔0,0,0,D1〔0,0,1,B〔1,1,0,A〔1,0,0,∵P、Q分别是线段AD1和BD上的点,且D1P：PA=DQ：QB=5：12,∴P,Q〔,∴,所以〔1∴；〔2∵,∴,∴PQ⊥AD；〔3∵,,∴,又平面CDD1C1,PQ平面CDD1C1,∴PQ//平面CDD1C1；18.解法一〔Ⅰ如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP算在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系。∵AP=AB=2,BC=AD=2√

2,四边形ABCD是矩形。∴A,B,C,D的坐标为A<0,0,0>,B<2,0,0>,C<2,2

√

2,0>,D<0,2

√

2,0>,P<0,0,2>又E,F分别是AD,PC的中点,∴E<0,√

2,0>,F<1,√

2,1>。∴=〔2,2

√

2,-2=〔-1,√

2,1=〔1,0,1,∴·=-2+4-2=0,·=2+0-2=0,∴⊥,⊥,∴PC⊥BF,PC⊥EF,BF

∩

EF=F,∴PC⊥平面BEF〔II由〔I知平面BEF的法向量平面BAP的法向量设平面BEF与平面BAP的夹角为

θ

,则∴

θ=45℃,∴平面BEF与平面BAP的夹角为45解法二〔I连接PE,EC在PA=AB=CD,AE=DE,∴PE=CE,即△PEC是等腰三角形,又F是PC的中点,∴EF⊥PC,又,F是PC的中点,∴BF⊥PC.又19.解：以为原点,分别为轴,线段的长为单位长,建立空间直角坐标系如图,则〔Ⅰ设则可得因为所以〔Ⅱ由已知条件可得设为平面的法向量则即因此可以取,由,可得所以直线与平面所成角的正弦值为20.解：建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为:A<0,,0,0>,B<a,0,0>,C<a,2,0>,D<0,2,0>,S<0,0,1>,设P<a,x,0>.<0<x<2><1>∵∴由得:即:∴当且仅当x=1时,a有最大值为1.此时P为BC中点;<2>由<1>知:∴∴异面直线AP与SD所成角的大小为<3>设是平面SCD的一个法向量,∵∴由得∴平面SCD的一个单位法向量又在方向上的投影为∴点P到平面SCD的距离为21.解：建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为:A<0,0,0,>,B<a,0,0>,C<a,2,0>,D<0,2,0>,P<0,0,2>,设Q<a,x,0>.<0≤x≤2><1>∵∴由PQ⊥QD得∵∴在所给数据中,a可取和两个值.<2>由<1>知,此时x=1,即Q为BC中点,∴点Q的坐标为<