2012年初二数学经典难题及答案

初二数学经典难题及答案初二数学经典题型1．已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．求证：△PBC是正三角形．证明如下。APCDB首先，PA=PD，∠PAD=APCDB在正方形ABCD之外以AD为底边作正三角形ADQ，连接PQ，则∠PDQ=60°+15°=75°，同样∠PAQ=75°，又AQ=DQ,，PA=PD，所以△PAQ≌△PDQ，那么∠PQA=∠PQD=60°÷2=30°，在△PQA中，∠APQ=180°-30°-75°=75°=∠PAQ=∠PAB，于是PQ=AQ=AB，显然△PAQ≌△PAB，得∠PBA=∠PQA=30°，PB=PQ=AB=BC，∠PBC=90°-30°=60°，所以△ABC是正三角形。ANFECDMANFECDMB证明:连接AC,并取AC的中点G,连接GF,GM.又点N为CD的中点,则GN=AD/2;GN∥AD,∠GNM=∠DEM;(1)同理:GM=BC/2;GM∥BC,∠GMN=∠CFN;(2)又AD=BC,则:GN=GM,∠GNM=∠GMN.故:∠DEM=∠CFN.3、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点．求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．证明：分别过E、C、F作直线AB的垂线，垂足分别为M、O、N，在梯形MEFN中，WE平行NF因为P为EF中点，PQ平行于两底PCPCGFBQADE所以PQ＝（ME＋NF）/2又因为，角0CB＋角OBC＝90°＝角NBF＋角CBO所以角OCB=角NBF而角C0B＝角Rt＝角BNFCB=BF所以△OCB全等于△NBF△MEA全等于△OAC（同理）所以EM＝AO，0B＝NF所以PQ=AB/2.4、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．求证：∠PAB＝∠PCB．过点P作DA的平行线，过点A作DP的平行线，两者相交于点E；连接BE因为DP//AE，AD//PEPAPADCB所以，∠PDA=∠AEP已知，∠PDA=∠PBA所以，∠PBA=∠AEP所以，A、E、B、P四点共圆所以，∠PAB=∠PEB因为四边形AEPD为平行四边形，所以：PE//AD，且PE=AD而，四边形ABCD为平行四边形，所以：AD//BC，且AD=BC所以，PE//BC，且PE=BC即，四边形EBCP也是平行四边形所以，∠PEB=∠PCB所以，∠PAB=∠PCB5.P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC=3a正方形的边长．

解：将△BAP绕B点旋转90°使BA与BC重合，P点旋转后到Q点，连接PQ因为△BAP≌△BCQ所以AP＝CQ，BP＝BQ，∠ABP＝∠CBQ，∠BPA＝∠BQCACACBPD所以∠CBA＝90°，所以∠ABP＋∠CBP＝90°，所以∠CBQ＋∠CBP＝90°即∠PBQ＝90°，所以△BPQ是等腰直角三角形所以PQ＝√2*BP，∠BQP＝45因为PA=a，PB=2a，PC=3a所以PQ＝2√2a，CQ＝a，所以CP^2＝9a^2，PQ^2＋CQ^2＝8a^2＋a^2＝9a^2所以CP^2＝PQ^2＋CQ^2，所以△CPQ是直角三角形且∠CQA＝90°所以∠BQC＝90°＋45°＝135°，所以∠BPA＝∠BQC＝135°作BM⊥PQ则△BPM是等腰直角三角形所以PM＝BM＝PB/√2＝2a/√2＝√2a所以根据勾股定理得：AB^2＝AM^2＋BM^2＝(√2a＋a)^2＋(√2a)^2＝[5＋2√2]a^2所以AB＝[√(5＋2√2)]a6.一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管２倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间t分。求两根水管各自注水的速度。解：设小水管进水速度为x，则大水管进水速度为4x。∴PE⊥PD.综合（i）（ii）（iii）,PE⊥PD.ABCPDEF（2）①过点P作PF⊥BC，垂足为ABCPDEF∵AP=x，AC=，∴PC=-x，PF=FC=.BF=FE=1-FC=1-()=.∴S△PBE=BF·PF=().即(0＜x＜).②.∵＜0，∴当时，y最大值.（1）证法二：①过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F.如图所示.∵四边形ABCD是正方形，ABCPDEFABCPDEFG123△AGP和△PFC都是等腰直角三角形.∴GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90°.又∵PB=PE，∴BF=FE，∴GP=FE，∴△EFP≌△PGD（SAS）.∴PE=PD.②∴∠1=∠2.∴∠1+∠3=∠2+∠3=90°.∴∠DPE=90°.∴PE⊥PD.（2）①∵AP=x，∴BF=PG=，PF=1-.∴S△PBE=BF·PF=().即(0＜x＜).②.∵＜0，∴当时，y最大值.9、如图，直线y=k1x+b与反比例函数y=k2x的图象交于A（1，6），B（a，3）两点．

（1）求k1、k2的值．

（2）直接写出k1x+b-k2x＞0时x的取值范围；

（3）如图，等腰梯形OBCD中，BC∥OD，OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反比例函数的图象交于点P，当梯形OBCD的面积为12时，请判断PC和P