北京市第四十三中学届高三数学12月月考试题含解析

PAGE18-北京市第四十三中学2021届高三数学12月月考试题（含解析）第一部分选择题一、选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求两个集合，再求.【详解】，解得：或，即或，，所以.故选：D2.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】分析：将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所在象限.详解：的共轭复数为对应点为，在第四象限，故选D.点睛：此题考查复数的四则运算，属于送分题，解题时注意审清题意，切勿不可因简单导致马虎丢分.3.下列函数中，是偶函数，且在区间上单调递增的为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义和基本初等函数的单调性，逐项进行判断即可．【详解】y为奇函数，不符合题意，y＝为偶函数，在区间单调递增，符合题意，定义域为（0，+∞），是非奇非偶函数，不符合题意，是偶函数，且x＞0时，y＝1-x单调递减，不符合题意．故选：B．4.已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由数轴知，不妨取检验选项得解.【详解】由数轴知，不妨取，对于A，，不成立.对于B，，不成立.对于C，，不成立.对于D，，因此成立.故选：D．【点睛】利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．5.已知三条不同的直线，，和两个不同的平面，下列四个命题中正确的为（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则【答案】D【解析】【分析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案.【详解】A.若，，则，或相交，或异面，A错误；B.若，，则或，B错误；C.若，，则或相交，C错误；D.若，，则，D正确.故选：D.【点睛】本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的推断能力和空间想象能力.6.如图，半径为1的圆M与直线l相切于点A，圆M沿着直线l滚动.当圆M滚动到圆时，圆与直线相切于点B，点A运动到点，线段AB的长度为则点到直线的距离为（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】线段AB长度为即圆滚动了圈，此时到达，，则点到直线的距离可求.【详解】线段AB的长度为设圆滚动了圈，则即圆滚动了圈，此时到达，，则点到直线的距离为.故选：C．【点睛】本题考查圆的渐开线变式运用.圆的渐开线性质:(1)渐开线的发生线滚过的距离等于其在基圆滚过的弧长.(2)渐开线上任一点的法线恒与基圆相切.7.若向量，满足，，且，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，得，即，再由，，可得，根据可得答案．【详解】解：，，即，又，，，得，而，，故选：．8.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长的棱长为（）A. B.3 C. D.4【答案】C【解析】【分析】首先画出三棱锥的直观图，再根据垂直关系和长度，分别计算棱长.【详解】如图，是三视图表示的三棱锥，其中平面平面，，且，，，且，如图，三棱锥的棱长分别为，，，，,综上比较可知最长的棱长为.故选：C9.函数的图象大致为A.

B.

C.

D.

【答案】D【解析】∵∴∴，即为奇函数，故排除∵∴当时，，即在上为减函数，故排除故选D点睛：本题考查了函数的图象的判断，属于基础题；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称，利用函数的奇偶性判断函数图象，再通过函数的单调性及值域进行排除.10.为了预防新型冠状病毒的传染，人员之间需要保持一米以上的安全距离．某公司会议室共有四行四列座椅，并且相邻两个座椅之间的距离超过一米，为了保证更加安全，公司规定在此会议室开会时，每一行、每一列均不能有连续三人就座．例如下图中第一列所示情况不满足条件（其中“√”表示就座人员）．根据该公司要求，该会议室最多可容纳的就座人数为（）A.9 B.10 C.11 D.12【答案】C【解析】【分析】考虑每一列最多有3个人，故最多有12个人，排除12人的情况，将11人的情况作图得到答案.【详解】考虑每一列最多有3个人，故最多有12个人；若人数为12，则每一列的空位置必须在2行或者第3行，则会产生第1行和第4行有连续的3个人，不满足；而11个人满足，如下图：故选：C.【点睛】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的理解能力和推理能力.第二部分非选择题二、填空题11.已知直线过点（4，－1），且与直线垂直，则直线的方程为______．【答案】．【解析】【分析】由垂直得直线斜率，由点斜式得直线方程并整理．【详解】由题意直线斜率为，方程为，即．故答案为：．12.若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为__________.【答案】【解析】【分析】直接求出点关于直线的对称点，即可求出圆的标准方程.【详解】因为圆心与点关于直线对称，所以圆心的坐标为，又圆的半径为1，所以圆的标准方程为.故答案为：【点睛】本题主要考查圆的标准方程，同时考查求点关于直线的对称点，属于基础题.13.已知，且．则______，______．【答案】(1).(2).【解析】【分析】利用诱导公式和二倍角的余弦公式可求得的值，求出的值，利用两角差的正切公式可求得的值.【详解】，因为，且，则，，因此，.故答案为：；.14.已知矩形，，，点P满足，则_________；_________．【答案】(1).(2).【解析】【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求得点的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得以及的值.【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点、、、，，则点，，，因此，，.故答案为：；.15.某次高三英语听力考试中有5道选择题，每题1分，每道题在，，三个选项中只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：12345得分甲4乙3丙2则甲同学答错的题目的题号是______；此正确的选项是______．【答案】(1).5(2).A【解析】【分析】根据图表，依次分析甲错的习题，比较甲，乙，丙的选项，即可求得甲同学答错的题号以及正确答案．【详解】由甲得4分，则正确4个，乙得3分，正确答案为3个，若甲第1题答错，则其他均答对，会导致乙135题错，这样乙就没有3分，故不可能；若甲第2题答错，则其他均答对，会导致乙235题错，这样乙就没有3分，故不可能；若甲第3题答错，则其他均答对，会导致丙至少对3个，故不符合题意；若甲第4题答错，则其他均答对，会导致乙3，4,5题错，这样乙就没有3分，故不可能；若甲第5题答错，则其他均答对，会导致丙135错，满足条件，会导致乙3,5错，故成立，所以甲，乙，丙第5题都做，所以正确答案为A.故答案为：5；A．【点睛】关键点点睛：本题的关键是从甲的5个选项中分析，对比，判断甲做错的题号.三、解答题16.在等差数列中，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，其中，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式列式可解得，，从而可得数列的通项公式；（2）求出，再根据等差数列与等比数列的前项和公式可求得结果.【详解】（1）设等差数列的公差为，则有解得，.所以数列的通项公式为.（2）.因为数列是首项为，公比为的等比数列，所以【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差、等比数列的前项和公式，属于基础题.17.设函数，．（1）求函数的最小正周期和单调增区间；（2）求函数在区间上的最小值和最大值．【答案】（1）最小正周期是，增区间是．（2）最大值是2，最小值是．【解析】【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式、二倍角公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质求得最小正周期和单调增区间；（2）由（1）的单调性可得最值．【详解】（1），所以最小正周期是，由得，∴单调增区间是．（2）由（1）得在上单调递增，在上单调递减．∴，又，，∴．【点睛】方法点睛：本题考查两角差的正弦公式，二倍角公式，考查正弦函数的性质．此类问题的解题方法是：利用二倍角公式降幂，利用诱导公式、两角和与差的正弦（余弦）公式展开与合并，最终把函数化为形式，然后结合正弦函数性质求解．18.如图，在几何体中，底面是边长为2的正方形，平面，，且．（1）求证：平面平面；（2）求证：；（3）求钝二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【解析】【分析】（1）由得线面平行，再得面面平行；（2）证明平面后可得线线垂直；（3）取中点，证明是二面角的平面角，然后在三角形中求解．【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面，由，平面，平面，所以平面，，平面，所以平面平面；（2）因为平面，，所以平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，而平面，所以；（3）取中点，连接，由上面证明可得，又，所以，所以是二面角的平面角，由平面，平面，得，，，，又，中，．【点睛】本题考查证明面面平行，线线垂直，求二面角，掌握线面间平行垂直的判定、性质定理是解题关键．证明时定理的条件需要一一列举出来，缺少一个证明过程都不完整．而求二面角本题使用的是定义法，即作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得结论．19.在中，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，______．求和的面积．从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）选①，，选②，【解析】【分析】（Ⅰ）由正弦定理化边为角后，利用三角函数恒等变换公式变形后可求得．（Ⅱ）选①，由余弦定理求得，再由面积公式得三角形面积；选②，由内角和公式得，求出后由正弦定理求得，再由面积公式得三角形面积．【详解】（Ⅰ）因为，由正弦定理得，三角形中，所以，，则，即，因为，则，所以，，所以；（Ⅱ）选①，由余弦定理得，得，，解得（舍去），．选②，则，，由得，．【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，解题时注意三角形的条件，确定选用正弦定理还是余弦定理求解，在已知两边及一边对角时先由正弦定理求角，也可由余弦定理求得第三边．20.已知函数.（1）若函数是奇函数，直接写出的值；（2）求函数的单调递减区间；（3）若在区间上恒成立，求的最大值.【答案】（1）0；（2）当时，无递减区间；当时，的单调递减区间是；当时，的单调递减区间是；（3）1.【解析】【分析】（1）令，根据函数奇函数，由求解.（2）求导，分，和三种情况，由求解.（3）将在区间上恒成立，转化为在区间上恒成立求解.【详解】（1）已知函数，所以，因为函数是奇函数，所以，即，所以，解得.（2）.当时，，在内单调递增；当时，由得：；当时，由得：.综上所述，当时，无递减区间；当时，的单调递减区间是；当时，的单调递减区间是.（3）因为在区间上恒成立，即在区间上恒成立.所以在区间上恒成立.因为，所以.所以.所以若在区间上恒成立，的最大值为1.【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间D上有最值，则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分离常数，即将问题转化为：（或），则（1）恒成立：；；（2）能成立：；；21.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）判断函数的零点的个数，并说明理由；（3）设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线.【答案】（1）（2）有且仅有两个零点，详见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义可求得结果；（2）根据单调性和零点存在性定理可得在和上各有唯一一个零点，由此可得答案；（3）根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线为，设曲线在点处的切线斜率为，根据导数的几何意义求出切线方程为，根据是的一个零点，可证两条