空间点线面之间的关系

空间点线面之间的关系演示文稿当前1页，总共43页。（优选）空间点线面之间的关系当前2页，总共43页。

公理4：平行于同一条直线的两条直线

．作用：判断空间两条直线平行的依据．[探究]1.平面几何中成立的有关结论在空间立体几何中是否一定成立？提示：不一定．例如，“经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线垂直”在平面几何中成立，但在立体几何中就不成立．而公理4的传递性在平面几何和立体几何中均成立．互相平行当前3页，总共43页。2．直线与直线的位置关系平行相交任何

(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的_____________

叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．锐角(或直角)当前4页，总共43页。(3)定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角

．

[探究]2.不相交的两条直线是异面直线吗？

提示：不一定，不相交的两条直线可能平行，也可能异面．3．不在同一平面内的直线是异面直线吗？提示：不一定，不在同一平面内的直线可能异面，也可能平行．相等或互补当前5页，总共43页。3．空间直线与平面、平面与平面的位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交a∩α＝A

个平行a∥α

个在平面内a⊂α

个平面与平面平行α∥β

个相交α∩β＝l

个10无数0无数当前6页，总共43页。[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)下列命题：①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．其中正确命题的个数是 (

)A．0

B．1C．2 D．3当前7页，总共43页。解析：对于①，未强调三点不共线，故①错误；②正确；对于③，三条直线两两相交，如空间直角坐标系，能确定三个平面，故③正确；对于④，未强调三点共线，则两平面也可能相交，故④错误．答案：C

当前8页，总共43页。答案：D

2．(教材习题改编)分别在两个平面内的两条直线的位置关系是 ()A．异面 B．平行C．相交 D．以上都有可能解析：由直线、平面的位置关系分析可知两条直线相交、平行或异面都有可能．当前9页，总共43页。3．如果a⊂α，b⊂α，l∩a＝A，l∩b＝B，那么下列关系成立的是 (

)A．l⊂α B．l⊄αC．l∩α＝A D．l∩α＝B解析：∵a⊂α，l∩a＝A，∴A∈α，A∈l，同理B∈α，B∈l，∴l⊂α.答案：A

当前10页，总共43页。4．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成________个部分．解析：三个平面α，β，γ两两相交，交线分别是a，b，c，且a∥b∥c，则α，β，γ把空间分成7部分．答案：7当前11页，总共43页。5．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为___．解析：连接B1D1，易证B1D1∥EF，从而∠D1B1C即为异面直线B1C与EF所成的角，连接D1C，则△B1D1C为正三角形，故∠D1B1C＝60°.答案：60°当前12页，总共43页。平面的基本性质及应用

[例1]以下四个命题：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．其中正确命题的个数是 (

)A．0

B．1C．2 D．3当前13页，总共43页。[自主解答]①正确，可以用反证法证明；②不正确，从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线．则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，空间四边形的四条边不在一个平面内．[答案]B当前14页，总共43页。由所给元素确定平面的关键点判断由所给元素(点或直线)确定平面时，关键是分析所给元素是否具有确定唯一平面的条件，如不具备，则一定不能确定一个平面．

当前15页，总共43页。1．下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________．当前16页，总共43页。解析：①中可证四边形PQRS为梯形；②中，如图所示取A1A与BC的中点为M、N，可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形．③中可证四边形PQRS为平行四边形；④中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P、Q、R、S四点不共面．答案：①②③当前17页，总共43页。(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？当前18页，总共43页。当前19页，总共43页。本例条件不变，如何证明“FE、AB、DC共点”？当前20页，总共43页。证明共面问题的常用方法①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合．当前21页，总共43页。2．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．证明：(1)连接EF，CD1，A1B.∵E、F分别是AB、AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E、C、D1，F四点共面．当前22页，总共43页。(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA.∴CE、D1F、DA三线共点．

当前23页，总共43页。空间两条直线的位置关系[例3]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是(

)A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行当前24页，总共43页。[自主解答]由于MN与平面DCC1D1相交于N点，D1C1⊂平面DCC1D1，且C1D1与MN没有公共点，所以MN与C1D1是异面直线．又因为C1D1∥A1B1，且A1B1与MN没有公共点，所以A1B1与MN是异面直线，故选项D错误．[答案]

D当前25页，总共43页。—————————————————异面直线的判定方法(1)定义法：依据定义判断(较为困难)；(2)定理法：过平面内一点与平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线为异面直线(此结论可作为定理使用)．(3)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面.当前26页，总共43页。3．已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD的中点．(1)求证：BC与AD是异面直线；(2)求证：EG与FH相交．证明：(1)假设BC与AD共面，不妨设它们所共平面为α，则B、C、A、D∈α.所以四边形ABCD为平面图形，这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾．所以BC与AD是异面直线．(2)如图，连接AC，BD，则EF∥AC，HG∥AC，因此EF∥HG；同理EH∥FG，则EFGH为平行四边形．又EG、FH是▱EFGH的对角线，所以EG与HF相交.当前27页，总共43页。异面直线所成的角

[例4](2012·银川模拟)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求A1C1与B1C所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．当前28页，总共43页。

[自主解答]

(1)如图，连接AC、AB1，由ABCD－A1B1C1D1是正方体，知AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角．由AB1＝AC＝B1C可知∠B1CA＝60°，即A1C1与B1C所成角为60°.(2)如图，连接BD，由AA1∥CC1，且AA1＝CC1可知A1ACC1是平行四边形，所以AC∥A1C1.

即AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角．因为EF是△ABD的中位线，所以EF∥BD.

又因为AC⊥BD，所以EF⊥AC，即所求角为90°.当前29页，总共43页。求异面直线所成角的步骤平移法求异面直线所成角的一般步骤：当前30页，总共43页。4．已知三棱锥A－BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成60°角，点M、N分别是BC、AD的中点，求直线AB和MN所成的角．当前31页，总共43页。∴∠MEN为异面直线AB与CD所成的角(或补角)，且△MEN为等腰三角形．当∠MEN＝60°时，∠EMN＝60°，即异面直线AB和MN所成的角为60°.当∠MEN＝120°时，∠EMN＝30°，即异面直线AB和MN所成的角为30°.∴直线AB和MN所成的角为60°或30°.当前32页，总共43页。(1)“不同在任何一个平面内”指这两条直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交．(2)不能把异面直线误解为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线．(3)异面直线的公垂线有且仅有一条．(1)平移法：即选点平移其中一条或两条直线使其转化为平面角问题，这是求异面直线所成角的常用方法．(2)补形法：即采用补形法作出平面角．当前33页，总共43页。(1)证明共面问题一般有两种途径：①首先由条件中的部分线(或点)确定一个平面，再证其他线(或点)在此平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证明这两个平面重合．(2)证明共线问题一般有两种途径：①先由两点确定一条直线，再证其他点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．(3)证明共点问题常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.当前34页，总共43页。易误警示——求解线线角中忽视隐含条件而致错

[典例](2013·临沂模拟)过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作 ()A．1条B．2条C．3条 D．4条当前35页，总共43页。[答案]

D当前36页，总共43页。1．易忽视异面直线所成的角，且没有充分认识正方体中的平行关系而错选A.2．求解空间直线所成的角时，还常犯以下错误：(1)缺乏空间想象力，感觉无从下手；(2)忽视异面直线所成角的范围．当前37页，总共43页。当前38页，总共43页。答案：90°“演练知能检测”见“限时集训（四十四）”当前39页，总共43页。1．平面α、β的公共点多于两个，则①α、β垂直②α、β至少有三个公共点③α、β至少有一条公共直线④α、β至多有一条公共直线以上四个判断中不成立的个数是 (

)A．0 B．1C．2 D．3解析：由条件知，平面α与β重合或相交，重合时，公共直线多于一条，故④错误；相交时不一定垂直，故①错误．答案：C

当前40页，总共43页。2．如图，在四面体ABCD中，